The equality relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
With (5) elements, there are (5) such pairs.
Step 3
Exam Tip
Remember that the equality relation and universal relation have different counts. चरण 1: समानता संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: (5) अवयवों के लिए ऐसे (5) युग्म बनेंगे। चरण 3: समानता संबंध और सार्वत्रिक संबंध की गिनती अलग-अलग याद रखें।
A. तुल्यता संबंध और समानता संबंध/Equivalence relation and equality relation
Step 1
Concept
(x-y=0) means (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
The equality relation is the most basic example of an equivalence relation. चरण 1: (x-y=0) का अर्थ (x=y) है। चरण 2: समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। चरण 3: समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है।
This is the equality relation, where each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every element forms its own singleton equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (4) elements, there are (4) equivalence classes. चरण 1: यह समानता सम्बन्ध है, जिसमें हर अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित होता है। चरण 2: इसलिए प्रत्येक अवयव अपना अलग एकल तुल्यता वर्ग बनाता है। चरण 3: (A) में (4) अवयव हैं, अतः (4) तुल्यता वर्ग होंगे।
Equality is the standard example of an equivalence relation. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: समानता संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण होता है। चरण 3: परीक्षा में समानता वाला संबंध अक्सर सबसे सरल तुल्यता संबंध होता है।
A. समानता संबंध और समतुल्यता संबंध/Equality relation and equivalence relation
Step 1
Concept
In (R), every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Such a relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
The equality relation is a key example of an equivalence relation. चरण 1: (R) में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 2: ऐसा संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 3: समानता संबंध समतुल्यता संबंध का मुख्य उदाहरण है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
In the equality relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=b), then (b=a), and if (a=b) and (b=c), then (a=c).
Step 3
Exam Tip
The equality relation is the simplest example of an equivalence relation. चरण 1: समानता संबंध में हर तत्व अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: यदि (a=b), तो (b=a) और (a=b, b=c) से (a=c) मिलता है। चरण 3: समानता संबंध समतुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है।
Every element equals itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Equality is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Equality is the simplest example of an equivalence relation. चरण 1: हर तत्व अपने बराबर होता है, इसलिए परावर्तक गुण है। चरण 2: बराबरी में उलटा क्रम और आगे जोड़ना दोनों सही रहते हैं। चरण 3: बराबरी का संबंध तुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है।
For real numbers, \(a^2=b^2\) and \(a^3=b^3\) together imply (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
Equality is transitive because (a=b) and (b=c) imply (a=c).
Step 3
Exam Tip
When multiple equality conditions appear, see which simpler relation they form. चरण 1: \(a^2=b^2\) और \(a^3=b^3\) वास्तविक संख्याओं में मिलकर (a=b) बताते हैं। चरण 2: बराबरी संबंध संक्रामक होता है, क्योंकि (a=b) और (b=c) से (a=c)। चरण 3: कई बराबरी शर्तें हों तो देखें कि वे किस सरल संबंध में बदल रही हैं।
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\) से \(a^2=c^2\) मिलता है/Because \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\) imply \(a^2=c^2\)
Step 1
Concept
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), the two equalities give \(a^2=c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
In equality-based relations, connect the same quantity through equality. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो दोनों बराबरियाँ मिलकर \(a^2=c^2\) देती हैं। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंध में समान मात्रा को जोड़कर सोचें।
In equality-based relations, equality of the same quantity passes forward. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो दोनों से \(a^2=c^2\) मिलेगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंधों में समान मात्रा की बराबरी आगे तक जाती है।
Equality is reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो (a=c) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए बराबरी का संबंध संक्रमण है। चरण 3: बराबरी का संबंध परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों होता है।
Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
Equality is reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो (a=c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः समानता सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: समानता सम्बन्ध आत्म, सममित और संक्रामी तीनों होता है।
Equality relation is always transitive. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो (a=c) होगा। चरण 2: यही संक्रामिता की शर्त को पूरा करता है। चरण 3: बराबरी का संबंध हमेशा संक्रामी माना जाता है।
Treat equality as an always transitive relation. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो तीनों संख्याएँ समान होंगी। चरण 2: इसलिए (a=c) भी सत्य है और संक्रामकता पूरी होती है। चरण 3: समानता संबंध को हमेशा संक्रामक मानें।
The equality relation is a very direct example of a transitive relation. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो समानता के नियम से (a=c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 3: बराबरी वाला संबंध संक्रामी संबंध का बहुत सीधा उदाहरण है।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Equality remains true when the two sides are interchanged. चरण 1: \(a^2-b^2=0\) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबरी में दोनों तरफ अदला-बदली करने से सत्यता नहीं बदलती।
If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality are often checked by simply reversing the equality. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो समानता पलटने पर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\) मिलता है। चरण 3: समानता वाले संबंधों में अक्सर सममितता सीधे उलटकर जांची जाती है।
If (a=b), then the reverse pair also satisfies the same equality.
Step 2
Why this answer is correct
Conditions like (a<b), divisibility, and (a=b+1) usually fail after swapping.
Step 3
Exam Tip
Relations built on equality are commonly symmetric. चरण 1: (a=b) होने पर उलटा युग्म भी उसी बराबरी को पूरा करता है। चरण 2: लेकिन (a<b), विभाज्यता और (a=b+1) में क्रम बदलने से शर्त सामान्यतः टूट जाती है। चरण 3: बराबरी पर बने संबंध अक्सर सममित होते हैं।
If ((a,b)) is present, then (a=b), so ((b,a)) also satisfies the same condition.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality are usually symmetric. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: यदि ((a,b)) है, तो (a=b), इसलिए ((b,a)) भी उसी बात को पूरा करता है। चरण 3: बराबरी पर आधारित संबंध सामान्यतः सममित होता है।
A relation formed by equality is symmetric. चरण 1: (a=b) होने पर युग्म ((a,a)) के रूप में बनता है। चरण 2: ((a,a)) का उलटा वही ((a,a)) है। चरण 3: बराबरी से बना पहचान संबंध सममित होता है।
The pairs are like ((1,1),(2,2),(3,3)), whose reverse is the same pair.
Step 3
Exam Tip
Pairs with equal entries are safe for symmetry. चरण 1: (a-b=0) का अर्थ (a=b) है। चरण 2: ऐसे युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसे होंगे, जिनका उल्टा वही युग्म होता है। चरण 3: बराबर तत्वों वाले युग्मों को सममितता में सुरक्षित मानें।
Since \(a^2=a^2\) for every element, all diagonal pairs belong to (R).
Step 3
Exam Tip
Equality-based conditions usually contain all diagonal pairs. चरण 1: हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) जांचें। चरण 2: \(a^2=a^2\) हर तत्व के लिए सत्य है, इसलिए \((a,a)\in R\) है। चरण 3: समानता वाले संबंधों में विकर्ण युग्म सामान्यतः सुरक्षित रहते हैं।
Equality is a simple example of a reflexive relation. चरण 1: शर्त (a=b) अपने-आप वाले युग्म बनाती है। चरण 2: इससे ((1,1),(3,3),(5,5)) मिलते हैं। चरण 3: समानता पर बना सम्बन्ध स्वतुल्यता का सरल उदाहरण है।
Then (a-a=0), so every ((a,a)) satisfies the rule.
Step 3
Exam Tip
(a-b=0) represents equality. चरण 1: अपने-अपने युग्म के लिए (a=b) रखें। चरण 2: तब (a-a=0), इसलिए हर ((a,a)) नियम पूरा करता है। चरण 3: (a-b=0) बराबरी का संबंध दिखाता है।
For every \(a \in A\), ((a,a)) satisfies this rule.
Step 3
Exam Tip
The relation (a=b) is the identity relation and is reflexive. चरण 1: (a=b) होने पर युग्म अपने-अपने रूप में बनेगा। चरण 2: हर \(a \in A\) के लिए ((a,a)) इस नियम में आता है। चरण 3: (a=b) वाला संबंध पहचान संबंध होता है और परावर्ती है।
