For finite sets with equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence such functions are bijections, counted by (4!).
Step 3
Exam Tip
(4!=24); for equal finite sizes, onto counting becomes permutation counting. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन अपने आप एकैकी भी होगा। चरण 2: इसलिए ऐसे फलन द्वयात्मक हैं और उनकी संख्या (4!) है। चरण 3: (4!=24), समान आकार पर आच्छादी गिनती में क्रमचय याद रखें।
For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), an onto function is also bijective. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। चरण 2: यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। चरण 3: (|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है।
The images of the four domain elements are (2,4,1,3).
Step 2
Why this answer is correct
All of them are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, list the images to check one-one nature quickly. चरण 1: चारों प्रांत अवयवों के प्रतिबिंब क्रमशः (2,4,1,3) हैं। चरण 2: ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की सूची बनाकर एकैकीपन तुरंत जांचें।
The remaining (4) elements can be mapped one-one to the remaining (4) elements in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
For equal-size sets, one-one functions are counted like permutations. चरण 1: (1) का प्रतिबिंब (1) तय है। चरण 2: शेष (4) अवयवों को शेष (4) अवयवों पर एकैकी रूप से भेजने के तरीके (4!=24) हैं। चरण 3: समान आकार के समुच्चय में एकैकी फलन क्रमचय की तरह गिने जाते हैं।
In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain. चरण 1: एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। चरण 2: कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। चरण 3: एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है।
The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images. चरण 1: (A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। चरण 2: विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। चरण 3: साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता।
The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain. चरण 1: (A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। चरण 2: विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। चरण 3: एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं।
In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
Remember that order matters in function assignment. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। चरण 2: पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। चरण 3: गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है।
Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct. चरण 1: (A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। चरण 2: संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। चरण 3: एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं।
For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly. चरण 1: तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। चरण 2: संख्या (3!=6) होगी। चरण 3: बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है।
A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
Use permutations for counting one-one functions. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। चरण 3: एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें।
For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
Use permutations when counting one-one functions. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। चरण 2: संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। चरण 3: एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें।
The second and third elements have (5) and (4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
The number of one-one functions is \(6\times5\times4=120\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (6) विकल्प मिलते हैं। चरण 2: दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (5) और (4) विकल्प बचते हैं। चरण 3: एकैकी फलनों की संख्या \(6\times5\times4=120\) है।
The second has (6) choices and the third has (5) choices left.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(7\times6\times5=210\). चरण 1: (A) के पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। चरण 2: दूसरे के लिए (6) और तीसरे के लिए (5) विकल्प बचेंगे। चरण 3: कुल संख्या \(7\times6\times5=210\) होगी।
In a one-one function, the four elements of (A) must get distinct images from the five elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number of ways is \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\).
Step 3
Exam Tip
In one-one counting, order matters because each input is different. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के पाँच तत्वों में अलग-अलग छवियाँ देनी हैं। चरण 2: तरीकों की संख्या \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। चरण 3: एकैकी गिनती में क्रम महत्व रखता है क्योंकि प्रत्येक आगत अलग है।
The next two elements have (3) and (2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(4\cdot3\cdot2=24\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। चरण 2: अगले दो तत्वों के लिए क्रमशः (3) और (2) चुनाव बचते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है।
For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
A bijection uses every image exactly once. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। चरण 2: संख्या (4!=24) होगी। चरण 3: द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है।
For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Since (3!=6), there are (6) bijective functions. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। चरण 2: (3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। चरण 3: (3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे।
A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
For bijections on the same finite set, use (n!). चरण 1: (A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। चरण 2: (n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। चरण 3: स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें।
The first element has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus the number of one-one functions is \(5\times4\times3=60\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions, choose images without repetition. चरण 1: पहले अवयव के लिए (5), दूसरे के लिए (4), और तीसरे के लिए (3) विकल्प बचेंगे। चरण 2: कुल एकैकी फलन \(5\times4\times3=60\) होंगे। चरण 3: एकैकी फलन गिनते समय बिना दोहराव के प्रतिबिंब चुनें।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (6) choices, the second has (5), and the third has (4).
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(6\cdot5\cdot4=120\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (6), दूसरे के लिए (5), तीसरे के लिए (4) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(6\cdot5\cdot4=120\) एक-एकी फलन होंगे।
In a one-one function, the two inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (5) choices and the second has (4) choices.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(5\cdot4=20\). चरण 1: एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: पहले आगत के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(5\cdot4=20\) एक-एकी फलन होंगे।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 3
Exam Tip
Total functions are \(5\cdot4\cdot3=60\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (5), दूसरे के लिए (4), तीसरे के लिए (3) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(5\cdot4\cdot3=60\) फलन होंगे।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (3) choices, the second has (2), and the third has (1).
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(3\cdot2\cdot1=6\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (3), दूसरे के लिए (2), तीसरे के लिए (1) विकल्प है। चरण 3: कुल \(3\cdot2\cdot1=6\) एक-एकी फलन होंगे।
