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((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) are present and ((1,2)) has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
Check self-pairs first and then reverse pairs. चरण 1: स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म मौजूद होने चाहिए। चरण 2: ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। चरण 3: पहले स्वयं युग्म फिर उल्टे युग्म जांचना अच्छा तरीका है।
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
An equivalence relation needs reflexivity, symmetry, and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
If even one property is missing, the relation is not equivalence. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए स्वपरकता, सममितता और संक्रामकता तीनों चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: समतुल्यता में एक भी गुण छूटे तो संबंध समतुल्यता नहीं होगा।
The number of subsets is \(2^{16}\), so that is the answer. चरण 1: (A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 2: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 3: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) होगी, इसलिए यही उत्तर है।
\(A\times A\) has (9) pairs, so (6) pairs are freely chosen.
Step 3
Exam Tip
The number of reflexive relations is \(2^6\). चरण 1: स्वपरक संबंध में (3) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: \(A\times A\) में (9) युग्म हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी।
A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है/Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
Symmetry needs the reverse of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Missing even one reverse pair breaks symmetry. चरण 1: सममितता में प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म भी होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है, जो संबंध में नहीं है। चरण 3: एक भी उल्टा युग्म न मिलने पर सममितता समाप्त हो जाती है।
Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.
Step 3
Exam Tip
Take the first entry of the first pair and the second entry of the second pair. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। चरण 3: संक्रामकता में पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लें।
In the identity relation, every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
So for (1), (2), and (3), the pairs are ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
Pairs with different entries are not part of the identity relation. चरण 1: सर्वसम संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए (1), (2), (3) के लिए ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मिलते हैं। चरण 3: अलग-अलग तत्वों वाले युग्म सर्वसम संबंध में नहीं होते।
A relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times B\) has \(2\times3=6\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of relations is \(2^6\). चरण 1: (A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 2: \(A\times B\) में \(2\times3=6\) युग्म हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे।
Since all self-pairs are present, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Transitivity needs a separate check, so the definite properties here are reflexive and symmetric. चरण 1: सभी स्वयं युग्म होने से संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं। चरण 3: संक्रामकता अलग से जांचनी पड़ती है, इसलिए यहां निश्चित गुण स्वपरक और सममित हैं।
B. क्योंकि स्वयं युग्म नहीं हैं/Because self-pairs are missing
Step 1
Concept
Reflexivity requires a self-pair for every element.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are not in the relation.
Step 3
Exam Tip
A relation may look symmetric, but that does not replace reflexivity. चरण 1: स्वपरकता के लिए हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। चरण 2: ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) संबंध में नहीं हैं। चरण 3: सममितता जैसी दिखने वाली स्थिति स्वपरकता की जगह नहीं ले सकती।
The main chain ((1,2)) and ((2,3)) asks for ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present, and self-pairs do not create a problem.
Step 3
Exam Tip
Check all formed chains carefully for transitivity. चरण 1: मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) की जांच करती है। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है और स्वयं युग्म भी संक्रामकता में बाधा नहीं हैं। चरण 3: संक्रामकता में सभी बनी हुई कड़ियों को धीरे-धीरे जांचें।
((1,3)) is present but ((3,1)) is missing, so symmetry is absent.
Step 3
Exam Tip
For every non-self pair, always check its reverse pair. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: ((1,3)) है लेकिन ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: अलग तत्वों वाले हर युग्म का उल्टा युग्म जरूर जांचें।
(A) has (3) elements, so there are \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
In the universal relation, no possible pair is left out. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। चरण 2: (A) में (3) तत्व हैं, इसलिए \(3^2=9\) युग्म होंगे। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध में कोई भी संभावित युग्म छूटता नहीं है।
Every element being related to itself identifies reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse-pair condition belongs to symmetry.
Step 3
Exam Tip
Remember the definitions of different properties separately. चरण 1: हर तत्व का स्वयं से संबंध स्वपरकता की पहचान है। चरण 2: उल्टे युग्म की शर्त सममितता में आती है। चरण 3: अलग-अलग गुणों की परिभाषा अलग याद रखें।
The given rule talks about the reverse pair of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
This is the definition of a symmetric relation.
Step 3
Exam Tip
Translating symbols into words reduces mistakes. चरण 1: दिए गए नियम में हर युग्म के साथ उल्टे युग्म की बात है। चरण 2: यही सममित संबंध की परिभाषा है। चरण 3: प्रतीकों को शब्दों में बदलकर समझने से गलती कम होती है।
Remember the chain ((a,b)), ((b,c)), and ((a,c)). चरण 1: यहां दो जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: यह संक्रामक संबंध की शर्त है। चरण 3: ((a,b)), ((b,c)), ((a,c)) की कड़ी को याद रखें।
A relation containing all pairs of \(A\times A\) is called the universal relation.
Step 2
Why this answer is correct
For \(A=\{1,2,3\}\), there are (9) pairs.
Step 3
Exam Tip
If all possible pairs are present, the relation is universal. चरण 1: \(A\times A\) के सभी युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध कहलाता है। चरण 2: \(A=\{1,2,3\}\) के लिए कुल (9) युग्म होंगे। चरण 3: सभी संभव युग्म दिखें तो संबंध सार्वत्रिक है।
Avoid confusing the empty relation with reflexive or universal relation. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई भी क्रमित युग्म नहीं होता। चरण 2: इसलिए यह \(A\times A\) का खाली उपसमुच्चय है। चरण 3: रिक्त संबंध को स्वपरक या सार्वत्रिक समझने से बचें।
In a symmetric relation, self-pairs and unordered distinct pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
For (n=3), independent choices are (\frac{3(3+1)}{2}=6).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of symmetric relations is \(2^6\). चरण 1: सममित संबंध में स्वयं युग्म और बिना क्रम वाले अलग युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं। चरण 2: (n=3) के लिए स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{3(3+1)}{2}=6) है। चरण 3: इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है।
Both ((1,2)) and ((2,1)) make it symmetric, and the full relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
These three properties make it an equivalence relation. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) होने से स्वपरकता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होने से सममितता है और पूरा संबंध संक्रामक भी है। चरण 3: तीनों गुण मिलकर समतुल्यता संबंध बनाते हैं।
C. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present, and the needed transitive checks are satisfied.
Step 3
Exam Tip
When all three properties hold, the relation is an equivalence relation. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा आवश्यक संक्रामक कड़ियां पूरी हैं। चरण 3: तीनों गुण पूरे हों तो संबंध समतुल्यता संबंध है।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) has no reverse ((2,1)), so it is not symmetric. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए मुख्य संक्रामकता पूरी है। चरण 3: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है।
A. यह सर्वसम और समतुल्यता संबंध है/It is identity and equivalence relation
Step 1
Concept
Every element is related only to itself, so it is the identity relation.
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
Hence it is also an equivalence relation. चरण 1: हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है, इसलिए यह सर्वसम संबंध है। चरण 2: सर्वसम संबंध स्वपरक, सममित और संक्रामक होता है। चरण 3: इसलिए यह समतुल्यता संबंध भी है।
A. जब किसी \(a\in A\) के लिए \((a,a)\notin R\) हो/When for some \(a\in A\), \((a,a)\notin R\)
Step 1
Concept
Reflexivity needs a self-pair for every element.
Step 2
Why this answer is correct
If even one element has no self-pair, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
When checking reflexivity, inspect every element of the whole set. चरण 1: स्वपरकता में हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। चरण 2: यदि किसी एक तत्व का भी स्वयं युग्म नहीं है, तो शर्त टूट जाती है। चरण 3: स्वपरकता जांचते समय पूरे समुच्चय के सभी तत्व देखें।
Reflexivity makes (4) self-pairs compulsory, leaving (12) pairs free.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of reflexive relations is \(2^{12}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 2: स्वपरकता के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: इस कारण स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^{12}\) है।
In a relation from (A) to (B), the first entry must come from (A) and the second from (B).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((2,4)) follow this rule.
Step 3
Exam Tip
Changing the order in ordered pairs changes the relation. चरण 1: (A) से (B) में संबंध के हर युग्म का पहला तत्व (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। चरण 2: ((1,3)) और ((2,4)) इस नियम को पूरा करते हैं। चरण 3: क्रमित युग्मों में स्थान बदलने से संबंध बदल जाता है।
Reflexivity requires the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
For \(A=\{1,2\}\), ((1,1)) and ((2,2)) are required.
Step 3
Exam Tip
Pairs with different elements do not complete reflexivity. चरण 1: स्वपरकता के लिए समुच्चय के हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। चरण 2: \(A=\{1,2\}\) के लिए ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हैं। चरण 3: अलग तत्वों वाले युग्म स्वपरकता की कमी पूरी नहीं करते।
The reverse pairs are ((2,1)), ((3,2)), and ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, add the missing reverse pairs. चरण 1: सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: दिए गए युग्मों के उल्टे ((2,1)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। चरण 3: सममित बनाने में छूटे उल्टे युग्म जोड़ना मुख्य काम है।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and symmetry also needs ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
In equivalence, transitive chains reveal missing pairs. चरण 1: संबंध स्वपरक और सममित है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, और सममितता के लिए ((3,1)) भी चाहिए। चरण 3: समतुल्यता में संक्रामक कड़ियों से छूटे युग्म मिलते हैं।
A relation based on equality is the identity relation. चरण 1: (a=b) का मतलब है कि तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 2: इसलिए युग्म ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे। चरण 3: बराबरी से बना संबंध सर्वसम संबंध होता है।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है।
B. यह संक्रामक है पर स्वपरक नहीं/It is transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(1<2) and (2<3) imply (1<3), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
A relation going from smaller to larger is usually not symmetric. चरण 1: (a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए स्वपरकता नहीं है। चरण 2: (1<2) और (2<3) से (1<3) मिलता है, इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: छोटे से बड़े की दिशा वाला संबंध आमतौर पर सममित नहीं होता।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same parity continues through a chain, so it is transitive. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान समता आगे भी बनी रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है।
If (a-b) is divisible, then (b-a) is also divisible, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder divisibility also gives transitivity. चरण 1: (a-a=0) (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (a-b) विभाज्य होने पर (b-a) भी विभाज्य होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान शेष वाली विभाज्यता संक्रामकता भी देती है।
In the inverse relation, the two entries of each pair are interchanged.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) becomes ((2,1)), ((2,3)) becomes ((3,2)), and ((3,3)) remains the same.
Step 3
Exam Tip
A self-pair does not change in the inverse. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। चरण 2: ((1,2)) से ((2,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,3)) वही रहता है। चरण 3: स्वयं युग्म विलोम लेने पर नहीं बदलता।
If every reverse pair is already in the relation, the inverse remains the same.
Step 3
Exam Tip
This is the basic idea of symmetry. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म उल्टा हो जाता है। चरण 2: यदि हर उल्टा युग्म पहले से संबंध में है, तो विलोम संबंध वही रहेगा। चरण 3: यही सममितता का मूल विचार है।
The relation contains ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not destroy reflexivity. चरण 1: संबंध में ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) सभी मौजूद हैं। चरण 2: इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। चरण 3: अतिरिक्त युग्म स्वपरकता को खराब नहीं करते।
Every distinct pair has its reverse in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), ((2,3)) has ((3,2)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
Complete presence of reverse pairs shows symmetry. चरण 1: प्रत्येक अलग युग्म का उल्टा युग्म संबंध में है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((2,3)) के साथ ((3,2)), और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं। चरण 3: उल्टे युग्मों की पूरी उपस्थिति सममितता दिखाती है।
C. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
Reflexivity applies to every element of the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is in the set, ((3,3)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Having only some self-pairs does not complete reflexivity. चरण 1: स्वपरकता पूरे समुच्चय के हर तत्व पर लागू होती है। चरण 2: (3) समुच्चय में है, इसलिए ((3,3)) होना चाहिए। चरण 3: कुछ स्वयं युग्म होने से स्वपरकता पूरी नहीं होती।
C. यह स्वपरक, सममित और संक्रामक है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible pairs, so all self-pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
Every reverse pair and every pair needed for transitivity is also present.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is often also an equivalence relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं, इसलिए सभी स्वयं युग्म भी हैं। चरण 2: हर युग्म का उल्टा और हर संक्रामक कड़ी का जरूरी युग्म भी मौजूद है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध कई बार समतुल्यता संबंध भी होता है।
Symmetry needs the reverse of every existing pair.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
The empty relation can be symmetric, but it is not reflexive on a non-empty set. चरण 1: सममितता में मौजूद हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन नहीं होता। चरण 3: रिक्त संबंध सममित हो सकता है, पर गैर-रिक्त समुच्चय पर स्वपरक नहीं होता।
Transitivity fails only when two pairs exist but the required third pair is missing.
Step 2
Why this answer is correct
In the empty relation, no such two pairs exist, so the condition is not broken.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is considered transitive. चरण 1: संक्रामकता तब टूटती है जब दो युग्म हों पर तीसरा जरूरी युग्म न हो। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई दो युग्म उपलब्ध नहीं हैं, इसलिए शर्त नहीं टूटती। चरण 3: रिक्त संबंध को संक्रामक माना जाता है।
This one pair has two subsets: the empty subset and the subset containing that pair.
Step 3
Exam Tip
Use \(2^{n^2}\) for total relations. चरण 1: \(A\times A\) में \(1^2=1\) युग्म होगा। चरण 2: इस एक युग्म के दो उपसमुच्चय बनेंगे, एक रिक्त और एक उसी युग्म वाला। चरण 3: कुल संबंधों के लिए \(2^{n^2}\) का उपयोग करें।
In \(A\times B\), there are (3) choices for the first entry and (2) choices for the second.
Step 2
Why this answer is correct
Total pairs are \(3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
In Cartesian product, multiply the numbers of elements. चरण 1: \(A\times B\) में पहले स्थान के लिए (3) और दूसरे स्थान के लिए (2) विकल्प हैं। चरण 2: कुल युग्म \(3\times2=6\) होंगे। चरण 3: कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्याओं का गुणा करते हैं।
In the given relation, only ((2,3)) and ((3,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation universal, add every missing pair. चरण 1: \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होने चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में केवल ((2,3)) और ((3,2)) छूट रहे हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध के लिए हर छूटा हुआ युग्म जोड़ना होता है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Every number has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).
Step 3
Exam Tip
Same parity continues through a chain, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर संख्या की समता अपने जैसी होती है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: यदि (a) की समता (b) जैसी है, तो (b) की समता भी (a) जैसी है। चरण 3: समान समता की कड़ी आगे भी बनी रहती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
In the given relation, the reverse of every pair is already present.
Step 3
Exam Tip
The inverse of such a symmetric relation is the relation itself. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म उल्टा होता है। चरण 2: दिए गए संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से मौजूद है। चरण 3: ऐसे सममित संबंध का विलोम वही संबंध होता है।
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
Reflexivity requires a self-pair for every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is also an element of (A), but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Always look carefully at the original set before judging the relation. चरण 1: स्वपरकता में समुच्चय के हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। चरण 2: (3) भी (A) का तत्व है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: दिए गए युग्मों से पहले मूल समुच्चय को ध्यान से देखें।
A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))/((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3))
Step 1
Concept
In transitivity, the second entry of the first pair and the first entry of the second pair must match.
Step 2
Why this answer is correct
In ((1,2)) and ((2,3)), the middle element (2) matches, so ((1,3)) is needed.
Step 3
Exam Tip
Identifying the correct chain is the key to transitivity questions. चरण 1: संक्रामकता में दूसरे स्थान और पहले स्थान का बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) में (2) बीच में समान है, इसलिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: सही कड़ी पहचानना संक्रामकता के प्रश्नों की कुंजी है।
A. यह स्वपरक और सममित है/It is reflexive and symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) has ((3,2)), and self-pairs reverse to themselves.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity and symmetry should be checked separately. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((2,3)) के साथ ((3,2)) भी मौजूद है और स्वयं युग्म अपने उल्टे खुद हैं। चरण 3: स्वपरकता और सममितता को अलग-अलग जांचना चाहिए।
