At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) for every real (x), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully. चरण 1: (x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें।
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the range interval first. चरण 1: \(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। चरण 2: किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें।
For any (y\in(0,1]), \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
To find range, rewrite the equation in terms of \(x^2\). चरण 1: \(1+x^2\ge1\), इसलिए (0<f(x)\le1)। चरण 2: किसी भी (y\in(0,1]) के लिए \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। चरण 3: परास निकालने के लिए समीकरण को \(x^2\) के रूप में लिखें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values. चरण 1: (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। चरण 3: भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें।
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
Distinguish between a limiting value and an attained value. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। चरण 2: (x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। चरण 3: सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें।
