The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
A function that is both one-one and onto is also invertible. चरण 1: \(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। चरण 3: जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है।
(f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2+1\geq 1\), real values like (0) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For square functions, always check both domain and codomain before deciding the type. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\geq 1\) होता है इसलिए (0) जैसे वास्तविक मान परास में नहीं आते। चरण 3: वर्ग वाले फलनों में प्रांत और सहप्रांत ध्यान से देखकर ही निष्कर्ष निकालें।
On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully. चरण 1: ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। चरण 2: इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें।
Adding (1) to different natural numbers gives different values, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is in the codomain, but no \(n\in\mathbb{N}\) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
In natural number functions, the first element often helps test onto. चरण 1: अलग प्राकृतिक संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग मान मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: (1) सहप्रांत में है पर किसी \(n\in\mathbb{N}\) के लिए (n+1=1) नहीं हो सकता। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला तत्व अक्सर आच्छादीपन को तोड़ देता है।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(2n+1) gives different odd integers for different integers, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Even integers such as (0) are in the codomain but are not obtained from any integer (n).
Step 3
Exam Tip
For linear functions, the codomain can change whether the function is onto. चरण 1: (2n+1) में अलग पूर्णांकों पर अलग विषम पूर्णांक मिलते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: (0) जैसे सम पूर्णांक सहप्रांत में हैं पर किसी (n) से (2n+1=0) पूर्णांक (n) नहीं देता। चरण 3: रैखिक फलन में सहप्रांत बदलने से आच्छादीपन बदल सकता है।
\(e^x\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
It is never (0) or negative, and every positive value can occur.
Step 3
Exam Tip
Because the codomain is (\(0,\infty\)), the function is onto. चरण 1: \(e^x\) सदा बढ़ने वाला फलन है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: इसका मान कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता और हर धनात्मक मान मिल सकता है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) होने से यह आच्छादी बन जाता है।
Do not reverse the order in composition because \(g\circ f\) and \(f\circ g\) are usually different. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ है (g(f(x)))। चरण 2: (g(2x-3)=(2x-3)2+1=4x-2-12x+10)। चरण 3: समिश्र फलन में क्रम न बदलें क्योंकि \(g\circ f\) और \(f\circ g\) सामान्यतः अलग होते हैं।
Replace (y) by (x) to get (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}). चरण 1: (y=3x+4) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। चरण 2: (y-4=3x) इसलिए \(x=\frac{y-4}{3}\)। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) लिखने से (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}) मिलता है।
For (y=1), the equation becomes impossible, so (1) is not in the range. चरण 1: मान लें \(y=\frac{x-2}{x+3}\)। चरण 2: (yx+3y=x-2) से (x(y-1)=-(2+3y)) मिलता है। चरण 3: (y=1) रखने पर समीकरण असंभव हो जाता है इसलिए (1) परास में नहीं आता।
Therefore (f) must be one-one, but (g) need not always be one-one. चरण 1: यदि (f(a)=f(b)) हो तो (g(f(a))=g(f(b))) होगा। चरण 2: \(g\circ f\) एकैकी है इसलिए (a=b) होना पड़ेगा। चरण 3: इसलिए (f) अवश्य एकैकी है पर (g) के लिए ऐसा निष्कर्ष हमेशा नहीं निकलता।
If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is obtained as (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every such element is also obtained as a value of (g).
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) must be onto, but (f) need not be onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी है तो अंतिम सहप्रांत का हर तत्व (g(f(x))) के रूप में मिलता है। चरण 2: इसका अर्थ है वही तत्व (g) के मान के रूप में भी मिल रहा है। चरण 3: इसलिए (g) आच्छादी होना आवश्यक है लेकिन (f) के बारे में हमेशा ऐसा नहीं कहा जा सकता।
In a one-one function, different elements of (A) must go to different elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The count is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
Repetition of images is not allowed in one-one functions. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्वों से जोड़ना होता है। चरण 2: संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। चरण 3: एकैकी फलनों में पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती।
For (3) elements, the total number is \(5^3=125\).
Step 3
Exam Tip
In total functions, repeated images are allowed. चरण 1: (A) के हर तत्व के लिए (B) में (5) चुनाव हैं। चरण 2: कुल (3) तत्वों के लिए संख्या \(5^3=125\) होगी। चरण 3: कुल फलनों में एक ही प्रतिबिंब कई तत्वों के लिए आ सकता है।
Non-onto functions send all elements of (A) to only one element of (B), so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (8-2=6). चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) हैं। चरण 2: आच्छादी न होने वाले फलनों में सभी तत्व (B) के केवल एक ही तत्व पर जाते हैं ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं।
For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
A bijection uses every image exactly once. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। चरण 2: संख्या (4!=24) होगी। चरण 3: द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है।
An invertible function must be both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore the linear function is invertible when \(a\neq0\). चरण 1: व्युत्क्रमणीय फलन के लिए एकैकी और आच्छादी दोनों होना आवश्यक है। चरण 2: यदि (a=0) तो फलन स्थिर हो जाएगा और एकैकी नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए \(a\neq0\) होने पर रैखिक फलन व्युत्क्रमणीय है।
(f(2)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Every value \(y\geq0\) in the codomain is obtained by taking (x=y).
Step 3
Exam Tip
In modulus functions, opposite signs can give the same output. चरण 1: (f(2)=2) और (f(-2)=2) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर मान \(y\geq0\) किसी (x=y) से मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन में चिन्ह बदलने से समान मान आ सकता है।
(f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x+\frac{1}{x}\geq2\) for (x>0), negative values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For such functions, compare (x) and \(\frac{1}{x}\). चरण 1: (f(1)=2) और (f\left\(\frac{1}{1}\right\)=2) से अलग उदाहरण नहीं मिलता लेकिन (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}) से एकैकीपन टूटता है। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}\geq2\) इसलिए ऋणात्मक मान नहीं मिलते। चरण 3: ऐसे फलनों में (x) और \(\frac{1}{x}\) की जोड़ी पर ध्यान दें।
On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible. चरण 1: \(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। चरण 3: प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
From \(y=\frac{2x+3}{x-1}\), we get \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\neq2\), exactly one (x) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Therefore with codomain \(\mathbb{R}-{2}\), the function is bijective. चरण 1: \(y=\frac{2x+3}{x-1}\) से \(x=\frac{y+3}{y-2}\) मिलता है। चरण 2: (y=2) को छोड़कर हर (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है। चरण 3: इसलिए दिए गए सहप्रांत \(\mathbb{R}-{2}\) में फलन द्वैकीय है।
Thus \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse. चरण 1: \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\) लिखें। चरण 2: (2xy+5y=3x-1) से (x(3-2y)=5y+1) मिलता है। चरण 3: अतः \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\) और (y) की जगह (x) रखने पर व्युत्क्रम मिलता है।
Substitute the inner function first, then apply the outer function. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) होता है। चरण 2: (g\(x^2+1\)=2\(x^2+1\)-3=2x-2-1)। चरण 3: पहले अंदर वाले फलन का मान रखें फिर बाहर वाले फलन को लगाएँ।
B. दोनों सामान्यतः अलग हैं/They are generally different
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=x-2+2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=(x+2)2).
Step 3
Exam Tip
Changing the order of composition generally changes the result. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=x-2+2) है। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=(x+2)2) है। चरण 3: समिश्र फलनों में क्रम बदलने से परिणाम सामान्यतः बदल जाता है।
If (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)), then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))).
Step 2
Why this answer is correct
Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: यदि (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) हो तो (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\)))। चरण 2: (g) एकैकी है इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)), और (f) एकैकी है इसलिए \(a_1=a_2\)। चरण 3: दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है।
Since (g) is onto, it is the image of some element of (B), and since (f) is onto, that element of (B) comes from some element of (A).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) reaches every element of (C). चरण 1: (C) का कोई भी तत्व लें। चरण 2: (g) आच्छादी है इसलिए वह किसी (B) के तत्व का प्रतिबिंब है और (f) आच्छादी है इसलिए वह (B) का तत्व किसी (A) से आता है। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) भी (C) के हर तत्व तक पहुँचता है।
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं/Bijective but not identity
Step 1
Concept
Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
Since (1) does not map to (1), it is not the identity function. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। चरण 3: क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है।
In a function, each element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, both (1) and (2) have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
If an element has two images or is missing, it is not a function. चरण 1: फलन में प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों का एक-एक प्रतिबिंब है। चरण 3: किसी तत्व के दो प्रतिबिंब हों या कोई तत्व छूट जाए तो वह फलन नहीं होता।
A. एक ही प्रांत तत्व के दो अलग प्रतिबिंब हों/One domain element has two different images
Step 1
Concept
The basic condition for a function is that each input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
If one input has two different outputs, the rule is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
Two inputs may have the same output, but then the function is not one-one. चरण 1: फलन की मूल शर्त है कि हर आगत का ठीक एक निर्गत हो। चरण 2: यदि एक ही आगत के दो अलग निर्गत हैं तो नियम निश्चित नहीं है। चरण 3: दो आगतों का एक ही निर्गत हो सकता है पर तब फलन एकैकी नहीं होगा।
The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-4\geq0\) gives \(x\geq4\).
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, set the radicand greater than or equal to (0). चरण 1: वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(x-4\geq0\) से \(x\geq4\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की मात्रा को (0) से बड़ा या बराबर रखें।
Since the square root is in the denominator, (x-2=0) is not allowed.
Step 3
Exam Tip
Combining both conditions gives (x>2). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(x-2\geq0\) चाहिए। चरण 2: हर में वर्गमूल है इसलिए (x-2=0) नहीं हो सकता। चरण 3: दोनों शर्तों से (x>2) मिलता है।
The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x^2\leq9\), so \(-3\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
In square inequalities, remember both lower and upper bounds. चरण 1: वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x^2\leq9\) यानी \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। चरण 3: वर्ग वाले असमानताओं में दोनों ओर की सीमा याद रखें।
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^4\geq0\), negative real numbers are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For even powers, check both sign symmetry and range. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^4\geq0\) इसलिए ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। चरण 3: सम घात वाले फलनों में चिन्ह और परास दोनों जाँचें।
Every \(y\geq0\) is obtained using \(x=\sqrt[4]{y}\).
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can make the same function onto. चरण 1: (f(2)=16) और (f(-2)=16) इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt[4]{y}\) से मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत बदलने से वही फलन आच्छादी बन सकता है।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, examine the range carefully. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें।
Adding (1) to different rational numbers gives different rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For any rational (y), (x=y-1) is also rational, so every (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers are closed under addition and subtraction. चरण 1: अलग परिमेय संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: किसी भी परिमेय (y) के लिए (x=y-1) भी परिमेय है इसलिए हर (y) मिल जाता है। चरण 3: परिमेय संख्याओं में जोड़ और घटाव बंद रहते हैं।
Negative rational numbers cannot be squares of rational numbers.
Step 3
Exam Tip
In square functions, positive and negative inputs can give the same value. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ किसी परिमेय के वर्ग के रूप में नहीं मिलतीं। चरण 3: वर्ग फलन में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों आगतों से समान मान मिल सकता है।
For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function. चरण 1: व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। चरण 2: एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। चरण 3: इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है।
Then \(f^{-1}\) brings it back to the original element.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f^{-1}\circ f\) is the identity function on (A). चरण 1: पहले (f) किसी (A) के तत्व को (B) में भेजता है। चरण 2: फिर \(f^{-1}\) उसे वापस उसी मूल तत्व पर ले आता है। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\circ f\) प्रांत (A) पर सर्वसमिका फलन है।
A binary operation on (A) is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) choices.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(n^{n^2}\). चरण 1: द्विचर संक्रिया \(A\times A\) से (A) में एक फलन होती है। चरण 2: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) चुनाव हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) होती है।
Each element of the domain has (3) choices in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Since there are (3) elements, the count is \(3^3=27\).
Step 3
Exam Tip
In counting all functions, repeated images are allowed. चरण 1: प्रांत के प्रत्येक तत्व के लिए सहप्रांत में (3) चुनाव हैं। चरण 2: कुल (3) तत्व होने से संख्या \(3^3=27\) है। चरण 3: कुल फलनों की गिनती में प्रतिबिंब दोहराए जा सकते हैं।
In a constant function, all elements of (A) go to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
That single element can be any of the (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of constant functions equals the number of elements in the codomain. चरण 1: स्थिर फलन में (A) के सभी तत्व (B) के एक ही तत्व पर जाते हैं। चरण 2: वह एक तत्व (B) के (5) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। चरण 3: इसलिए स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
For a finite set, a one-one function from (A) to (A) gives distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Since the domain and codomain have the same number of elements, all codomain elements are used.
Step 3
Exam Tip
On finite equal sets, one-one implies onto. चरण 1: सीमित समुच्चय में (A) से (A) तक एकैकी फलन अलग-अलग प्रतिबिंब देता है। चरण 2: जितने तत्व प्रांत में हैं उतने ही सहप्रांत में हैं इसलिए सभी सहप्रांत तत्व उपयोग हो जाते हैं। चरण 3: सीमित समान समुच्चय पर एकैकी और आच्छादी बराबर प्रभाव रखते हैं।
For finite equal sets, if two domain elements had the same image, some codomain element would be left unused.
Step 3
Exam Tip
Therefore an onto function from (A) to (A) is also one-one. चरण 1: आच्छादी होने से सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होता है। चरण 2: सीमित समान समुच्चय में यदि कोई दो प्रांत तत्व एक ही प्रतिबिंब लेते तो कोई सहप्रांत तत्व छूट जाता। चरण 3: इसलिए (A) से (A) में आच्छादी फलन एकैकी भी होता है।
In fractional compositions, simplify the denominator carefully. चरण 1: (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))) है। चरण 2: (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{x+1}{x+2})। चरण 3: भिन्न वाले समिश्र फलनों में हर को सावधानी से सरल करें।
Squaring both sides gives \(y^2=x-2\), so \(x=y^2+2\).
Step 3
Exam Tip
When writing the inverse, the domain and range are interchanged. चरण 1: \(y=\sqrt{x-2}\) लिखें। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर \(y^2=x-2\) इसलिए \(x=y^2+2\)। चरण 3: व्युत्क्रम लिखते समय नए प्रांत और परास भी बदल जाते हैं।
(f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0), and (f\(-\sqrt{3}\)=0), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
A cubic polynomial goes from very negative to very positive values, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
A cubic function need not always be one-one. चरण 1: (f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0) और (f\(-\sqrt{3}\)=0) से एकैकीपन टूटता है। चरण 2: घन बहुपद के मान बहुत ऋणात्मक से बहुत धनात्मक तक जाते हैं इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। चरण 3: घन फलन हमेशा एकैकी हो यह जरूरी नहीं है।
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है/One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare cardinalities. चरण 1: (A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। चरण 2: लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें।
Therefore \(|x-2|+3\geq3\), and at (x=2), the value is (3).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, the minimum is found by making the inside expression zero. चरण 1: \(|x-2|\geq0\) हमेशा होता है। चरण 2: इसलिए \(|x-2|+3\geq3\) और (x=2) पर मान (3) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान अंदर की मात्रा शून्य करके मिलता है।
A. यह स्वयं का व्युत्क्रम है/It is its own inverse
Step 1
Concept
If \(x\neq0\), then \(\frac{1}{x}\neq0\), so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
When \(f\circ f\) is the identity, the function is its own inverse. चरण 1: \(x\neq0\) होने पर \(\frac{1}{x}\) भी शून्य नहीं होता इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। चरण 2: (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x) मिलता है। चरण 3: जब \(f\circ f\) सर्वसमिका हो तो फलन स्वयं का व्युत्क्रम होता है।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully. चरण 1: \(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें।
