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A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर हमेशा \((a,c)\in R\) हो/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always imply \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामक संबंध में पहले और दूसरे युग्म को जोड़कर तीसरे युग्म की जाँच की जाती है। / In a transitive relation, two connected pairs force a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिलता है, तो संबंध संक्रामक है। / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always give \((a,c)\in R\), the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बीच वाले तत्व को पहचानकर सीधे आवश्यक युग्म खोजें। / In exams, first spot the common middle element.
A. हाँ, क्योंकि जरूरी युग्म ((1,3)) मौजूद है/Yes, because the required pair ((1,3)) is present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) में बीच वाला तत्व (2) समान है। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) have the common middle element (2).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, और यह (R) में है। / Transitivity needs ((1,3)), and it is in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल उन्हीं युग्मों पर ध्यान दें जिनमें दूसरे युग्म का पहला तत्व पहले युग्म के दूसरे तत्व से मिलता है। / Check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) साथ मिलकर ((1,3)) की मांग करते हैं। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट जाती है। / Since ((1,3)) is not in (R), transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटे युग्म नहीं, बल्कि आगे जुड़ने वाला युग्म जाँचना होता है। / For transitivity, do not look for reverse pairs; look for the forward linked pair.
संक्रामकता की शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे युग्म मौजूद हों। / The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में ऐसे कोई युग्म नहीं होते, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। / The empty relation has no such pairs, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को अक्सर आसानी से संक्रामक माना जाता है, इसे भूलें नहीं। / Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth.
तुल्यता संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलें, तो आवश्यक ((a,a)) पहले से मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को परावर्ती, सममित और संक्रामक तीनों के उदाहरण के रूप में याद रखें। / Remember the identity relation as reflexive, symmetric, and transitive.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हो जाते हैं/Because ((1,1)) and ((2,2)) become necessary
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / The pairs ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। ये दोनों (R) में नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / The pairs ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Since both are missing, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
दो उलटे युग्म अक्सर आत्म युग्मों की मांग करते हैं। / Reverse pairs often force self-pairs.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होता है। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then on the number line \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य है। / So (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) और (<) जैसे क्रम संबंधों में संक्रामकता बहुत सामान्य होती है। / Order relations like \(\le\) and (<) are common examples of transitive relations.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\), यानी (ARC) सत्य है। / Therefore \(A\subseteq C\), so (ARC) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामकता का बहुत अच्छा मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of transitivity.
महत्वपूर्ण कड़ी ((1,2)) और ((2,4)) है। / The important chain is ((1,2)) and ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो संबंध में मौजूद है। आत्म युग्म भी कोई समस्या नहीं बनाते। / These require ((1,4)), which is present. Self-pairs do not create a problem here.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में पहले गैर-आत्म युग्मों की कड़ी जाँचें। / In a larger relation, first check chains of non-self pairs.
यहाँ बीच वाला तत्व (5) दोनों युग्मों को जोड़ता है। / The common middle element is (5).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के अनुसार पहला तत्व (3) और अंतिम तत्व (7) मिलकर ((3,7)) बनाते हैं। / Transitivity connects the first element (3) to the last element (7), giving ((3,7)).
Step 3
Exam Tip
हमेशा पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाएँ। / Join the first element of the first pair with the second element of the second pair.
समानता में यदि पहला दूसरे के बराबर है और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला तीसरे के बराबर होगा। / In equality, if the first equals the second and the second equals the third, then the first equals the third.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समानता संबंध संक्रामक होता है। / Therefore equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
दैनिक भाषा वाले विकल्पों में गणितीय नियम को स्पष्ट रूप से जाँचें। / For real-life wording, translate it into the mathematical rule.
मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) है। / The main chain is ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो संबंध में है। बाकी आत्म युग्म शर्त को नहीं तोड़ते। / They require ((1,3)), which is present. The self-pairs do not break the rule.
Step 3
Exam Tip
संबंध को देखकर आवश्यक कड़ी अलग करें और उसी पर निर्णय लें। / Separate the required chain and decide from it.
A. ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4))/((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4))
Step 1
Concept
संक्रामकता में दूसरे तत्व और अगले युग्म के पहले तत्व का मेल जरूरी है। / Transitivity needs the second element of one pair to match the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
बिना मेल वाले युग्मों से गलत निष्कर्ष न निकालें। / Do not draw conclusions from pairs that do not connect.
पहले ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ें। / First connect ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनसे ((1,3)) जरूरी होता है। आगे ((2,4)) और फिर ((1,4)) भी देखने पड़ सकते हैं, पर दिए विकल्पों में पहला जरूरी युग्म ((1,3)) है। / They require ((1,3)). Later, ((2,4)) and then ((1,4)) may also need checking, but among the options the required pair is ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में छोटे-छोटे चरणों से युग्म बनाइए। / In a long chain, build pairs step by step.
((1,2)) और ((2,2)) से फिर ((1,2)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) भी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)). Both are present.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों के साथ बने जुड़ाव भी ध्यान से जाँचें। / Also check chains involving self-pairs.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, तो (a) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समानता वाले संबंधों में संक्रामकता अक्सर मिलती है। / Congruence-type relations are usually transitive.
(a-b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकार के हैं। / If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-c) भी सम है, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे, इसलिए (a-c) सम होगा। / If (b-c) is also even, then (a) and (c) have the same parity, so (a-c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति से जल्दी निर्णय लें। / Use parity to decide quickly in such questions.
उदाहरण लें \(1\ne 2\) और \(2\ne 1\)। / Take the example \(1\ne 2\) and \(2\ne 1\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए \(1\ne 1\) चाहिए, जो गलत है। इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Transitivity would require \(1\ne 1\), which is false. So the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
असमान होने का संबंध देखने में सरल है, पर संक्रामक नहीं होता। / The not-equal relation looks simple but is not transitive.
यदि पहले छात्र की आयु दूसरे के बराबर है और दूसरे की आयु तीसरे के बराबर है, तो पहले और तीसरे की आयु भी बराबर होगी। / If the first student has the same age as the second, and the second has the same age as the third, then the first and third have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रामक है। / So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
समान विशेषता वाले संबंधों में संक्रामकता जाँचने के लिए समानता की कड़ी बनाइए। / For same-property relations, connect equality through the middle object.
यदि (a), (b) का भाई है और (b), (c) का भाई है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भाई ही हो। / If (a) is brother of (b), and (b) is brother of (c), it does not always force (a) to be brother of (c).
Step 2
Why this answer is correct
पारिवारिक संबंधों में लिंग और व्यक्ति की स्थिति बदल सकती है, इसलिए संक्रामकता निश्चित नहीं है। / Family relations depend on roles and gender, so transitivity is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
जीवन से जुड़े उदाहरणों में एक प्रतिवाद सोचकर जाँचें। / For real-life relations, test with a counterexample.
यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो एक ही समतल में \(l\parallel n\) होगा। / If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) in the same plane, then \(l\parallel n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समानांतरता संबंध संक्रामक है। / So the parallel relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर कड़ी को समझना आसान होता है। / For geometry relations, a small diagram helps you see the chain.
पहले ((p,q)) और ((q,r)) को जोड़ें। / First connect ((p,q)) and ((q,r)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से ((p,r)) निश्चित रूप से मिलेगा। आगे ((q,s)) और ((p,s)) भी बन सकते हैं, पर विकल्पों में ((p,r)) स्पष्ट है। / By transitivity, ((p,r)) must be in (R). Further pairs like ((q,s)) and ((p,s)) may also follow, but ((p,r)) is listed.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में नजदीकी दो युग्मों से शुरुआत करें। / In a long chain, begin with two adjacent pairs.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के कारण ((1,2)) और ((2,3)) फिर से जरूरी बनते हैं, वे भी मौजूद हैं। ((3,1)) की मांग नहीं बनती। / The pair ((2,2)) only re-requires ((1,2)) and ((2,3)), which are already present. ((3,1)) is not forced.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटी दिशा अपने आप नहीं आती। / Transitivity does not automatically create reverse direction.
A. जब कोई एक कड़ी ((a,b)), ((b,c)) हो पर ((a,c)) न हो/When one chain ((a,b)), ((b,c)) exists but ((a,c)) does not
Step 1
Concept
असंक्रामकता दिखाने के लिए एक प्रतिवाद काफी होता है। / To prove non-transitivity, one counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) और ((b,c)) मिल जाएँ, लेकिन ((a,c)) न मिले, तो संक्रामकता टूट जाती है। / If ((a,b)) and ((b,c)) are present but ((a,c)) is absent, transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पूरा संबंध नहीं, एक सही टूटी कड़ी भी काफी है। / In proof questions, one valid broken chain is sufficient.
A. क्योंकि कोई ऐसी दूसरी कड़ी नहीं है जो नई शर्त बनाए/Because there is no second linked pair to create a new requirement
Step 1
Concept
संक्रामकता की शर्त के लिए दो जुड़े हुए युग्म चाहिए। / The transitivity condition needs two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((2,3)) होने पर ((3,c)) जैसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त नहीं टूटती। / With only ((2,3)), there is no pair of the form ((3,c)), so no condition is violated.
Step 3
Exam Tip
एक युग्म वाले संबंधों में पहले देखें कि कोई कड़ी बन भी रही है या नहीं। / For one-pair relations, first check whether any chain exists at all.
संक्रामकता में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लिया जाता है। / In transitivity, take the first element of the first pair and the second element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) और ((y,z)) से \((x,z)\in R\) मिलेगा। / Thus ((x,y)) and ((y,z)) give \((x,z)\in R\).
Step 3
Exam Tip
प्रतीकों वाले प्रश्न में क्रम बदलने की गलती न करें। / In symbolic questions, avoid changing the order.
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((a,c)) और ((c,c)) से फिर ((a,c)) चाहिए, और ((b,c)) तथा ((c,c)) से ((b,c)) चाहिए। ये मौजूद हैं। / ((a,c)) with ((c,c)) requires ((a,c)), and ((b,c)) with ((c,c)) requires ((b,c)). These are present.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों वाले युग्मों में भी वही नियम लागू होता है। / The same rule applies to letter-based pairs.
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a,c)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूट जाती है। / ((a,c)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
चक्रीय दिखने वाला संबंध भी बिना जरूरी युग्मों के संक्रामक नहीं होता। / A cyclic-looking relation is not transitive unless all required pairs are present.
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,3)) हैं। / In the first option, ((1,2)) and ((2,3)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
उनके लिए जरूरी ((1,3)) भी मौजूद है, इसलिए शर्त पूरी दिखती है। / The required pair ((1,3)) is also present, so the condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले उस विकल्प को खोजें जहाँ कड़ी और उसका परिणाम दोनों हों। / In MCQs, first find the option containing both a chain and its result.
((4,6)) और ((6,6)) जुड़े हुए हैं। / ((4,6)) and ((6,6)) are connected.
Step 2
Why this answer is correct
पहला तत्व (4) और अंतिम तत्व (6) मिलकर ((4,6)) देते हैं। यह युग्म पहले से है। / The first element (4) and last element (6) give ((4,6)), already present.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्म को देखकर नया अनावश्यक युग्म न मान लें। / Do not assume an unnecessary new pair just because a self-pair appears.
