Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (2) elements but (B) has (4), so covering all is impossible.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (2) अवयव हैं, पर (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना असंभव है। चरण 3: जब (|A|<|B|), तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है।
Non-onto functions send all elements of (A) to only one element of (B), so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (8-2=6). चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) हैं। चरण 2: आच्छादी न होने वाले फलनों में सभी तत्व (B) के केवल एक ही तत्व पर जाते हैं ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं।
Remove functions that miss at least one element: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\).
Step 3
Exam Tip
Onto functions are (81-45=36). चरण 1: कुल फलन \(3^4=81\) हैं। चरण 2: जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\)। चरण 3: आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे।
In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible.
Step 3
Exam Tip
When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। चरण 3: जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता।
Not onto functions use only (a) or only (b), giving (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions are (16-2=14). चरण 1: (A) से (B) में कुल फलन \(2^4=16\) हैं। चरण 2: आच्छादी न होने वाले फलन वे हैं जिनमें केवल (a) या केवल (b) आता है, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
Since (g) is onto, some \(b\in B\) satisfies (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) satisfies (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Hence (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (c) को लें। चरण 2: (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जहाँ (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जहाँ (f(a)=b)। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है।
There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (32-2=30). चरण 1: कुल फलन \(2^5=32\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) होंगे।
There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (16-2=14). चरण 1: कुल फलन \(2^4=16\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले फलन दो हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) होंगे।
Since (g) is onto, every element of (C) is the image of some element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (f) is onto, it can reach every needed element of (B).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) is onto from (A) to (C). चरण 1: (g) आच्छादक है, इसलिए (C) का हर अवयव (B) के किसी अवयव की छवि है। चरण 2: (f) आच्छादक है, इसलिए वह (B) के हर जरूरी अवयव तक पहुँच सकता है। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) भी (A) से (C) पर आच्छादक होगा।
Non-onto functions are those sending all elements only to (a) or only to (b), so there are (2).
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions are (8-2=6). चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (a) पर जाएँ या केवल (b) पर जाएँ, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (8-2=6) होंगे।
