A. क्योंकि इसका परिसर ([0,1)) है/Because its range is ([0,1))
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\), the value is at least (0).
Step 2
Why this answer is correct
Also \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), so (1) and larger values are not attained.
Step 3
Exam Tip
Compare numerator and denominator to understand the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए मान (0) या उससे बड़ा है। चरण 2: \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), इसलिए (1) और उससे बड़े मान नहीं मिलते। चरण 3: भिन्न में अंश-हर की तुलना से परिसर समझें।
A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/No because only integer values are attained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.
Step 3
Exam Tip
Being defined everywhere and being onto are different ideas. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(x)\ge0), so no negative real number is an image.
Step 3
Exam Tip
For sums of even powers, focus on the minimum value and range. चरण 1: \(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\) हैं। चरण 2: इसलिए (f(x)\ge0), अतः कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं है। चरण 3: सम घातों के योग में न्यूनतम और परिसर पर ध्यान दें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
An absolute value is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which cannot be (f(x)).
Step 3
Exam Tip
A too-large codomain can make a function non-onto. चरण 1: परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो (f(x)) नहीं बन सकते। चरण 3: सहप्रांत बड़ा होने पर आच्छादिता टूट सकती है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
If (x<0), then (|x|+x=-x+x=0).
Step 2
Why this answer is correct
If \(x\ge0\), then (|x|+x=2x), so values are non-negative.
Step 3
Exam Tip
Use piecewise behavior to find the range. चरण 1: यदि (x<0), तो (|x|+x=-x+x=0)। चरण 2: यदि \(x\ge0\), तो (|x|+x=2x), इसलिए मान गैरऋणात्मक हैं। चरण 3: खंडों में परिभाषित व्यवहार से परिसर निकालें।
A. यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलते/It is not onto because (0) and (1) are not attained
Step 1
Concept
The function values lie between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Neither (0) nor (1) is attained for any real (x), but both are in the codomain.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals is crucial in onto questions. चरण 1: फलन के मान (0) और (1) के बीच रहते हैं। चरण 2: (0) या (1) किसी वास्तविक (x) पर नहीं मिलता, पर वे सहप्रांत में शामिल हैं। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादिता में बहुत महत्वपूर्ण है।
A. क्योंकि (1) कभी नहीं मिलता/Because (1) is never attained
Step 1
Concept
Setting \(\frac{x}{x+1}=1\) gives (x=x+1), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
So (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, identify the impossible output value. चरण 1: \(\frac{x}{x+1}=1\) रखने पर (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। चरण 2: इसलिए (1) परिसर में नहीं है जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: परिमेय फलन में जो मान असंभव हो उसे पहचानना जरूरी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because negative real values are not attained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative values, which are not attained.
Step 3
Exam Tip
Remember that the range of the square root function is \([0,\infty\)). चरण 1: \(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: मूल फलन में परिसर \([0,\infty\)) याद रखें।
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए नहीं/For no real (k)
Step 1
Concept
If (k>0), values are at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
If (k<0), values are at most (1), and if (k=0), the function is constant.
Step 3
Exam Tip
In no case does the range become all of \(\mathbb{R}\), so it cannot be onto. चरण 1: यदि (k>0), तो मान (1) से बड़े या बराबर हैं। चरण 2: यदि (k<0), तो मान (1) से छोटे या बराबर हैं, और (k=0) पर फलन स्थिर है। चरण 3: किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं मिलता, इसलिए आच्छादी नहीं हो सकता।
A. क्योंकि (1,2,3) प्रतिबिंब नहीं हैं/Because (1,2,3) are not images
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), (f(n)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1,2,3), but they are not attained.
Step 3
Exam Tip
For natural number functions, check the smallest possible image. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर (f(n)\ge4) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1,2,3) भी हैं, पर वे नहीं मिलते। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं वाले फलन में सबसे छोटे मान से आच्छादिता जाँचें।
A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं/No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity checks are very useful for onto questions. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। चरण 3: पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है।
A. क्योंकि इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है/Because its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Step 1
Concept
Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.
Step 3
Exam Tip
Remember the principal range of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का मान केवल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं हैं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), but values like (-1) are never attained.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: \(e^x\) का परिसर (\(0,\infty\)) होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है लेकिन (-1) जैसे मान कभी नहीं मिलते। चरण 3: एक भी सहप्रांतीय मान छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For the greatest integer function, identify the range first. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें।
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range. चरण 1: \(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है।
The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range. चरण 1: (x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। चरण 2: \(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। चरण 3: चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होते/It is not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
An absolute value is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which cannot be obtained from (f(x)).
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions, the range usually starts from \([0,\infty\)). चरण 1: निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो (f(x)) से नहीं मिल सकते। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले फलनों में परास अक्सर \([0,\infty\)) से शुरू होता है।
A. क्योंकि कोई ऋणात्मक वास्तविक मान प्राप्त नहीं होता/Because no negative real value is obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\) for all \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers such as (-2), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
If the range is smaller than the codomain, the function is not onto. चरण 1: \(\sqrt{x}\ge0\) सभी \(x\ge0\) के लिए। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-2), जो नहीं मिलतीं। चरण 3: परास छोटा और सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होता।
A. क्योंकि (0) और (1) प्राप्त नहीं होते/Because (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
For every real (x), \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) contains (0) and (1), but they are never obtained.
Step 3
Exam Tip
A value approached as a limit need not belong to the range. चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में (0) और (1) शामिल हैं, पर वे कभी प्राप्त नहीं होते। चरण 3: सीमा के रूप में मिलने वाला मान जरूरी नहीं कि परास में हो।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The open interval does not include \(x=\pm\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of \(\sin x\) is ((-1,1)), while the codomain is ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto status. चरण 1: खुले अंतराल में \(x=\pm\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इसलिए \(\sin x\) का परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत ([-1,1]) है। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का फर्क आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
A. क्योंकि परास ([-1,1]) है और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है/Because the range is ([-1,1]) and the codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है।
A. क्योंकि कोई सम पूर्णांक प्राप्त नहीं होता/Because no even integer is obtained
Step 1
Concept
(2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity often gives a quick test. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For integer and natural number functions, always check the starting values. चरण 1: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। चरण 2: सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। चरण 3: पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें।
A. क्योंकि (1) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/Because (1) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).
Step 2
Why this answer is correct
This is impossible, so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto. चरण 1: \(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। चरण 2: यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है।
Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.
Step 3
Exam Tip
Completing the square is a useful way to find the range. चरण 1: (x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4})। चरण 2: इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) stays greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(-1) and (1) are in the codomain but are not obtained for any real (x).
Step 3
Exam Tip
Always check endpoints when the codomain is closed. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। चरण 2: (-1) और (1) सहप्रांत में हैं, पर किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलते। चरण 3: बंद सहप्रांत में छूटे हुए सिरों को अवश्य जाँचें।
A. क्योंकि \(\frac{1}{2}\) छवि नहीं बनता/Because \(\frac{1}{2}\) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \([0,\infty\)) contains \(\frac{1}{2}\), but it is not an image.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is larger than the actual range, the function is not onto. चरण 1: \(x^2+1\ge1\), इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) में \(\frac{1}{2}\) है, पर यह छवि नहीं बनता। चरण 3: सहप्रांत यदि वास्तविक परास से बड़ा हो जाए, तो फलन सर्वाच्छादक नहीं रहता।
A. क्योंकि (0) और (1) जैसे मान नहीं मिलते/Because values like (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (\(e^x+1\)2>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.
Step 3
Exam Tip
Before squaring, check the range of the inner expression. चरण 1: \(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। चरण 2: अतः (\(e^x+1\)2>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। चरण 3: वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें।
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property. चरण 1: \(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है।
C. क्योंकि (0) नहीं मिलता/Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
Since \(x^6\ge0\) and \(x^2\ge0\), \(x^6+x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it cannot be in the range.
Step 3
Exam Tip
Once a lower bound is found, look for codomain values below it. चरण 1: \(x^6\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^6+x^2+1\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर वह परास में नहीं आ सकता। चरण 3: निचली सीमा मिलते ही उससे छोटे सहप्रांत मान खोजें।
