Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{x}{y}>0\) तब होता है जब (x) और (y) का चिह्न समान हो। / \(\frac{x}{y}>0\) means (x) and (y) have the same sign.
Step 2
Why this answer is correct
सभी धनात्मक संख्याएँ एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक संख्याएँ दूसरे वर्ग में आती हैं। / All positive numbers form one class and all negative numbers form another.
Step 3
Exam Tip
चिह्न आधारित संबंधों में धनात्मक और ऋणात्मक समूह अलग करें। / For sign-based relations, split the set into positive and negative groups.
तुल्यता संबंध में तुल्यता वर्ग या तो अलग-अलग होते हैं या बिल्कुल समान। / In an equivalence relation, two equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वे एक ही वर्ग बन जाते हैं। / If they have a common element, they must be the same class.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में साझा अवयव दिखते ही वर्गों की समानता याद रखें। / In exams, a non-empty intersection of classes directly implies equality.
A. प्रत्येक कक्षा के विद्यार्थियों के समूह/Groups of students of each class
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी अपनी कक्षा में स्वयं के साथ है। / Every student is in the same class as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही कक्षा में होना दोनों दिशाओं में और तीसरे विद्यार्थी के साथ भी सही रहता है। / Being in the same class works both ways and also through a third student.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तुल्यता वर्ग वास्तविक कक्षाओं के विद्यार्थी समूह होंगे। / Therefore the equivalence classes are the groups of students in each actual class.
A. एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्तों के समूह/Groups of all circles with one fixed centre
Step 1
Concept
हर वृत्त का केंद्र स्वयं के केंद्र जैसा होता है। / Every circle has the same centre as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान केंद्र की बात सममित और संक्रामक भी है। / Having the same centre is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वर्ग में किसी एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्त आएँगे, त्रिज्या अलग हो सकती है। / Hence each class contains all circles with one fixed centre, while radii may differ.
(|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। / (|a-b|) being divisible by (3) means the numbers have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3}).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same remainder form one equivalence class.
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
(ab>0) का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हैं। / (ab>0) means (a) and (b) are either both positive or both negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी धनात्मक पूर्णांक एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक पूर्णांक दूसरे वर्ग में आते हैं। / So all positive integers form one class and all negative integers form another.
Step 3
Exam Tip
शून्य को समुच्चय में नहीं लिया गया है, इसलिए अलग शून्य वर्ग नहीं बनेगा। / Zero is not included in the set, so no separate zero class is formed.
A. एक ही दिशा वाली सभी रेखाओं के समूह/Groups of all lines with the same direction
Step 1
Concept
रेखा की दिशा स्वयं के समान होती है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / A line has the same direction as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान दिशा का अर्थ दोनों ओर से समान है और यह गुण आगे भी बना रहता है। / Same direction is mutual and remains consistent through a third line.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रत्येक तुल्यता वर्ग में समान दिशा वाली रेखाएँ आती हैं, बिंदु से गुजरना आवश्यक नहीं है। / Hence each equivalence class contains lines with one fixed direction, not necessarily lines through one point.
अंग्रेज़ी वर्णमाला के छोटे अक्षरों के समुच्चय पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों स्वर हों या दोनों व्यंजन हों। यह सम्बन्ध कितने तुल्यता वर्ग बनाता है?
सम्बन्ध अक्षरों को दो समूहों में बाँटता है: स्वर और व्यंजन। / The relation divides letters into two groups: vowels and consonants.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही समूह के अक्षर आपस में सम्बन्धित हैं और अलग समूह के अक्षर सम्बन्धित नहीं हैं। / Letters in the same group are related, while letters in different groups are not related.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ठीक (2) तुल्यता वर्ग बनते हैं; विकल्पों में (5) केवल स्वरों की संख्या है, वर्गों की संख्या नहीं। / Hence exactly (2) equivalence classes are formed; (5) is only the number of vowels, not the number of classes.
(3) से भाग देने पर समान शेष वाली संख्याएँ एक वर्ग में आएँगी। / Numbers with the same remainder on division by (3) belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3,6}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3,6}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग आपस में अलग होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes are disjoint and together cover the whole set.
किसी तुल्यता वर्ग में यदि (n) अवयव हैं, तो उसके भीतर \(n^2\) क्रमित युग्म बनते हैं। / If an equivalence class has (n) elements, it contributes \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) है। / Here the number of pairs is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
कुल (14) युग्म मिलते हैं; अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / Total pairs are (14); pairs between different classes are not included.
सम्बन्ध संख्याओं को सम और विषम दो प्रकारों में बाँटता है। / The relation separates numbers into two types: even and odd.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में विषम भाग ({1,3,5}) और सम भाग ({2,4}) बनते हैं। / In (A), the odd block is ({1,3,5}) and the even block is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध हमेशा समुच्चय का विभाजन बनाता है, इसलिए यहाँ (2) भाग हैं। / An equivalence relation always forms a partition, so there are (2) blocks here.
