Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। / \(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। / New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती। / Subset information alone does not guarantee transitivity.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें। / In subset questions, follow the chain of inclusion.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\), यानी (ARC) सत्य है। / Therefore \(A\subseteq C\), so (ARC) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामकता का बहुत अच्छा मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of transitivity.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) मिल जाता है। / Hence \(A\subseteq C\).
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामी संबंध का मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of a transitive relation.
\(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (X) में होना संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे। / For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\).
हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
\(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है। / For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(4) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (4) is not related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (4) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है। / The condition that both elements are less than (4) remains true after reversal.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2,3}), so it is transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3,4,5) के स्वयुग्म संबंध में नहीं होंगे, इसलिए परावर्तन नहीं है। / Self-pairs of (3,4,5) are not in the relation, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (3) is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2}), so it is transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(5) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (5) will not be related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (5) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (5) remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3,4}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation is complete inside ({1,2,3,4}), so transitivity also holds.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। / The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive.
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है/Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। / If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है। / The subset relation passes through another set, so transitivity holds.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order.
