For finite sets with equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence such functions are bijections, counted by (4!).
Step 3
Exam Tip
(4!=24); for equal finite sizes, onto counting becomes permutation counting. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन अपने आप एकैकी भी होगा। चरण 2: इसलिए ऐसे फलन द्वयात्मक हैं और उनकी संख्या (4!) है। चरण 3: (4!=24), समान आकार पर आच्छादी गिनती में क्रमचय याद रखें।
A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैं/No because the domain has fewer elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare the number of elements. चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें।
Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions (=16-2=14). चरण 1: कुल फलन \(2^4=16\) हैं। चरण 2: आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं।
By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
For counting onto functions on finite sets, use inclusion-exclusion. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) हैं। चरण 2: समावेशन-अपवर्जन से आच्छादक फलन \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। चरण 3: परिमित समुच्चयों में onto count के लिए inclusion-exclusion याद रखें।
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। चरण 3: परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता।
In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists. चरण 1: सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। चरण 3: यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता।
For finite sets of equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a permutation of (4) elements, giving (4!) functions.
Step 3
Exam Tip
When domain and codomain have equal size, onto and one-one go together. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादक फलन अपने-आप एकैकी भी होता है। चरण 2: इसलिए यह (4) अवयवों का क्रमविन्यास है, जिसकी संख्या (4!) है। चरण 3: जब प्रांत और सहप्रांत का आकार बराबर हो, सर्वाच्छादकता और एकैकता साथ आती हैं।
Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
Use inclusion-exclusion for counting onto functions. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) हैं। चरण 2: एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। चरण 3: सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें।
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
But (2) and (3) both map to (b), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, listing images is the easiest test. चरण 1: सहप्रांत के (a,b,c) तीनों अवयव छवि के रूप में मिल रहे हैं। चरण 2: लेकिन (2) और (3) दोनों की छवि (b) है, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाना सबसे आसान तरीका है।
In an onto function, every element of (B) needs at least one element from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (A) cannot have fewer elements than (B).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, (n(A)\ge n(B)) is a necessary condition for onto. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर तत्व को (A) से कम से कम एक तत्व चाहिए। चरण 2: इसलिए (A) में तत्वों की संख्या (B) से कम नहीं हो सकती। चरण 3: सीमित समुच्चयों में (n(A)\ge n(B)) आच्छादी की जरूरी शर्त है।
All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
Repetition of (a) does not stop onto property.
Step 3
Exam Tip
Onto requires every codomain element at least once, not exactly once. चरण 1: (a,b,c) तीनों सहप्रांत तत्व छवि के रूप में आ रहे हैं। चरण 2: (a) दो बार आना आच्छादी होने में बाधा नहीं है। चरण 3: आच्छादी में हर सहप्रांत तत्व कम से कम एक बार मिलना चाहिए, केवल एक बार होना जरूरी नहीं।
The codomain element (r) is not the image of any domain element.
Step 3
Exam Tip
In table-based questions, mark the missing codomain element. चरण 1: फलन के मान (p,q,p) हैं। चरण 2: सहप्रांत का तत्व (r) किसी भी प्रांत तत्व की छवि नहीं है। चरण 3: सारणी वाले प्रश्नों में सहप्रांत के छूटे तत्व को चिह्नित करें।
An onto function needs at least one preimage for every codomain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements, so it cannot cover all (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if domain size is less than codomain size, onto functions are impossible. चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर तत्व को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) तत्व हैं, इसलिए (B) के (5) तत्वों को पूरा नहीं ढका जा सकता। चरण 3: जब प्रांत के तत्व सहप्रांत से कम हों, सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन असंभव है।
A. तीन सहप्रांत तत्वों में पूर्वप्रतिबिंबों की संख्या (2,1,1)/Preimage counts (2,1,1) among three codomain elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) must be used at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (4) elements and (B) has (3), the possible count is (2,1,1).
Step 3
Exam Tip
If any codomain element has count (0), the function is not onto. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। चरण 2: (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, इसलिए संभव गणना (2,1,1) है। चरण 3: किसी भी सहप्रांत तत्व की गणना (0) हो तो फलन आच्छादी नहीं होगा।
B. नहीं क्योंकि (c) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/No because (c) has no preimage
Step 1
Concept
For onto, every element of (B) must be obtained at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a) and (b) are obtained, but (c) is not.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, mark each codomain element and check whether all are hit. चरण 1: आच्छादकता में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक बार मिलना चाहिए। चरण 2: यहाँ (a) और (b) मिलते हैं पर (c) नहीं मिलता। चरण 3: सीमित समुच्चयों में सहक्षेत्र के प्रत्येक सदस्य पर निशान लगाकर जाँच करें।
A function is not onto if all elements map only to (a) or only to (b), giving (2) such functions. Hence onto functions are (16-2=14).
Step 3
Exam Tip
For a two-element codomain, subtract the two constant functions from the total. चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी न होने पर सभी सदस्य केवल (a) पर या केवल (b) पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) हैं। चरण 3: दो सदस्यीय सहप्रांत के लिए कुल फलनों में से दोनों स्थिर फलन घटाएँ।
A. आच्छादी फलन संभव है/An onto function is possible
Step 1
Concept
For an onto function \(A\to B\) between finite sets, (A) must have at least as many elements as (B).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge 3\), so an onto function can be made. But not every function must be onto.
Step 3
Exam Tip
Distinguish between existence and all-function property. चरण 1: सीमित समुच्चयों में \(A\to B\) आच्छादी होने के लिए (A) में कम से कम (B) जितने सदस्य होने चाहिए। चरण 2: यहाँ \(5\ge 3\), इसलिए आच्छादी फलन बनाया जा सकता है। लेकिन हर फलन आच्छादी हो, यह जरूरी नहीं। चरण 3: अस्तित्व और सभी फलन के गुण में अंतर रखें।
A. क्योंकि प्रांत में सदस्यों की संख्या सहप्रांत से कम है/Because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every codomain element must be covered by some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements and the codomain has (4) elements. Three elements cannot cover four distinct codomain elements.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, onto requires \(|A|\ge |B|\). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य से जुड़ना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रांत में (3) सदस्य और सहप्रांत में (4) सदस्य हैं। तीन सदस्य चार अलग-अलग सहप्रांत सदस्यों को ढक नहीं सकते। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge |B|\) जरूरी है।
In an onto function, every codomain element needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
Only (2) domain elements cannot cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is immediately (0). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: केवल (2) प्रांत अवयव (5) सहप्रांत अवयवों को नहीं ढक सकते। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या तुरंत (0) होती है।
For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), an onto function is also bijective. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। चरण 2: यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। चरण 3: (|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है।
There are (2) non-onto functions, where all elements go to only one element of (B).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (16-2=14). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले (2) फलन हैं, जिनमें सभी अवयव (B) के एक ही अवयव पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। चरण 2: दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
All domain elements (2,4,6) are even.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the function value is always (0), and (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain value is missed, the function is not onto. चरण 1: प्रांत के सभी अवयव (2,4,6) सम हैं। चरण 2: इसलिए फलन का मान हमेशा (0) है और (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: सहप्रांत का कोई एक मान भी छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto. चरण 1: सम संख्याएं (2,4,6) (0) देती हैं। चरण 2: विषम संख्याएं (1,3,5) (1) देती हैं। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
The two non-onto functions send all elements only to (0) or only to (1).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (16-2=14). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (0) या केवल (1) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
In an onto function, every element of (B) needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (4) elements while (B) has (6), so covering all elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (4) अवयव हैं, जबकि (B) में (6) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। चरण 2: दिए गए प्रतिबिंबों में (a), (b) और (c) तीनों आते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में हर सहप्रांत अवयव मिल जाए तो फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
All domain elements (1,3,5) are odd.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the function value is always (1), and (0) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If any codomain value is missed, the function is not onto. चरण 1: प्रांत के सभी अवयव (1,3,5) विषम हैं। चरण 2: इसलिए फलन का मान हमेशा (1) है और (0) कभी नहीं मिलता। चरण 3: सहप्रांत का कोई मान छूटे तो फलन आच्छादी नहीं होता।
Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto. चरण 1: सम अवयवों (2,4) से (0) मिलता है। चरण 2: विषम अवयवों (1,3,5) से (1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
The non-onto functions are those sending all elements only to (p) or only to (q), so (2) functions.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (8-2=6). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (p) पर जाएं या केवल (q) पर जाएं, यानी (2) फलन। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) होंगे।
