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A. लोगों में एक-दूसरे से परिचित होने का संबंध/Relation of being acquainted among people
Step 1
Concept
A person may be considered acquainted with himself or herself, so reflexivity can hold.
Step 2
Why this answer is correct
If one person is acquainted with another, the reverse is also true, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
But acquaintance need not pass through a third person, so transitivity can fail. चरण 1: कोई व्यक्ति स्वयं से परिचित माना जा सकता है, इसलिए स्वतुल्यता हो सकती है। चरण 2: यदि पहला व्यक्ति दूसरे से परिचित है, तो दूसरा भी पहले से परिचित माना जाता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: पर पहला दूसरे से और दूसरा तीसरे से परिचित हो, तो पहला तीसरे से परिचित हो यह जरूरी नहीं।
The (4) diagonal pairs are compulsory, so their choices are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The number of independent off-diagonal unordered pairs is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Each of these (6) pairs can be chosen or omitted, so the answer is \(2^6\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए उनका चुनाव निश्चित है। चरण 2: गैर-विकर्ण स्वतंत्र जोड़ों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 3: केवल इन (6) जोड़ों को चुनना या छोड़ना है, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
The number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Each block has two choices, so the total number is \(2^6=64\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म पहले से निश्चित रूप से रखे गए हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों वाली जोड़ीदार पसंदों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 3: हर जोड़ी के लिए रखने या न रखने के (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(2^6=64\) संबंध होंगे।
For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free. चरण 1: चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 2: सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। चरण 3: जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए।
A. (R) सममित और परावर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) appears with ((2,1)), and the remaining pairs are diagonal.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is also symmetric. चरण 1: तीनों विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी मौजूद है और बाकी युग्म विकर्ण हैं। चरण 3: इसलिए संबंध सममित भी है।
The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\). चरण 1: सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। चरण 2: विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। चरण 3: हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) contains all self-pairs, so they remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup R^{-1}\), every pair appears with its reverse.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is both reflexive and symmetric. चरण 1: (R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए वे संघ में भी रहेंगे। चरण 2: \(R\cup R^{-1}\) में किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा भी आ जाता है। चरण 3: इसलिए यह संबंध परावर्ती और सममित दोनों होता है।
For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways. चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं।
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। चरण 2: ((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। चरण 3: प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा।
For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं।
To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways. चरण 1: परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। चरण 3: 3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं।
The number of symmetric relations on (4) elements is \(2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The number of reflexive and symmetric relations is \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{10}:2^6=2^4:1\). चरण 1: (4) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है। चरण 2: परावर्ती और सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{10}:2^6=2^4:1\) होगा।
The \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) unordered pairs of distinct elements give independent choices.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of such relations is \(2^{15}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) अनियोजित जोड़े स्वतंत्र चुनाव देते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{15}\) होगी।
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each such pair is either included in both directions or excluded, so the number is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
The (10) unordered pairs of distinct elements remain.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each pair is chosen or omitted together, so the total number is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्तन के कारण पांचों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (10) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{10}\) है।
The remaining unordered pairs of distinct elements are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each such pair is chosen or omitted together, so the number is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (n) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
There are (6) unordered pairs of distinct elements, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
Only (6) independent choices remain, so the number is \(2^6\). चरण 1: परावर्तन के कारण चारों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (6) अनियोजित जोड़े हैं और सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है। चरण 3: केवल (6) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
There are three unordered distinct-element pairs, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
Hence only three independent choices remain, giving \(2^3\). चरण 1: परावर्तन के कारण तीनों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े हैं और सममितता के कारण हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाएगा। चरण 3: इसलिए केवल तीन स्वतंत्र चुनाव हैं और संख्या \(2^3\) है।
The non-self reverse-pair groups are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
These (10) groups are independent, so the count is \(2^{10}\). चरण 1: स्वसमता (5) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। चरण 2: असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। चरण 3: ये (10) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए/No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
Do not declare equivalence after checking only two properties. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। चरण 2: स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। चरण 3: दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें।
A. यह हमेशा स्वसम और सममित होता है/It is always reflexive and symmetric
Step 1
Concept
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every self-pair and every reverse pair is present.
Step 3
Exam Tip
Think of the universal relation as the complete collection of all pairs. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए हर अपने युग्म और हर उल्टा युग्म भी मौजूद होता है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को सभी युग्मों का पूरा संग्रह समझें।
All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Transitivity needs a separate check and should not be assumed immediately. चरण 1: तीनों अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: संक्रमणीयता अलग से जाँचनी पड़ेगी, तुरंत मानना ठीक नहीं।
The identity relation has all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of a diagonal pair is the same pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore the identity relation is also symmetric. चरण 1: पहचान संबंध में सभी विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: विकर्ण युग्म का उल्टा वही युग्म होता है। चरण 3: इसलिए पहचान संबंध सममित भी होता है।
A. प्रतिवर्ती और सममित संबंध/reflexive and symmetric relation
Step 1
Concept
Every element being related to itself means reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
Having the reverse of every related pair means symmetry.
Step 3
Exam Tip
It becomes an equivalence relation only after transitivity is also proved. चरण 1: हर अवयव का अपने-आप से संबंध होना प्रतिवर्तिता है। चरण 2: हर युग्म का उल्टा युग्म होना सममितता है। चरण 3: यदि संक्रामकता अलग से साबित हो जाए, तभी इसे समतुल्यता संबंध कहेंगे।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Distance is the same in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) and (0.6R1.2) hold, but (0R1.2) fails; hence it is not transitive. चरण 1: (|a-a|=0<1), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Therefore the required number is \(2^6-1\). चरण 1: प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। चरण 2: इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। चरण 3: इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे।
There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs and each pair-group may be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of relations is \(2^6\). चरण 1: स्वपरकता के कारण (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। चरण 2: अलग तत्वों की बिना क्रम वाली जोड़ियां \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं और हर जोड़ी को दोनों दिशाओं सहित लेना या छोड़ना है। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे।
Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3) unordered pairs of distinct elements, and each pair-group may be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the total number is \(2^3\). चरण 1: स्वपरकता के कारण तीनों स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग तत्वों के बिना क्रम वाले युग्मों की संख्या (3) है और प्रत्येक को जोड़े सहित लेना या छोड़ना है। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^3\) होगी।
Reflexivity makes all (n) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, only the off-diagonal reverse-pair groups are independent.
Step 3
Exam Tip
There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: प्रतिवर्तिता के कारण सभी (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: सममितता के लिए विकर्ण से बाहर केवल विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
Reflexivity forces all three diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
Outside the diagonal, only the three reverse-pair groups are independent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(2^3\); do not count the diagonal choices again. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर केवल तीन विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल चुनाव \(2^3\) हैं; विकर्ण युग्मों को दोबारा न गिनें।
