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A. लोगों में मित्र होने का संबंध/Relation of being friends among people
Step 1
Concept
यदि पहला व्यक्ति दूसरे का मित्र है और दूसरा तीसरे का मित्र है, तो पहला तीसरे का मित्र हो यह जरूरी नहीं। / If one person is friends with a second and the second is friends with a third, the first need not be friends with the third.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मित्रता संबंध संक्रमण नहीं है। / Therefore friendship is not transitive.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता की जांच अलग से जरूर करें। / Always test transitivity separately for equivalence.
A. लोगों में एक-दूसरे से परिचित होने का संबंध/Relation of being acquainted among people
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति स्वयं से परिचित माना जा सकता है, इसलिए स्वतुल्यता हो सकती है। / A person may be considered acquainted with himself or herself, so reflexivity can hold.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला व्यक्ति दूसरे से परिचित है, तो दूसरा भी पहले से परिचित माना जाता है, इसलिए सममितता है। / If one person is acquainted with another, the reverse is also true, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
पर पहला दूसरे से और दूसरा तीसरे से परिचित हो, तो पहला तीसरे से परिचित हो यह जरूरी नहीं। / But acquaintance need not pass through a third person, so transitivity can fail.
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है। / Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive.
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a,c)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूट जाती है। / ((a,c)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
चक्रीय दिखने वाला संबंध भी बिना जरूरी युग्मों के संक्रामक नहीं होता। / A cyclic-looking relation is not transitive unless all required pairs are present.
A. जब कोई एक कड़ी ((a,b)), ((b,c)) हो पर ((a,c)) न हो/When one chain ((a,b)), ((b,c)) exists but ((a,c)) does not
Step 1
Concept
असंक्रामकता दिखाने के लिए एक प्रतिवाद काफी होता है। / To prove non-transitivity, one counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) और ((b,c)) मिल जाएँ, लेकिन ((a,c)) न मिले, तो संक्रामकता टूट जाती है। / If ((a,b)) and ((b,c)) are present but ((a,c)) is absent, transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पूरा संबंध नहीं, एक सही टूटी कड़ी भी काफी है। / In proof questions, one valid broken chain is sufficient.
यदि (a), (b) का भाई है और (b), (c) का भाई है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भाई ही हो। / If (a) is brother of (b), and (b) is brother of (c), it does not always force (a) to be brother of (c).
Step 2
Why this answer is correct
पारिवारिक संबंधों में लिंग और व्यक्ति की स्थिति बदल सकती है, इसलिए संक्रामकता निश्चित नहीं है। / Family relations depend on roles and gender, so transitivity is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
जीवन से जुड़े उदाहरणों में एक प्रतिवाद सोचकर जाँचें। / For real-life relations, test with a counterexample.
उदाहरण लें \(1\ne 2\) और \(2\ne 1\)। / Take the example \(1\ne 2\) and \(2\ne 1\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए \(1\ne 1\) चाहिए, जो गलत है। इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Transitivity would require \(1\ne 1\), which is false. So the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
असमान होने का संबंध देखने में सरल है, पर संक्रामक नहीं होता। / The not-equal relation looks simple but is not transitive.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई तत्व अपने ही शेषफल से अलग शेषफल नहीं रख सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No element can have a different remainder from itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही है, इसलिए सममितता है। / The different-remainder condition remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) does not, so transitivity fails.
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a-a=0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=2) होने पर (b-a=-2), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=2), then (b-a=-2), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(4R2) और (2R0) सही हैं, पर (4R0) के लिए अंतर (4) है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (4R2) and (2R0) hold, but (4R0) has difference (4), so transitivity fails.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails.
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(1) न (2) से और न (3) से विभाज्य है, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा और परावर्तन नहीं है। / (1) is divisible by neither (2) nor (3), so ((1,1)) is not in the relation and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं, इसलिए सममितता है। / Both conditions are unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) अभाज्य है, पर ((2,2)) में योग (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum (2) is prime, but for ((2,2)), the sum (4) is not, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) भी है; संक्रामकता की टूटन के लिए ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) hold, but ((2,4)) does not, so transitivity fails.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। / The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
C. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
किसी संख्या का शेषफल अपने आप से अलग नहीं हो सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / A number cannot have a different remainder from itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition of different remainders remains true when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (1R2) and (2R3) hold but (1R3) does not, so transitivity fails.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म अभी भी मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are still present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,2)) मौजूद हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,3)) and ((3,2)) are present but ((1,2)) is missing, so transitivity fails.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair is removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हटे हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are removed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
बचे हुए वर्ग ({1},{2},{3}) नहीं, बल्कि जांचने पर ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए जो नहीं है; इसलिए यह संक्रामक नहीं है। / But ((1,3)) and ((3,2)) are present while ((1,2)) is missing, so it is not transitive.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) गायब है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / ((2,2)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हटाया गया युग्म स्वयं का उल्टा है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The removed pair is its own reverse, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,2)) मौजूद हैं पर ((2,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((2,1)) and ((1,2)) are present but ((2,2)) is missing, so transitivity fails.
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) के लिए सबसे बड़ा समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R3) और (3R4) सही हैं पर (2R4) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R3) and (3R4) hold but (2R4) does not, so it is not transitive.
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
