To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। चरण 3: बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है।
\(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function covering all real values is bijective. चरण 1: \(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है।
Hence \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर (x) को अलग करें। चरण 2: (y(x-2)=3x+1) से (x(y-3)=2y+1) मिलता है। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), और चर बदलने पर प्रतिलोम मिल जाता है।
A. (a=1,b=0) या \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)/(a=1,b=0) or \(a=-1,b\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
(f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Equating it with (x) gives \(a^2=1\) and (b(a+1)=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (a=1,b=0), or (a=-1) with any real (b). चरण 1: (f(f(x))=a(ax+b)+b=a-2x+b(a+1))। चरण 2: इसे (x) के बराबर करने पर \(a^2=1\) और (b(a+1)=0) मिलता है। चरण 3: इसलिए (a=1) पर (b=0), और (a=-1) पर (b) कोई भी वास्तविक हो सकता है।
Completing the square is the safest method for range questions. चरण 1: (x-2-6x+11=(x-3)2+2) लिखें। चरण 2: ((x-3)2\geq0), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। चरण 3: वर्ग पूरा करना परास निकालने में सबसे सुरक्षित तरीका है।
The expression is the sum of distances of (x) from (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
For \(-1\leq x\leq1\), the sum is (2), and outside this interval it increases.
Step 3
Exam Tip
A distance interpretation helps solve absolute value range questions quickly. चरण 1: यह अभिव्यक्ति संख्या रेखा पर (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है। चरण 2: \(-1\leq x\leq1\) पर योग (2) रहता है और बाहर जाने पर बढ़ता है। चरण 3: दूरी वाले निरपेक्ष मान में ज्यामितीय सोच जल्दी उत्तर देती है।
Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
Distinguish between approaching a value and attaining it. चरण 1: \(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: (x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। चरण 3: सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें।
Choose the (2) elements of the range in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
Onto functions onto these two chosen elements are \(2^5-2=30\).
Step 3
Exam Tip
Total number is \(3\cdot30=90\). चरण 1: परास के (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। चरण 2: चुने हुए दो अवयवों पर आच्छादी फलन \(2^5-2=30\) होंगे। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot30=90\) होगी।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2+2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
B. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1))/It is not one-one because (f(-1)=f(1))
Step 1
Concept
For a piecewise function, values from different pieces must also be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=(-1)2+2=3) and (f(1)=1+2=3).
Step 3
Exam Tip
Equal outputs for different inputs break one-one behaviour. चरण 1: खंडों में दिए फलन में अलग-अलग खंडों के मान भी मिलाने पड़ते हैं। चरण 2: (f(-1)=(-1)2+2=3) और (f(1)=1+2=3)। चरण 3: दो अलग आगतों पर समान मान मिलते ही एकैकीपन टूट जाता है।
A. परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है/Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
Step 1
Concept
(x-2+2x=x(x+2)), and for \(x\geq0\) it starts at (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
The minimum value is (0) at (x=0), so the range is \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
A quadratic can become one-one after restricting its domain. चरण 1: (x-2+2x=x(x+2)) और \(x\geq0\) होने पर यह (0) से शुरू होकर बढ़ता है। चरण 2: (x=0) पर न्यूनतम मान (0) है, इसलिए परास \([0,\infty\)) है। चरण 3: सीमित प्रांत पर द्विघात फलन एकैकी बन सकता है।
Since (f) is odd, (f(-x)=-f(x)); since (g) is even, (g(-f(x))=g(f(x))).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) is even. चरण 1: (\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x)))। चरण 2: (f) विषम है, इसलिए (f(-x)=-f(x)); और (g) सम है, इसलिए (g(-f(x))=g(f(x)))। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) सम फलन है।
At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। चरण 2: (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। चरण 3: भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ।
The AM-GM idea is very useful for such range questions. चरण 1: धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। चरण 2: (x=1) पर मान (2) मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है।
The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9). चरण 1: शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। चरण 2: \(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। चरण 3: (f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)।
Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। चरण 2: यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। चरण 3: इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता।
A value making the denominator zero must be removed from the domain. चरण 1: भिन्न में हर (x+3) है। चरण 2: (x+3=0) से (x=-3) मिलता है। चरण 3: हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है।
From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective. चरण 1: \(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। चरण 2: हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। चरण 3: जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है।
The difference is ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x). चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2+1)। चरण 3: अंतर ((x+1)2-\(x^2+1\)=2x) है।
In such questions, use repeated addition of the given value. चरण 1: योग गुण के अनुसार (f(5)=f(1+1+1+1+1))। चरण 2: यह (5f(1)=5\cdot3=15) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मान को बार-बार जोड़कर उपयोग करें।
To minimize the maximum, make (x) and (1-x) equal.
Step 2
Why this answer is correct
Solving (x=1-x) gives \(x=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
At this point both values are \(\frac{1}{2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\). चरण 1: अधिकतम मान को छोटा करने के लिए (x) और (1-x) को बराबर करना चाहिए। चरण 2: (x=1-x) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 3: उस बिंदु पर दोनों मान \(\frac{1}{2}\) हैं, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है।
When \(x^2\geq4\), the function takes the value (4).
Step 3
Exam Tip
Hence all values from (0) to (4) are attained, including both endpoints. चरण 1: \(x^2\) का मान (0) से शुरू होकर बढ़ता है। चरण 2: \(x^2\geq4\) होने पर फलन (4) ही लेता है। चरण 3: इसलिए (0) से (4) तक सभी मान मिलते हैं और दोनों सिरों के मान शामिल हैं।
For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective. चरण 1: \(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2) होता है। चरण 2: ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। चरण 3: हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है।
Since (4) is positive, the input (x) must be positive.
Step 2
Why this answer is correct
For positive (x), (f(x)=x-2), so \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
The positive solution is (x=2). चरण 1: (4) धनात्मक है, इसलिए आगत (x) भी धनात्मक होगा। चरण 2: धनात्मक (x) पर (f(x)=x-2), इसलिए \(x^2=4\)। चरण 3: धनात्मक हल (x=2) है।
If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
Hence (f) must be one-one, while (g) need not be one-one on all of (B). चरण 1: यदि (f\(a_1\)=f\(a_2\)), तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) होगा। चरण 2: \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\)। चरण 3: इसलिए (f) का एकैकी होना अनिवार्य है, पर (g) पूरे (B) पर जरूरी नहीं।
Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
Hence (g) must be onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। चरण 3: इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है।
Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded. चरण 1: (x-2-1=(x-1)(x+1)) है। चरण 2: \(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। चरण 3: काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें।
Since (x=1) is removed, the value (x+1=2) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
Even after simplification, removed domain points can affect the range. चरण 1: \(x\neq1\) पर फलन (x+1) के बराबर है। चरण 2: (x=1) हट जाने से (x+1=2) वाला मान नहीं मिल सकता। चरण 3: सरलीकरण के बाद भी हटे हुए प्रांत का असर परास पर पड़ सकता है।
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है/(g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction. चरण 1: (f(x)=x-2+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 2: यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है।
Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
For greatest integer questions, remember this basic identity. चरण 1: किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। चरण 3: पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें।
For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour. चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। चरण 2: \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है।
Its values are always odd integers, so even integers are not obtained.
Step 3
Exam Tip
One-one and onto must be checked separately. चरण 1: (2n+1) अलग-अलग (n) के लिए अलग-अलग मान देता है। चरण 2: इसका मान हमेशा विषम पूर्णांक होता है, इसलिए सम पूर्णांक नहीं मिलते। चरण 3: एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना जरूरी है।
On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, check the range carefully. चरण 1: पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। चरण 2: (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें।
On natural numbers, \(n^2\) increases, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not the square of any natural number, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
In natural numbers, not every value is a perfect square. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं पर \(n^2\) बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: (2) किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में सभी मान वर्ग नहीं होते।
Hence (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), and (0) occurs at (x=0).
Step 3
Exam Tip
For logarithmic functions, first check the minimum of the inside expression. चरण 1: \(1+x^2\geq1\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए (\ln\(1+x^2\)\geq\ln1=0), और (x=0) पर (0) मिलता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन में अंदर की मात्रा का न्यूनतम पहले देखें।
\(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), choosing \(x=e^y>0\) gives \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
Hence it is bijective from (\(0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\ln x\) (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। चरण 3: इसलिए यह (\(0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर द्विआधारी है।
Hence the range is \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\). चरण 1: (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(\sin\) का मान ([-1,1]) में रहता है। चरण 3: इसलिए परास \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) है।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। चरण 3: उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है।
The solution of \(\cos x=0\) is \(x=\frac{\pi}{2}\).
Step 3
Exam Tip
On a restricted domain, the inverse value is unique. चरण 1: दिए गए प्रांत \([0,\pi]\) में \(\cos x\) एकैकी है। चरण 2: \(\cos x=0\) का हल \(x=\frac{\pi}{2}\) है। चरण 3: सीमित प्रांत में प्रतिलोम मान एक ही होता है।
For the inverse relation to be a function, each output must come from only one input.
Step 2
Why this answer is correct
If (f) is not one-one, one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, if \(f^{-1}\) is a function, (f) must be one-one. चरण 1: प्रतिलोम संबंध के फलन होने के लिए हर निर्गत से एक ही आगत जुड़ना चाहिए। चरण 2: यदि (f) एकैकी नहीं होगा, तो किसी निर्गत के दो आगत होंगे। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\) के फलन होने से (f) का एकैकी होना निश्चित है।
For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
Hence (B) also has (6) elements. चरण 1: द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। चरण 3: इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे।
A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
For bijections on the same finite set, use (n!). चरण 1: (A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। चरण 2: (n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। चरण 3: स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें।
To be not onto, one element of (B) must be completely missed.
Step 2
Why this answer is correct
There are two possibilities: all elements map to (a), or all map to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of not onto functions is (2). चरण 1: आच्छादी नहीं होने के लिए (B) का कोई एक अवयव पूरी तरह छूटना चाहिए। चरण 2: दो संभावनाएँ हैं: सभी अवयव (a) पर जाएँ या सभी (b) पर जाएँ। चरण 3: इसलिए आच्छादी नहीं फलनों की संख्या (2) है।
Treat \(yx^2-x+y=0\) as a quadratic in (x) and require its discriminant to be non-negative.
Step 3
Exam Tip
From \(1-4y^2\geq0\), we get \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\). चरण 1: \(y=\frac{x}{1+x^2}\) मानें। चरण 2: \(yx^2-x+y=0\) को (x) में द्विघात मानकर विविक्तकर \(\geq0\) रखें। चरण 3: \(1-4y^2\geq0\) से \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\) मिलता है।
As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)). चरण 1: (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) लिखें। चरण 2: (x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 3: (|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है।
The cubic ((x-2)3) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
Shifting does not change bijectivity. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2+2,&x\geq1\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
A. परास (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R}) है/The range is (\(-\infty,3\)\cup[3,\infty)=\mathbb{R})
Step 1
Concept
For (x<1), (2x+1<3), giving the range part (\(-\infty,3\)).
Step 2
Why this answer is correct
For \(x\geq1\), \(x^2+2\geq3\), and (3) occurs at (x=1).
Step 3
Exam Tip
Combining both parts gives all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: (x<1) पर (2x+1<3), इसलिए परास का भाग (\(-\infty,3\)) है। चरण 2: \(x\geq1\) पर \(x^2+2\geq3\), और (x=1) पर (3) मिलता है। चरण 3: दोनों भाग मिलाकर पूरा \(\mathbb{R}\) मिल जाता है।
(f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve. चरण 1: (f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। चरण 2: \(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें।
