Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है।
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। / (0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें। / When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully.
(x=0) पर मान (-1) मिलता है। / At (x=0), the value (-1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। / As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं। / Approaching a boundary and attaining it are different ideas.
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता/Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) में हर वास्तविक (x) के लिए हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। / In \(\frac{x^2}{1+x^2}\), the denominator is always larger than the numerator for real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मान (1) से छोटा रहता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore the value stays below (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में सिरा छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If an endpoint of a closed codomain is missed, the function is not onto.
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
\(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। / Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें। / Distinguish between approaching a value and attaining it.
