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A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर हमेशा \((a,c)\in R\) हो/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always imply \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
In a transitive relation, two connected pairs force a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always give \((a,c)\in R\), the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In exams, first spot the common middle element. चरण 1: संक्रामक संबंध में पहले और दूसरे युग्म को जोड़कर तीसरे युग्म की जाँच की जाती है। चरण 2: यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिलता है, तो संबंध संक्रामक है। चरण 3: परीक्षा में बीच वाले तत्व को पहचानकर सीधे आवश्यक युग्म खोजें।
A. हाँ, क्योंकि जरूरी युग्म ((1,3)) मौजूद है/Yes, because the required pair ((1,3)) is present
Step 1
Concept
The pairs ((1,2)) and ((2,3)) have the common middle element (2).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity needs ((1,3)), and it is in (R).
Step 3
Exam Tip
Check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the second pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) में बीच वाला तत्व (2) समान है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, और यह (R) में है। चरण 3: केवल उन्हीं युग्मों पर ध्यान दें जिनमें दूसरे युग्म का पहला तत्व पहले युग्म के दूसरे तत्व से मिलता है।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
The pairs ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,3)) is not in (R), transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
For transitivity, do not look for reverse pairs; look for the forward linked pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) साथ मिलकर ((1,3)) की मांग करते हैं। चरण 2: (R) में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट जाती है। चरण 3: संक्रामकता में उलटे युग्म नहीं, बल्कि आगे जुड़ने वाला युग्म जाँचना होता है।
The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no such pairs, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth. चरण 1: संक्रामकता की शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे युग्म मौजूद हों। चरण 2: रिक्त संबंध में ऐसे कोई युग्म नहीं होते, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। चरण 3: रिक्त संबंध को अक्सर आसानी से संक्रामक माना जाता है, इसे भूलें नहीं।
The universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
So whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also present.
Step 3
Exam Tip
A relation with all possible pairs automatically satisfies transitivity. चरण 1: सर्वसम संबंध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) भी जरूर होता है। चरण 3: सभी युग्मों वाला संबंध संक्रामकता की शर्त अपने आप पूरी कर देता है।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
Remember the identity relation as reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: तुल्यता संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलें, तो आवश्यक ((a,a)) पहले से मौजूद है। चरण 3: पहचान संबंध को परावर्ती, सममित और संक्रामक तीनों के उदाहरण के रूप में याद रखें।
From ((1,2)) and ((2,1)), we need ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), we need ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
Check every possible chain before deciding. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: संक्रामकता में हर संभव जुड़ाव को देखें, केवल एक युग्म देखकर निर्णय न लें।
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हो जाते हैं/Because ((1,1)) and ((2,2)) become necessary
Step 1
Concept
The pairs ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The pairs ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Since both are missing, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs often force self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। ये दोनों (R) में नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। चरण 3: दो उलटे युग्म अक्सर आत्म युग्मों की मांग करते हैं।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then on the number line \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
So (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
Order relations like \(\le\) and (<) are common examples of transitive relations. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होता है। चरण 2: इसलिए (aRc) भी सत्य है। चरण 3: \(\le\) और (<) जैसे क्रम संबंधों में संक्रामकता बहुत सामान्य होती है।
In inequality questions, connect the order directly. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) अवश्य होगा। चरण 2: इसी कारण (aRc) सत्य हो जाता है। चरण 3: असमानता वाले प्रश्नों में क्रम को सीधा जोड़कर देखें।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(A\subseteq C\), so (ARC) is true.
Step 3
Exam Tip
The subset relation is a standard example of transitivity. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\), यानी (ARC) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंध संक्रामकता का बहुत अच्छा मानक उदाहरण है।
Treat equality as an always transitive relation. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो तीनों संख्याएँ समान होंगी। चरण 2: इसलिए (a=c) भी सत्य है और संक्रामकता पूरी होती है। चरण 3: समानता संबंध को हमेशा संक्रामक मानें।
A. क्योंकि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है/Because \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\)
Step 1
Concept
If \(a\mid b\), then (b=ak) for some integer (k).
Step 2
Why this answer is correct
If \(b\mid c\), then (c=bl), so (c=a(kl)). Hence \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, connect the chain of multiples. चरण 1: यदि \(a\mid b\), तो (b=ak) किसी पूर्णांक (k) के लिए होगा। चरण 2: यदि \(b\mid c\), तो (c=bl), इसलिए (c=a(kl)) होगा। अतः \(a\mid c\)। चरण 3: भाग जाने वाले संबंध में गुणकों की कड़ी बनाकर देखें।
These require ((1,4)), which is present. Self-pairs do not create a problem here.
Step 3
Exam Tip
In a larger relation, first check chains of non-self pairs. चरण 1: महत्वपूर्ण कड़ी ((1,2)) और ((2,4)) है। चरण 2: इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो संबंध में मौजूद है। आत्म युग्म भी कोई समस्या नहीं बनाते। चरण 3: बड़े संबंध में पहले गैर-आत्म युग्मों की कड़ी जाँचें।
In pair-addition questions, identify the missing required pair first. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) की कड़ी बनती है। चरण 2: संक्रामकता के लिए सीधे ((1,4)) चाहिए। चरण 3: युग्म जोड़ने वाले प्रश्नों में पहले कमी वाला आवश्यक युग्म पहचानें।
Transitivity connects the first element (3) to the last element (7), giving ((3,7)).
Step 3
Exam Tip
Join the first element of the first pair with the second element of the second pair. चरण 1: यहाँ बीच वाला तत्व (5) दोनों युग्मों को जोड़ता है। चरण 2: संक्रामकता के अनुसार पहला तत्व (3) और अंतिम तत्व (7) मिलकर ((3,7)) बनाते हैं। चरण 3: हमेशा पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाएँ।
In ((a,b)) and ((b,a)), the middle element (b) matches.
Step 2
Why this answer is correct
So transitivity requires ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs appear, check the required self-pair. चरण 1: ((a,b)) और ((b,a)) में बीच वाला तत्व (b) मेल खाता है। चरण 2: इसलिए संक्रामकता के लिए ((a,a)) चाहिए। चरण 3: उलटे युग्म दिखें तो आत्म युग्म की जरूरत जरूर जाँचें।
In equality, if the first equals the second and the second equals the third, then the first equals the third.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
For real-life wording, translate it into the mathematical rule. चरण 1: समानता में यदि पहला दूसरे के बराबर है और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला तीसरे के बराबर होगा। चरण 2: इसलिए समानता संबंध संक्रामक होता है। चरण 3: दैनिक भाषा वाले विकल्पों में गणितीय नियम को स्पष्ट रूप से जाँचें।
They require ((1,3)), which is present. The self-pairs do not break the rule.
Step 3
Exam Tip
Separate the required chain and decide from it. चरण 1: मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) है। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो संबंध में है। बाकी आत्म युग्म शर्त को नहीं तोड़ते। चरण 3: संबंध को देखकर आवश्यक कड़ी अलग करें और उसी पर निर्णय लें।
A. ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4))/((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4))
Step 1
Concept
Transitivity needs the second element of one pair to match the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
Do not draw conclusions from pairs that do not connect. चरण 1: संक्रामकता में दूसरे तत्व और अगले युग्म के पहले तत्व का मेल जरूरी है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: बिना मेल वाले युग्मों से गलत निष्कर्ष न निकालें।
They require ((1,3)). Later, ((2,4)) and then ((1,4)) may also need checking, but among the options the required pair is ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
In a long chain, build pairs step by step. चरण 1: पहले ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ें। चरण 2: इनसे ((1,3)) जरूरी होता है। आगे ((2,4)) और फिर ((1,4)) भी देखने पड़ सकते हैं, पर दिए विकल्पों में पहला जरूरी युग्म ((1,3)) है। चरण 3: लंबी कड़ी में छोटे-छोटे चरणों से युग्म बनाइए।
((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)). Both are present.
Step 3
Exam Tip
Also check chains involving self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,2)) से फिर ((1,2)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) भी है। चरण 3: आत्म युग्मों के साथ बने जुड़ाव भी ध्यान से जाँचें।
By transitivity, the first element (5) connects directly to the last element (8).
Step 3
Exam Tip
Transitivity does not give a reverse-direction pair. चरण 1: दिए गए युग्म ((5,6)) और ((6,8)) जुड़े हुए हैं। चरण 2: संक्रामकता के कारण पहला तत्व (5) सीधे अंतिम तत्व (8) से जुड़ता है। चरण 3: संक्रामकता उलटी दिशा का युग्म नहीं देती।
((1,1)) and ((1,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,2)) again require ((1,2)), also present.
Step 3
Exam Tip
A small relation is not automatically non-transitive; check actual chains. चरण 1: ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,2)) से फिर ((1,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: हर छोटा संबंध असंक्रामक नहीं होता; उपलब्ध कड़ियों को ठीक से मिलाएँ।
A. संक्रामक होने के लिए हर उलटा युग्म होना जरूरी है/Every reverse pair must be present for transitivity
Step 1
Concept
The reverse pair ((b,a)) belongs to the idea of symmetry, not transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity checks the forward linked pair ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
When a question asks for the false statement, avoid mixing relation properties. चरण 1: उलटा युग्म ((b,a)) सममितता से जुड़ा विचार है, संक्रामकता से नहीं। चरण 2: संक्रामकता में आगे जुड़ने वाला युग्म ((a,c)) देखा जाता है। चरण 3: प्रश्न में गलत कथन पूछा जाए तो गुणों को आपस में न मिलाएँ।
((1,4)) is present, and ((3,3)) creates no missing new pair.
Step 3
Exam Tip
Do not invent conditions from pairs that do not form a chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) मौजूद है, और ((3,3)) अपने साथ कोई नई कमी नहीं बनाता। चरण 3: जो युग्म कड़ी नहीं बनाते, उनसे अनावश्यक शर्त मत बनाइए।
A. क्योंकि ((2,2)) नहीं है/Because ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
Connecting ((2,1)) and ((1,2)) requires ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
This pair is not in (R), so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
For reverse chains, always check the forced self-pairs. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) को जोड़ने पर ((2,2)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म (R) में नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। चरण 3: संबंध में मौजूद हर उलटी कड़ी से बनने वाले आत्म युग्मों को जरूर देखें।
Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((a,c)) is absent, so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
One broken chain is enough to prove a relation is not transitive. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) चाहिए। चरण 2: यहाँ ((a,c)) नहीं है, इसलिए शर्त पूरी नहीं हुई। चरण 3: एक भी टूटी हुई कड़ी संबंध को असंक्रामक सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।
\(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
Congruence-type relations are usually transitive. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, तो (a) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे। चरण 3: शेषफल समानता वाले संबंधों में संक्रामकता अक्सर मिलती है।
If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b-c) is also even, then (a) and (c) have the same parity, so (a-c) is even.
Step 3
Exam Tip
Use parity to decide quickly in such questions. चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकार के हैं। चरण 2: यदि (b-c) भी सम है, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे, इसलिए (a-c) सम होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति से जल्दी निर्णय लें।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then by order \(a\ge c\).
Step 2
Why this answer is correct
So (aRc) is true and the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Both \(\ge\) and \(\le\) are transitive order relations. चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो क्रम के अनुसार \(a\ge c\)। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है और संबंध संक्रामक है। चरण 3: \(\ge\) और \(\le\) दोनों संक्रामक क्रम संबंध हैं।
Transitivity would require \(1\ne 1\), which is false. So the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
The not-equal relation looks simple but is not transitive. चरण 1: उदाहरण लें \(1\ne 2\) और \(2\ne 1\)। चरण 2: संक्रामकता के लिए \(1\ne 1\) चाहिए, जो गलत है। इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। चरण 3: असमान होने का संबंध देखने में सरल है, पर संक्रामक नहीं होता।
If the first student has the same age as the second, and the second has the same age as the third, then the first and third have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For same-property relations, connect equality through the middle object. चरण 1: यदि पहले छात्र की आयु दूसरे के बराबर है और दूसरे की आयु तीसरे के बराबर है, तो पहले और तीसरे की आयु भी बराबर होगी। चरण 2: इसलिए संबंध संक्रामक है। चरण 3: समान विशेषता वाले संबंधों में संक्रामकता जाँचने के लिए समानता की कड़ी बनाइए।
If (a) is brother of (b), and (b) is brother of (c), it does not always force (a) to be brother of (c).
Step 2
Why this answer is correct
Family relations depend on roles and gender, so transitivity is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
For real-life relations, test with a counterexample. चरण 1: यदि (a), (b) का भाई है और (b), (c) का भाई है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भाई ही हो। चरण 2: पारिवारिक संबंधों में लिंग और व्यक्ति की स्थिति बदल सकती है, इसलिए संक्रामकता निश्चित नहीं है। चरण 3: जीवन से जुड़े उदाहरणों में एक प्रतिवाद सोचकर जाँचें।
If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) in the same plane, then \(l\parallel n\).
Step 2
Why this answer is correct
So the parallel relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For geometry relations, a small diagram helps you see the chain. चरण 1: यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो एक ही समतल में \(l\parallel n\) होगा। चरण 2: इसलिए समानांतरता संबंध संक्रामक है। चरण 3: ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर कड़ी को समझना आसान होता है।
If \(l\perp m\) and \(m\perp n\), then (l) and (n) may be parallel.
Step 2
Why this answer is correct
So \(l\perp n\) is not necessary, and transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse perpendicularity with parallelism. चरण 1: यदि \(l\perp m\) और \(m\perp n\), तो (l) और (n) सामान्यतः समानांतर हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए \(l\perp n\) जरूरी नहीं है, और संक्रामकता नहीं मिलती। चरण 3: लंबता और समानांतरता को मिलाकर भ्रम न करें।
By transitivity, ((p,r)) must be in (R). Further pairs like ((q,s)) and ((p,s)) may also follow, but ((p,r)) is listed.
Step 3
Exam Tip
In a long chain, begin with two adjacent pairs. चरण 1: पहले ((p,q)) और ((q,r)) को जोड़ें। चरण 2: संक्रामकता से ((p,r)) निश्चित रूप से मिलेगा। आगे ((q,s)) और ((p,s)) भी बन सकते हैं, पर विकल्पों में ((p,r)) स्पष्ट है। चरण 3: लंबी श्रृंखला में नजदीकी दो युग्मों से शुरुआत करें।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((2,2)) only re-requires ((1,2)) and ((2,3)), which are already present. ((3,1)) is not forced.
Step 3
Exam Tip
Transitivity does not automatically create reverse direction. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) के कारण ((1,2)) और ((2,3)) फिर से जरूरी बनते हैं, वे भी मौजूद हैं। ((3,1)) की मांग नहीं बनती। चरण 3: संक्रामकता में उलटी दिशा अपने आप नहीं आती।
A. जब कोई एक कड़ी ((a,b)), ((b,c)) हो पर ((a,c)) न हो/When one chain ((a,b)), ((b,c)) exists but ((a,c)) does not
Step 1
Concept
To prove non-transitivity, one counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are present but ((a,c)) is absent, transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
In proof questions, one valid broken chain is sufficient. चरण 1: असंक्रामकता दिखाने के लिए एक प्रतिवाद काफी होता है। चरण 2: यदि ((a,b)) और ((b,c)) मिल जाएँ, लेकिन ((a,c)) न मिले, तो संक्रामकता टूट जाती है। चरण 3: प्रमाण में पूरा संबंध नहीं, एक सही टूटी कड़ी भी काफी है।
A. क्योंकि कोई ऐसी दूसरी कड़ी नहीं है जो नई शर्त बनाए/Because there is no second linked pair to create a new requirement
Step 1
Concept
The transitivity condition needs two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
With only ((2,3)), there is no pair of the form ((3,c)), so no condition is violated.
Step 3
Exam Tip
For one-pair relations, first check whether any chain exists at all. चरण 1: संक्रामकता की शर्त के लिए दो जुड़े हुए युग्म चाहिए। चरण 2: केवल ((2,3)) होने पर ((3,c)) जैसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त नहीं टूटती। चरण 3: एक युग्म वाले संबंधों में पहले देखें कि कोई कड़ी बन भी रही है या नहीं।
((1,2)) and ((3,4)) do not form a chain because \(2\ne 3\).
Step 2
Why this answer is correct
Since there is no connected pair, the transitivity condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
Do not connect every two pairs; only check matching middle elements. चरण 1: ((1,2)) और ((3,4)) आपस में कड़ी नहीं बनाते क्योंकि \(2\ne 3\)। चरण 2: कोई जुड़ी हुई जोड़ी नहीं है, इसलिए संक्रामकता की शर्त टूटती नहीं है। चरण 3: हर दो युग्मों को जोड़ना जरूरी नहीं; केवल मेल खाते बीच वाले तत्व देखें।
In transitivity, take the first element of the first pair and the second element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
Thus ((x,y)) and ((y,z)) give \((x,z)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In symbolic questions, avoid changing the order. चरण 1: संक्रामकता में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लिया जाता है। चरण 2: इसलिए ((x,y)) और ((y,z)) से \((x,z)\in R\) मिलेगा। चरण 3: प्रतीकों वाले प्रश्न में क्रम बदलने की गलती न करें।
((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((a,c)) with ((c,c)) requires ((a,c)), and ((b,c)) with ((c,c)) requires ((b,c)). These are present.
Step 3
Exam Tip
The same rule applies to letter-based pairs. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((a,c)) और ((c,c)) से फिर ((a,c)) चाहिए, और ((b,c)) तथा ((c,c)) से ((b,c)) चाहिए। ये मौजूद हैं। चरण 3: अक्षरों वाले युग्मों में भी वही नियम लागू होता है।
((a,c)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
A cyclic-looking relation is not transitive unless all required pairs are present. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: ((a,c)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूट जाती है। चरण 3: चक्रीय दिखने वाला संबंध भी बिना जरूरी युग्मों के संक्रामक नहीं होता।
Transitivity gives ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
It does not give the reverse pair ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
Keep transitive and symmetric properties separate. चरण 1: संक्रामकता से ((1,2)) और ((2,3)) के कारण ((1,3)) मिलता है। चरण 2: इससे उलटा युग्म ((3,1)) नहीं मिलता। चरण 3: संक्रामक और सममित गुणों को अलग-अलग पहचानें।
In the first option, ((1,2)) and ((2,3)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
The required pair ((1,3)) is also present, so the condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
In MCQs, first find the option containing both a chain and its result. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,3)) हैं। चरण 2: उनके लिए जरूरी ((1,3)) भी मौजूद है, इसलिए शर्त पूरी दिखती है। चरण 3: बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले उस विकल्प को खोजें जहाँ कड़ी और उसका परिणाम दोनों हों।
In ((2,2)) and ((2,5)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((2,5)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
With a self-pair, the required pair may be the same pair again. चरण 1: ((2,2)) और ((2,5)) में बीच वाला तत्व (2) मेल खाता है। चरण 2: संक्रामकता से ((2,5)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। चरण 3: आत्म युग्म के साथ कई बार वही युग्म फिर से जरूरी होता है।
The first element (4) and last element (6) give ((4,6)), already present.
Step 3
Exam Tip
Do not assume an unnecessary new pair just because a self-pair appears. चरण 1: ((4,6)) और ((6,6)) जुड़े हुए हैं। चरण 2: पहला तत्व (4) और अंतिम तत्व (6) मिलकर ((4,6)) देते हैं। यह युग्म पहले से है। चरण 3: आत्म युग्म को देखकर नया अनावश्यक युग्म न मान लें।
Together with (bRc), the chain reaches from (a) to (c), so (aRc) is correct.
Step 3
Exam Tip
Think of symbolic notation as ordered pairs ((a,b)), ((b,c)), and ((a,c)). चरण 1: (aRb) का अर्थ है (a) का (b) से संबंध है। चरण 2: (bRc) के साथ यह कड़ी (a) से (c) तक पहुँचती है, इसलिए (aRc) सही है। चरण 3: प्रतीकात्मक रूप को क्रमित युग्म ((a,b)), ((b,c)), ((a,c)) की तरह सोचें।
A. क्या किसी दो युग्मों में बीच वाला तत्व समान है/Whether two pairs have a common middle element
Step 1
Concept
Testing transitivity begins with two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
So first check whether a chain like ((a,b)) and ((b,c)) exists.
Step 3
Exam Tip
After finding a valid chain, check whether ((a,c)) is present. चरण 1: संक्रामकता की जाँच दो जुड़े हुए युग्मों से शुरू होती है। चरण 2: इसलिए पहले देखें कि ((a,b)) और ((b,c)) जैसी कड़ी बन रही है या नहीं। चरण 3: सही कड़ी मिलने के बाद ही ((a,c)) की उपस्थिति जाँचें।
