Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,c)\in R\) अवश्य आएगा। / Hence \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध सामान्यतः संक्रमणीय होते हैं। / Same-remainder relations are usually transitive.
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले संबंध सामान्यतः संक्रमण होते हैं। / Congruence relations are generally transitive.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then their sum (a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में योग का नियम याद रखें। / Use the addition property of divisibility.
यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें। / Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry.
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है/Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। / Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। / Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है। / Symmetry is exactly about checking this reverse pair.
यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। / If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। / The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं। / Congruence rules are good examples of symmetry.
(4) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), ({4,8}) हैं। / The equal-remainder groups modulo 4 are ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), and ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। / Each group gives \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+4=16) युग्म होंगे और सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं। / Total pairs are (4+4+4+4=16), including all self-pairs.
A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर/Same remainder on division by (2) over integers
Step 1
Concept
समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। / It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें। / Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders.
हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation.
(a-a=0), (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0), which is divisible by (3), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले अंतरों का जोड़ फिर (3) से विभाज्य रहता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The sum of such divisible differences remains divisible by (3), so it is an equivalence relation.
