In a partial order, not every pair of elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
When every two elements are comparable, the partial order becomes a total order.
Step 3
Exam Tip
Relations like \(\le\) are common examples of total order. चरण 1: आंशिक क्रम में सभी अवयवों का तुलनीय होना जरूरी नहीं है। चरण 2: जब हर दो अवयव तुलनीय हों, तो आंशिक क्रम पूर्ण क्रम बन जाता है। चरण 3: \(\le\) जैसे संबंध पूर्ण क्रम के सामान्य उदाहरण हैं।
No reverse pair for unequal elements appears, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
No required linked pair is missing, so it is also transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म होने से स्वसमता है। चरण 2: कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: जुड़े युग्मों से कोई जरूरी युग्म गायब नहीं, इसलिए संक्रमणीयता भी है।
A. क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है/Because antisymmetry fails
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
Comparison of squares is transitive.
Step 3
Exam Tip
For (1) and (-1), relation holds both ways but \(1\ne -1\), so antisymmetry fails. चरण 1: \(a^2\le a^2\) से स्वसमता मिलती है। चरण 2: वर्गों की तुलना संक्रमणीय भी होती है। चरण 3: (1) और (-1) के लिए दोनों दिशाओं में संबंध है, पर \(1\ne -1\), इसलिए विरोधी सममितता टूटती है।
Symmetry belongs to equivalence relations, not as a required condition for partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए स्वसमता जरूरी है। चरण 2: इसमें विरोधी सममितता और संक्रमणीयता भी जरूरी होती है। चरण 3: सममितता तुल्यता संबंध में आती है, आंशिक क्रम की जरूरी शर्त नहीं है।
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है/Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The subset relation passes through another set, so transitivity holds. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b) here, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Divisibility is also transitive, so it is a partial order relation. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो इस समुच्चय में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: विभाज्यता संक्रमणीय भी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
No reverse pair for unequal elements occurs, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), so it is a partial order relation. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: किसी असमान युग्म का उल्टा साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry. चरण 1: तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। चरण 2: अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। चरण 3: असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है।
In antisymmetry, if both reverse pairs are present, the elements must be equal.
Step 3
Exam Tip
This conclusion is very useful in partial order questions. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध विरोधी सममित होता है। चरण 2: विरोधी सममितता में दोनों उल्टे युग्म होने पर अवयव समान होने चाहिए। चरण 3: आंशिक क्रम के प्रश्न में यह निष्कर्ष बहुत उपयोगी होता है।
The relation \(\ge\) is reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not call it equivalence because it is generally not symmetric. चरण 1: \(a-b\ge0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। चरण 2: \(\ge\) संबंध स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय होता है। चरण 3: इसे तुल्यता न मानें, क्योंकि यह सामान्यतः सममित नहीं है।
Every set is a subset of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then (A=B), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then \(A\subseteq C\), so it is a partial order. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो (A=B), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\subseteq C\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
Every positive integer divides itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive integers (a=b), so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is a partial order. चरण 1: हर धनात्मक पूर्णांक स्वयं को विभाजित करता है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक पूर्णांकों में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) occur for \(a\ne b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
If no reverse non-self pair pair exists, antisymmetry holds. चरण 1: विरोधी सममितता तब टूटती है जब \(a\ne b\) के लिए ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। चरण 2: यहाँ ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: उल्टे असमान युग्म की जोड़ी न होने पर विरोधी सममितता बनी रहती है।
In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry. चरण 1: विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। चरण 3: विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें।
A. \(\le\) द्वारा बना संबंध/Relation defined by \(\le\)
Step 1
Concept
A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
The relation \(\le\) satisfies all three.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference: equivalence uses symmetry, partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम में स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। चरण 2: \(\le\) संबंध ये तीनों गुण पूरा करता है। चरण 3: तुल्यता और आंशिक क्रम में अंतर याद रखें: तुल्यता में सममितता, आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है।
The pairs show the first element is greater than or equal to the second.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (3) is related to (2) and (1), and (2) is related to (1).
Step 3
Exam Tip
Recognize this pattern as similar to the \(\ge\) relation. चरण 1: दिए गए युग्मों में बड़ा या बराबर पहला अवयव दूसरे से संबंधित है। चरण 2: जैसे (3) का (2) और (1) से संबंध है, और (2) का (1) से। चरण 3: ऐसे पैटर्न को \(\ge\) संबंध की तरह पहचानें।
All diagonal pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so antisymmetry is not violated.
Step 3
Exam Tip
No required transitive pair is missing, so it is a partial order relation. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती। चरण 3: कोई जरूरी संक्रामी युग्म अनुपस्थित नहीं है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
A partial order requires reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Here antisymmetry is missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not a partial order relation. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 2: यहां प्रतिसममितता नहीं है। चरण 3: इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध नहीं होगा।
A partial order requires reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry is not a required condition for partial order.
Step 3
Exam Tip
Therefore symmetry is the wrongly added property here. चरण 1: आंशिक क्रम में प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 2: सममितता आंशिक क्रम की आवश्यक शर्त नहीं है। चरण 3: इसलिए सममितता को यहां गलत जोड़ा गया गुण माना जाएगा।
Antisymmetry prevents two-way relation between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
With transitivity, the relation is called a partial order relation. चरण 1: प्रतिवर्तिता हर अवयव को अपने-आप से जोड़ती है। चरण 2: प्रतिसममितता अलग अवयवों के दोतरफा संबंध को रोकती है। चरण 3: इन दोनों के साथ संक्रामकता हो, तो संबंध आंशिक क्रम संबंध कहलाता है।
A. नहीं, संक्रामकता भी चाहिए/no, transitivity is also needed
Step 1
Concept
A partial order relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Along with reflexivity and antisymmetry, transitivity is also needed.
Step 3
Exam Tip
Hence the two given properties are not enough. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन गुण जरूरी हैं। चरण 2: प्रतिवर्तिता और प्रतिसममितता के साथ संक्रामकता भी होनी चाहिए। चरण 3: इसलिए दिए गए दो गुण पर्याप्त नहीं हैं।
A partial order relation has reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Instead of symmetry, it requires antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Thus antisymmetry is important for identifying a partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध में प्रतिवर्तिता और संक्रामकता होती है। चरण 2: इसमें सममितता नहीं, बल्कि प्रतिसममितता चाहिए। चरण 3: इसलिए आंशिक क्रम की पहचान में प्रतिसममितता बहुत जरूरी है।
Every natural number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Divisibility passes through a middle element, so it is transitive and hence a partial order. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो (a=b), इसलिए प्रतिसममित है। चरण 3: विभाज्यता आगे चलती है, इसलिए यह संक्रामी और आंशिक क्रम संबंध है।
It has reflexive, antisymmetric and transitive properties.
Step 3
Exam Tip
When you see antisymmetry with reflexivity and transitivity, think of partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध तुलना पर आधारित होता है। चरण 2: इसमें प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी तीनों गुण होते हैं। चरण 3: प्रतिसममित शब्द देखकर आंशिक क्रम की पहचान करें।
If \(a\le b\) and \(b\le a\), then (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is a partial order. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le a\), तो (a=b), इसलिए प्रतिसममित है। चरण 3: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए यह आंशिक क्रम है।
B. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
A partial order relation gives a structure of comparison.
Step 2
Why this answer is correct
It must be reflexive, antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference: equivalence uses symmetry, while partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध तुलना की व्यवस्था देता है। चरण 2: इसके लिए प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 3: समतुल्यता और आंशिक क्रम में फर्क याद रखें; समतुल्यता में सममितता होती है, आंशिक क्रम में प्रतिसममितता।
Under divisibility, the greatest among them is (4). चरण 1: निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। चरण 2: (1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है।
An upper bound must be divisible by both (2) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
(8) and (16) are upper bounds.
Step 3
Exam Tip
Under divisibility, the least among them is (8). चरण 1: ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है।
In a chain, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\mid6\) and \(1\mid3\mid6\) are chains of three elements.
Step 3
Exam Tip
Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible. चरण 1: एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। चरण 2: \(1\mid2\mid6\) और \(1\mid3\mid6\) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। चरण 3: (2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती।
Two elements are comparable if one divides the other.
Step 2
Why this answer is correct
The comparable pairs are ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6}).
Step 3
Exam Tip
({2,3}) is not comparable, so the count is (5). चरण 1: तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। चरण 2: जोड़े हैं ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6})। चरण 3: ({2,3}) तुलनीय नहीं है, इसलिए कुल (5) तुलनीय जोड़े हैं।
