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आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (2) अवयव हैं, पर (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना असंभव है। / (A) has only (2) elements but (B) has (4), so covering all is impossible.
Step 3
Exam Tip
जब (|A|<|B|), तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है। / If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0).
A. आच्छादी फलन बन सकता है/An onto function can exist
Step 1
Concept
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। / For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। / Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें। / When possibility is asked, first compare the sizes.
आच्छादी होने पर सहप्रांत के हर अवयव तक कम से कम एक प्रांत अवयव पहुंचता है। / If a function is onto, every codomain element is reached by at least one domain element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं हो सकते। / Therefore, the domain cannot have fewer elements than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में यह एक जरूरी शर्त है। / For finite sets, this is a necessary condition.
A. नहीं, क्योंकि सहप्रांत में अधिक अवयव हैं/No, because the codomain has more elements
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has only (3) elements while (B) has (5), so covering all elements of (B) is impossible.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge|B|\) जरूरी है। / For finite sets, onto requires \(|A|\ge|B|\).
(1) का प्रतिबिंब (5) पहले से तय है। / The image of (1) is already fixed as (5).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (3) अवयवों के लिए (B) में (4) बचे हुए अलग प्रतिबिंब उपलब्ध हैं, इसलिए संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The remaining (3) elements must be mapped to distinct elements among the remaining (4) elements of (B), giving \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
तय प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में पहले निश्चित जोड़ी को अलग कर दें। / In fixed-image questions, remove the fixed pair first.
एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। / In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। / The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है। / For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain.
प्रांत में (4) अवयव हैं और सहप्रांत में (3) अवयव हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन में चारों प्रांत अवयवों को अलग-अलग प्रतिबिंब चाहिए, जो केवल (3) अवयवों में संभव नहीं। / A one-one function needs four distinct images, which is impossible with only (3) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the codomain is smaller than the domain, no one-one function exists.
(A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। / The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। / The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता। / The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images.
(A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। / The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। / The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं। / Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain.
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है। / Remember that order matters in function assignment.
(A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। / Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं। / For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct.
तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। / Three elements need three distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (3!=6) होगी। / The number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है। / For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly.
एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। / Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है। / When the domain has more elements, a one-one function is impossible.
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। / Both sets have (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। / For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है। / Between finite sets of equal size a one-one function is also onto.
पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। / The first element has (7) choices.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी होने के कारण अगले तत्वों के लिए विकल्प क्रमशः (6,5,4,3) रहेंगे। / Because the function is one-one, the next elements have (6,5,4,3) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(7\times6\times5\times4\times3=2520\) होगी। / Total number is \(7\times6\times5\times4\times3=2520\).
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग तत्वों के निर्गत अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए (B) में कम से कम (5) अलग निर्गतों की जगह चाहिए। / Since (A) has (5) elements, (B) must have at least (5) possible distinct outputs.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी के लिए सहक्षेत्र का आकार परिभाषा-क्षेत्र से कम नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain size cannot be smaller than the domain size for a one-one function.
बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। / For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। / The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है। / When (|A|=|B|), a one-one function is also onto.
एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व को (B) में अलग छवि चाहिए। / In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब क्षेत्र में तत्व अधिक और सहप्रांत में कम हों तो एकैकी फलन संभव नहीं है। / When the domain has more elements than the codomain, a one-one function is impossible.
एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के पाँच तत्वों में अलग-अलग छवियाँ देनी हैं। / In a one-one function, the four elements of (A) must get distinct images from the five elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
तरीकों की संख्या \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। / The number of ways is \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी गिनती में क्रम महत्व रखता है क्योंकि प्रत्येक आगत अलग है। / In one-one counting, order matters because each input is different.
B. एकैकी फलन संभव नहीं है/One-one function is not possible
Step 1
Concept
प्रांत में (6) तत्व हैं पर सहप्रांत में (4) ही तत्व हैं। / The domain has (6) elements, but the codomain has only (4).
Step 2
Why this answer is correct
(6) अलग निवेशों को (4) अलग निर्गतों में बिना दोहराव भेजना संभव नहीं है। / It is impossible to send (6) different inputs to (4) different outputs without repetition.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत बड़ा हो, तो परिमित समुच्चयों में एकैकीता असंभव होती है। / If the domain is larger, one-one is impossible for finite sets.
