Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
Since \(a\le a\), reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(1\le 2\), it does not imply \(2\le 1\).
Step 3
Exam Tip
Hence symmetry fails, so the relation is not an equivalence relation. चरण 1: \(a\le a\) होने से स्वतुल्यता मिलती है। चरण 2: यदि \(1\le 2\), तो \(2\le 1\) सही नहीं है। चरण 3: इसलिए सममिति टूटती है और सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता।
A. लोगों में मित्र होने का संबंध/Relation of being friends among people
Step 1
Concept
If one person is friends with a second and the second is friends with a third, the first need not be friends with the third.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore friendship is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Always test transitivity separately for equivalence. चरण 1: यदि पहला व्यक्ति दूसरे का मित्र है और दूसरा तीसरे का मित्र है, तो पहला तीसरे का मित्र हो यह जरूरी नहीं। चरण 2: इसलिए मित्रता संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता की जांच अलग से जरूर करें।
A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम हो/On integers, (aRb) when (a+b) is odd
Step 1
Concept
Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore the odd-sum relation is not reflexive. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए जरूरी है। चरण 2: (a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। चरण 3: इसलिए (a+b) विषम वाला संबंध स्वतुल्य नहीं है।
A. वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b)/On real numbers, (aRb) when (a>b)
Step 1
Concept
The relation (a>b) is not reflexive because (a>a) is false.
Step 2
Why this answer is correct
It is also not symmetric, since (5>3) does not imply (3>5).
Step 3
Exam Tip
Strict order relations are generally not equivalence relations. चरण 1: (a>b) संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (a>a) गलत है। चरण 2: यह सममित भी नहीं है, क्योंकि (5>3) सही है पर (3>5) गलत है। चरण 3: तुलना वाले सख्त संबंध सामान्यतः तुल्यता संबंध नहीं होते।
A. समान रंग वाली वस्तुओं का संबंध/Relation of having the same colour
Step 1
Concept
Every object has the same colour as itself.
Step 2
Why this answer is correct
If one object has the same colour as another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
Having the same colour is transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर वस्तु का रंग स्वयं के रंग के समान है। चरण 2: यदि पहली वस्तु का रंग दूसरी के समान है, तो दूसरी का रंग पहली के समान है। चरण 3: समान रंग का संबंध तीसरी वस्तु तक भी चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The first option contains this required pair.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, use the middle element to identify the needed start-to-end pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रमणता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। चरण 3: संक्रमणता में बीच वाले तत्व को पकड़कर आरंभ और अंत का युग्म जांचें।
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)/For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Symmetry is about the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold.
Step 3
Exam Tip
The diagonal condition is reflexivity, and the three-pair condition is transitivity. चरण 1: सममितता उलटे युग्म की उपस्थिति से जुड़ी है। चरण 2: \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना चाहिए। चरण 3: विकर्ण वाली शर्त परावर्तिता और तीसरी शर्त संक्रामकता बताती है।
A. नहीं, अलग से उलटे युग्म जाँचने पड़ते हैं/No, reverse pairs must be checked separately
Step 1
Concept
Reflexivity talks about pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry talks about ((a,b)) and ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Do not mix different properties while deciding. चरण 1: स्वतुल्यता केवल ((a,a)) युग्मों की बात करती है। चरण 2: सममितता ((a,b)) और ((b,a)) की बात करती है। चरण 3: अलग गुणों को मिलाकर निर्णय न करें।
A. सममितता और संक्रामकता दोनों/Both symmetry and transitivity
Step 1
Concept
All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present but ((3,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity also fails. चरण 1: तीनों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन सही है। चरण 2: ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता असफल है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी असफल है।
Linked pairs in the intersection are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.
Step 3
Exam Tip
Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive. चरण 1: प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। चरण 2: दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। चरण 3: इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा।
A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों/Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
Self-pairs do not violate antisymmetry. चरण 1: विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। चरण 2: \(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। चरण 3: अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते।
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है/Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The subset relation passes through another set, so transitivity holds. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है।
All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Transitivity needs a separate check and should not be assumed immediately. चरण 1: तीनों अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: संक्रमणीयता अलग से जाँचनी पड़ेगी, तुरंत मानना ठीक नहीं।
Symmetry directly means the reverse ordered pair must exist.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((4,5)) is present, ((5,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not guarantee self-pairs, so read options carefully. चरण 1: सममितता का सीधा अर्थ उल्टे क्रमित युग्म की उपस्थिति है। चरण 2: ((4,5)) होने पर ((5,4)) अवश्य होगा। चरण 3: सममितता अपने जोड़ों की गारंटी नहीं देती, इसलिए विकल्पों को सावधानी से पढ़ें।
No reverse pair appears with a distinct pair, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: अलग तत्वों के लिए कोई उल्टा युग्म साथ में नहीं है, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A partial order relation needs three special properties.
Step 2
Why this answer is correct
These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Equivalence relation uses symmetry, while partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन विशेष गुण चाहिए। चरण 2: वे गुण स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता हैं। चरण 3: समतुल्यता संबंध में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में प्रतिसममितता होती है।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\ge a\) is true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ge b\) and \(b\ge c\) imply \(a\ge c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\ge1\) is true but \(1\ge2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\ge a\) सही है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: \(2\ge1\) सही है पर \(1\ge2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है।
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Symmetry means the reverse ordered pair must also belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
So ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 3
Exam Tip
Remember symmetry as the reverse-pair rule. चरण 1: सममितता में युग्म का क्रम उलटने पर भी युग्म संबंध में रहना चाहिए। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) जरूरी है। चरण 3: सममितता को उल्टा युग्म नियम के रूप में याद रखें।
