B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
Subset information alone does not guarantee transitivity. चरण 1: \(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। चरण 2: (S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। चरण 3: उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In subset questions, follow the chain of inclusion. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें।
If \(A \subseteq B\) and \(B \subseteq C\), then \(A \subseteq C\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the subset relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In set-based questions, form the inclusion chain. चरण 1: यदि \(A \subseteq B\) और \(B \subseteq C\), तो \(A \subseteq C\) होता है। चरण 2: इसलिए उपसमुच्चय संबंध संक्रामी है। चरण 3: समुच्चय-आधारित प्रश्नों में भीतर-भीतर शामिल होने की श्रृंखला बनाएं।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(A\subseteq C\), so (ARC) is true.
Step 3
Exam Tip
The subset relation is a standard example of transitivity. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\), यानी (ARC) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध संक्रामकता का बहुत अच्छा मानक उदाहरण है।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A\subseteq C\).
Step 3
Exam Tip
The subset relation is a standard example of a transitive relation. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\) मिल जाता है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध संक्रामी संबंध का मानक उदाहरण है।
For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\). चरण 1: \(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: केवल (X) में होना संभव नहीं है। चरण 3: 4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे।
Reflexivity requires \(X\subseteq X\) for every \(X\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Every set is a subset of itself.
Step 3
Exam Tip
The subset relation is reflexive on any collection of sets. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए हर \(X\in A\) पर \(X\subseteq X\) चाहिए। चरण 2: कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध हमेशा अपने आधार समुच्चय पर प्रतिवर्ती होता है।
For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive. चरण 1: हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: \(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। चरण 3: 3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है।
Since \(R\subseteq S\), every pair of (R) is also in (S).
Step 3
Exam Tip
Hence (S) also contains all self-pairs and is reflexive. चरण 1: (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से (R) के सभी युग्म (S) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए (S) में भी सभी अपने-आप वाले युग्म रहेंगे।
A. हाँ, क्योंकि हर (X) के लिए \(X\subseteq X\)/Yes, because \(X\subseteq X\) for every (X)
Step 1
Concept
Here the elements are subsets, not ordinary numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Every subset (X) is a subset of itself, so (XRX) is true.
Step 3
Exam Tip
In subset relations, read the base family carefully. चरण 1: यहां तत्व साधारण संख्याएं नहीं, बल्कि उपसमुच्चय हैं। चरण 2: हर उपसमुच्चय (X) अपने-आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए (XRX) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध में आधार परिवार को ध्यान से पढ़ें।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(4) is not related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (4) remains true after reversal.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2,3}), so it is transitive. चरण 1: (4) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (4) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है। चरण 3: संबंध ({1,2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Self-pairs of (3,4,5) are not in the relation, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (3) is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2}), so it is transitive. चरण 1: (3,4,5) के स्वयुग्म संबंध में नहीं होंगे, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(5) will not be related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (5) remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2,3,4}), so transitivity also holds. चरण 1: (5) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (5) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,2,3,4}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive. चरण 1: (3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। चरण 3: संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
A. क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं/Because ({1}) and ({2}) are not comparable
Step 1
Concept
In a total order, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\({1}\subseteq{2}\) is false and \({2}\subseteq{1}\) is also false.
Step 3
Exam Tip
One incomparable pair is enough to stop it from being a total order. चरण 1: पूर्ण क्रम में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। चरण 2: \({1}\subseteq{2}\) नहीं है और \({2}\subseteq{1}\) भी नहीं है। चरण 3: एक अतुलनीय जोड़ी मिलते ही पूर्ण क्रम नहीं बनता।
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है/Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The subset relation passes through another set, so transitivity holds. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है।
Every set is a subset of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
