समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a\le b\)। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(a\le b\). Why is this not an equivalence relation?
#less than or equal
#symmetry failure
#not equivalence
#relation properties
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है / Because it is not reflexive
C क्योंकि यह संक्रामक नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि यह कोई सम्बन्ध नहीं है / Because it is not a relation
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(a\le a\) होने से स्वतुल्यता मिलती है। / Since \(a\le a\), reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(1\le 2\), तो \(2\le 1\) सही नहीं है। / If \(1\le 2\), it does not imply \(2\le 1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममिति टूटती है और सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Hence symmetry fails, so the relation is not an equivalence relation.
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किस विकल्प में संबंध संक्रमण नहीं है?
Which option gives a relation that is not transitive?
#not transitive
#friendship relation
#relation properties
A लोगों में मित्र होने का संबंध / Relation of being friends among people
B समान ऊँचाई वाला संबंध / Relation of having the same height
C पूर्णांकों पर समान शेष वाला संबंध / Same remainder relation on integers
D समान वर्ग मान वाला संबंध / Relation of having the same square value
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Correct Answer
A. लोगों में मित्र होने का संबंध / Relation of being friends among people
Step 1
Concept
यदि पहला व्यक्ति दूसरे का मित्र है और दूसरा तीसरे का मित्र है, तो पहला तीसरे का मित्र हो यह जरूरी नहीं। / If one person is friends with a second and the second is friends with a third, the first need not be friends with the third.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मित्रता संबंध संक्रमण नहीं है। / Therefore friendship is not transitive.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता की जांच अलग से जरूर करें। / Always test transitivity separately for equivalence.
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किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य नहीं है?
Which option gives a relation that is not reflexive?
#reflexivity failure
#odd sum
#relation properties
A पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम हो / On integers, (aRb) when (a+b) is odd
B पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम हो / On integers, (aRb) when (a-b) is even
C वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (|a|=|b|) / On real numbers, (aRb) when (|a|=|b|)
D व्यक्तियों पर समान आयु वाला संबंध / Relation of having the same age among persons
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Correct Answer
A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम हो / On integers, (aRb) when (a+b) is odd
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए जरूरी है। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a+b) विषम वाला संबंध स्वतुल्य नहीं है। / Therefore the odd-sum relation is not reflexive.
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किस विकल्प में संबंध तुल्यता संबंध नहीं है?
Which option is not an equivalence relation?
#non equivalence
#greater than relation
#relation properties
A वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b) / On real numbers, (aRb) when (a>b)
B पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) (4) से विभाज्य हो / On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (4)
C व्यक्तियों पर समान जन्म वर्ष वाला संबंध / Relation of having the same birth year among persons
D समतल में समान (x)-निर्देशांक वाला संबंध / Relation of having the same (x)-coordinate in a plane
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b) / On real numbers, (aRb) when (a>b)
Step 1
Concept
(a>b) संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (a>a) गलत है। / The relation (a>b) is not reflexive because (a>a) is false.
Step 2
Why this answer is correct
यह सममित भी नहीं है, क्योंकि (5>3) सही है पर (3>5) गलत है। / It is also not symmetric, since (5>3) does not imply (3>5).
Step 3
Exam Tip
तुलना वाले सख्त संबंध सामान्यतः तुल्यता संबंध नहीं होते। / Strict order relations are generally not equivalence relations.
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किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण तीनों है?
Which option has all three properties: reflexive, symmetric, and transitive?
#real life equivalence
#same colour
#relation properties
A समान रंग वाली वस्तुओं का संबंध / Relation of having the same colour
B बड़ा होने का संबंध (a>b) / Greater than relation (a>b)
C भिन्न होने का संबंध \(a\neq b\) / Unequal relation \(a\neq b\)
D पास बैठने का संबंध / Relation of sitting near
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Correct Answer
A. समान रंग वाली वस्तुओं का संबंध / Relation of having the same colour
Step 1
Concept
हर वस्तु का रंग स्वयं के रंग के समान है। / Every object has the same colour as itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहली वस्तु का रंग दूसरी के समान है, तो दूसरी का रंग पहली के समान है। / If one object has the same colour as another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान रंग का संबंध तीसरी वस्तु तक भी चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same colour is transitive, so it is an equivalence relation.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर संक्रमण है?
Which option gives a transitive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#transitive relation
#finite set
#relation properties
A ({(1,2),(2,3),(1,3)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(2,1),(1,3)})
D ({(1,3),(3,2)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रमणता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The first option contains this required pair.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणता में बीच वाले तत्व को पकड़कर आरंभ और अंत का युग्म जांचें। / In transitivity, use the middle element to identify the needed start-to-end pair.
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कौन-सा कथन सममित संबंध की परिभाषा को सबसे सही रूप में बताता है?
Which statement gives the most accurate definition of a symmetric relation?
#definition
#symmetric relation
#relation properties
A हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
B हर \(a\in A\) के लिए, \((a,a)\in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
D हर दो अवयवों के बीच ठीक एक युग्म हो / There is exactly one pair between every two elements
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Correct Answer
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता उलटे युग्म की उपस्थिति से जुड़ी है। / Symmetry is about the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना चाहिए। / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण वाली शर्त परावर्तिता और तीसरी शर्त संक्रामकता बताती है। / The diagonal condition is reflexivity, and the three-pair condition is transitivity.
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यदि कोई संबंध स्वतुल्य है, तो क्या वह हमेशा सममित होगा?
If a relation is reflexive, will it always be symmetric?
#symmetric vs reflexive
#relation properties
#concept clarity
A नहीं, अलग से उलटे युग्म जाँचने पड़ते हैं / No, reverse pairs must be checked separately
B हाँ, हर स्वतुल्य संबंध सममित होता है / Yes, every reflexive relation is symmetric
C हाँ, क्योंकि दोनों एक ही हैं / Yes, because both are the same
D कह नहीं सकते क्योंकि संबंध परिभाषित नहीं होता / Cannot say because a relation is not defined
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Correct Answer
A. नहीं, अलग से उलटे युग्म जाँचने पड़ते हैं / No, reverse pairs must be checked separately
Step 1
Concept
स्वतुल्यता केवल ((a,a)) युग्मों की बात करती है। / Reflexivity talks about pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता ((a,b)) और ((b,a)) की बात करती है। / Symmetry talks about ((a,b)) and ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
अलग गुणों को मिलाकर निर्णय न करें। / Do not mix different properties while deciding.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\) है। कौन सा गुण असफल है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\). Which property fails?
#relation-properties
#not-symmetric
#not-transitive
A सममितता और संक्रामकता दोनों / Both symmetry and transitivity
B केवल परावर्तन / Only reflexivity
C केवल सममितता / Only symmetry
D कोई गुण असफल नहीं / No property fails
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Correct Answer
A. सममितता और संक्रामकता दोनों / Both symmetry and transitivity
Step 1
Concept
तीनों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता असफल है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity also fails.
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दो संक्रमणीय संबंधों का प्रतिच्छेद कैसा होता है?
What can be said about the intersection of two transitive relations?
#intersection transitive relations
#relation properties
#mcq
A हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
B कभी संक्रमणीय नहीं / Never transitive
C हमेशा सममित / Always symmetric
D हमेशा रिक्त / Always empty
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Correct Answer
A. हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। / Linked pairs in the intersection are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। / Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.
Step 3
Exam Tip
इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा। / Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive.
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यदि संबंध (R) विरोधी सममित है और \(a\ne b\), तो कौन-सी स्थिति संभव नहीं है?
If relation (R) is antisymmetric and \(a\ne b\), which situation is impossible?
#antisymmetric relation
#relation properties
#mcq
A \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
B \((a,a)\in R\)
C \((b,b)\in R\)
D \((a,b)\notin R\)
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Correct Answer
A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। / Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। / If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते। / Self-pairs do not violate antisymmetry.
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समुच्चयों के परिवार पर (A R B) तभी जब \(A\subseteq B\)। यह संबंध किस कारण आंशिक क्रम है?
On a family of sets, (A R B) if \(A\subseteq B\). Why is this a partial order?
#subset relation
#partial order
#relation properties
A क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है / Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
B क्योंकि यह केवल सममित है / Because it is only symmetric
C क्योंकि यह रिक्त है / Because it is empty
D क्योंकि यह हमेशा तुल्यता संबंध है / Because it is always an equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है / Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। / Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। / If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है। / The subset relation passes through another set, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\). Choose the correct statement.
#equivalence relation
#small set
#relation properties
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वसम नहीं है / It is not reflexive
D यह सार्वत्रिक है / It is universal
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। कौन-सा गुण तुरंत स्पष्ट है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which property is immediately clear?
#reflexive symmetric
#relation properties
#mcq
A स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric
B केवल संक्रमणीय / Only transitive
C रिक्त / Empty
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric
Step 1
Concept
तीनों अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणीयता अलग से जाँचनी पड़ेगी, तुरंत मानना ठीक नहीं। / Transitivity needs a separate check and should not be assumed immediately.
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यदि संबंध (R) सममित और \((4,5)\in R\) है, तो सही निष्कर्ष कौन-सा है?
If relation (R) is symmetric and \((4,5)\in R\), which conclusion is correct?
#symmetric relation
#relation properties
#mcq
A \((5,4)\in R\)
B \((4,4)\in R\)
C \((5,5)\in R\)
D \((4,5)\notin R\)
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Correct Answer
A. \((5,4)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता का सीधा अर्थ उल्टे क्रमित युग्म की उपस्थिति है। / Symmetry directly means the reverse ordered pair must exist.
Step 2
Why this answer is correct
((4,5)) होने पर ((5,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,5)) is present, ((5,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता अपने जोड़ों की गारंटी नहीं देती, इसलिए विकल्पों को सावधानी से पढ़ें। / Symmetry does not guarantee self-pairs, so read options carefully.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) किस प्रकार का संबंध है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what type of relation is (R)?
#relations
#partial order
#relation properties
A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
C केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
D रिक्त संबंध / Empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अलग तत्वों के लिए कोई उल्टा युग्म साथ में नहीं है, इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair appears with a distinct pair, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता भी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.
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किस प्रकार के संबंध में स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता तीनों होती हैं?
Which type of relation has reflexivity, antisymmetry and transitivity together?
#relations
#partial order
#relation properties
A आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
B समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
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Correct Answer
A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation
Step 1
Concept
आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन विशेष गुण चाहिए। / A partial order relation needs three special properties.
Step 2
Why this answer is correct
वे गुण स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता हैं। / These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में प्रतिसममितता होती है। / Equivalence relation uses symmetry, while partial order uses antisymmetry.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\ge b\), तो (R) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\ge b\), what type of relation is (R)?
#relations
#greater than equal
#relation properties
A स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित पर स्वपरक नहीं / Symmetric but not reflexive
C स्वपरक पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
D समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\ge a\) सही है इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\ge a\) is true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है इसलिए संक्रामकता है। / \(a\ge b\) and \(b\ge c\) imply \(a\ge c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\ge1\) सही है पर \(1\ge2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2\ge1\) is true but \(1\ge2\) is false, so it is not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\le b\), तो यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\le b\), what type of relation is it?
#relations
#less than equal
#relation properties
A स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित और स्वपरक पर संक्रामक नहीं / Symmetric and reflexive but not transitive
C रिक्त संबंध / Empty relation
D सर्वसम संबंध / Identity relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। / From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
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एक संबंध सममित होने के लिए कौन सी शर्त सही है?
Which condition is correct for a relation to be symmetric?
#relations
#symmetric definition
#relation properties
A यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
B यदि \((a,b)\in R\), तो \((a,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\), तो (a=b) / If \((a,b)\in R\), then (a=b)
D यदि \(a\in A\), तो \(a\notin R\) / If \(a\in A\), then \(a\notin R\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता में युग्म का क्रम उलटने पर भी युग्म संबंध में रहना चाहिए। / Symmetry means the reverse ordered pair must also belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) जरूरी है। / So ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 3
Exam Tip
सममितता को उल्टा युग्म नियम के रूप में याद रखें। / Remember symmetry as the reverse-pair rule.
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