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A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं/No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है। / For integer functions, parity checks are very useful for onto questions.
किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) में से ही एक होता है। / When an integer is divided by (3), the remainder is one of (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीनों शेष मिलते हैं, जैसे (f(3)=0), (f(4)=1), (f(5)=2)। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन कई पूर्णांक समान शेष देते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / All three remainders are obtained, for example (f(3)=0), (f(4)=1), and (f(5)=2). Hence the function is onto. But many integers give the same remainder, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले प्रश्नों में सभी संभव शेषों की सूची बनाइए। / In remainder-based questions, list all possible remainders.
A. क्योंकि (-1) और (1) प्रतिबिंब नहीं बनते/Because (-1) and (1) are not images
Step 1
Concept
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) remains greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बहुत बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, पर (1) बनता नहीं। इसी तरह (-1) भी नहीं मिलता। / For very large (x), the value approaches (1), but never becomes (1). Similarly, (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुँचना और सीमा मान प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching a limiting value and attaining it are different ideas.
इस फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) वास्तविक है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। यह फलन बढ़ता भी है, इसलिए एकैकी है। / For any \(y\in(-1,1)\), \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) is real, so every codomain element has a preimage. The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न और वर्गमूल वाले फलन में पहले परास की सीमा पहचानें। / For fractional square-root functions, first identify the limiting range.
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। / On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें। / While checking onto, observe maximum and minimum values carefully.
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(-1)=f(1)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (f(-1)=f(1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान जरूर मिलाएँ। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
A. हाँ, क्योंकि इसका परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because its range is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
यह विषम घात के प्रमुख पद वाला सतत बहुपद है। / This is a continuous polynomial with an odd leading degree.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए बीच के हर वास्तविक मान को लेता है और आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence it takes every real value in between and is onto.
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद के दूर के व्यवहार से आच्छादीपन समझें। / Use the end behavior of continuous cubic polynomials to judge onto nature.
इस फलन का परास ([0,1)) है। / The range of this function is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([0,1)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (f(2)=f(-2)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([0,1)), so the function is onto. But (f(2)=f(-2)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
परास सही चुनने पर वही फलन आच्छादी बन सकता है। / With the correct codomain, the same function can become onto.
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। / At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें। / Distinguish between a limiting value and an attained value.
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / Since \(e^x>0\), \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y>1) के लिए (x=\ln(y-1)) मिलता है, जो वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है। यह बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any (y>1), (x=\ln(y-1)), which is real. Hence the function is onto. It is increasing, so it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव से परास बदलता है। / Vertical shifts change the range of exponential functions.
सहप्रांत सभी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is the set of all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम संख्या (y=2k-1) के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए (k) उसका पूर्वप्रतिबिंब है। अलग (n) अलग विषम संख्याएँ देते हैं। / Every odd number can be written as (y=2k-1), so (k) is its preimage. Different (n) values give different odd numbers.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत ठीक परास के बराबर हो, फलन आच्छादी होता है। / When the codomain exactly equals the range, the function is onto.
A. सम प्राकृतिक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Even natural numbers are not images
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2,4,6) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains even natural numbers such as (2,4,6), which are not images. Therefore the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से मिलने वाले मानों के प्रकार को पहचानें। / Identify the type of values produced by the formula.
सहप्रांत केवल सम पूर्णांक हैं। / The codomain contains only even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) को (y=2k) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)। तब (f(k)=y), इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (n) अलग (2n) देते हैं। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), where \(k\in\mathbb{Z}\). Then (f(k)=y), so the function is onto. Different (n) values give different (2n).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही नियम आच्छादी बना सकता है। / Changing the codomain can make the same rule onto.
\(x^3+3x\) हर जगह बढ़ता हुआ है, क्योंकि (x) बढ़ने पर मान भी बढ़ता है। / \(x^3+3x\) is increasing everywhere, because as (x) increases, the value increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) मिलता है और फलन आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence every real (y) is obtained and the function is onto.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ घन फलन अक्सर आच्छादी और एकैकी दोनों होता है। / An increasing cubic is often both onto and one-one.
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2-4x+5=(x-2)2+1)। / (x-2-4x+5=(x-2)2+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए न्यूनतम मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / So the minimum value is (1) and the range is \([1,\infty\)). The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने की विधि परास निकालने में बहुत उपयोगी है। / Completing the square is very useful for finding range.
दिए गए प्रांत में \(x\ge 4\), इसलिए (|x-4|=x-4)। / In the given domain, \(x\ge 4\), so (|x-4|=x-4).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x-3) बन जाता है, जिसका परास \([1,\infty\)) है। यह सहप्रांत के बराबर है और बढ़ता हुआ भी है। / The function becomes (f(x)=x-3), whose range is \([1,\infty\)). This equals the codomain and is increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक हटाने से पहले प्रांत की शर्त देखें। / Before removing modulus, check the domain condition.
\(|x-4|\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 1)। / \(|x-4|\ge 0\), so (f(x)\ge 1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 1\) के लिए (|x-4|=y-1) का हल मिल जाता है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (x=3) और (x=5) पर मान समान है। / For every \(y\ge 1\), the equation (|x-4|=y-1) has a solution, so the function is onto. But (x=3) and (x=5) give the same value.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन अक्सर आच्छादी हो सकता है, पर एकैकी नहीं। / A modulus function can be onto but often not one-one.
A. हाँ, इसका परास (\(-\infty,4]\) है/Yes, its range is (\(-\infty,4]\)
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(4-x^2\le 4\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(4-x^2\le 4\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान बहुत छोटे ऋणात्मक हो सकते हैं, इसलिए परास (\(-\infty,4]\) है। यह सहप्रांत के बराबर है। / For large (x), values become very negative, so the range is (\(-\infty,4]\). This equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले द्विघात में अधिकतम मान देखें। / For a downward-opening quadratic, check the maximum value.
((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / ((x-2)2\ge 0), so the minimum value is (3).
Step 2
Why this answer is correct
परास \([3,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (x=1) और (x=3) पर मान समान है, इसलिए एकैकी नहीं है। / The range is \([3,\infty\)), equal to the codomain. Hence the function is onto. But (x=1) and (x=3) give the same value, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का शीर्ष परास बताता है। / The vertex of a quadratic tells the range.
A. क्योंकि (5) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
([0,2]) पर \(x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / On ([0,2]), the maximum value of \(x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,5]) है, लेकिन (5) जैसे सदस्य प्राप्त नहीं होते। इसलिए परास ([0,4]) सहप्रांत से छोटा है। / The codomain is ([0,5]), but elements like (5) are not obtained. Thus the range ([0,4]) is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के अतिरिक्त हिस्से को पहचानना आच्छादी प्रश्नों में मदद करता है। / Identify the extra part of the codomain in onto questions.
([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। / On ([0,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। ([0,2]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / This equals the codomain, so the function is onto. On ([0,2]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर अंतिम बिंदुओं से परास जल्दी मिलता है। / On a closed interval, endpoints often help find the range quickly.
A. हाँ, हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y+1) है/Yes, for every \(y\ge 0\), (x=y+1)
Step 1
Concept
(y=x-1) रखने पर (x=y+1) मिलता है। / Put (y=x-1), so (x=y+1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(y\ge 0\), तो \(x\ge 1\), इसलिए (x) प्रांत में है। अतः सहप्रांत का हर सदस्य प्रतिबिंब बनता है। / If \(y\ge 0\), then \(x\ge 1\), so (x) lies in the domain. Hence every codomain element is an image.
Step 3
Exam Tip
अंतराल आधारित फलन में निकला हुआ (x) प्रांत में है या नहीं, यह जरूर जाँचें। / For interval-based functions, always check whether the obtained (x) lies in the domain.
\(y=3x^3-2\) से \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\) मिलता है। / From \(y=3x^3-2\), we get \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादी है। घन फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी भी है। / This is real for every real (y), so the function is onto. The cubic function is increasing, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / Cube roots are defined for every real number.
इस फलन का परास ((0,1]) है। / The range of this function is ((0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ((0,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ((0,1]), so the function is onto. But (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान मिलाकर एकैकीपन जाँचें। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
\(1+x^2\ge 1\), इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) और हमेशा धनात्मक है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) and is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ जैसे (2) और (-1) नहीं मिलतीं। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\). So many real numbers such as (2) and (-1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
हर बार परास को ठीक-ठीक पहचानें। / Always identify the exact range.
किसी भी \(y\ne 0\) के लिए \(y=\frac{1}{x}\) से \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / For any \(y\ne 0\), from \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (x) भी शून्य नहीं है, इसलिए प्रांत में है। अतः फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(\frac{1}{x}\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / This (x) is also non-zero, so it lies in the domain. Hence the function is onto. Different (x) values give different reciprocals, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में शून्य को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, removing zero from domain and codomain is essential.
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) रखें। / Put \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। यह तब परिभाषित है जब \(y\ne 1\), और यही सहप्रांत है। इसलिए हर \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\). This is defined when \(y\ne 1\), which is exactly the codomain condition. So every \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे साफ तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y).
(x) कितना भी बड़ा हो, \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (1) से कम रहता है। ऋणात्मक दिशा में यह (-1) से बड़ा रहता है। / However large (x) is, \(\frac{x}{1+|x|}\) remains less than (1). In the negative direction, it remains greater than (-1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / So the range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में सीमा जैसे मान अक्सर परास से बाहर रह जाते हैं। / In rational-type functions, limiting values often stay outside the range.
