For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior. चरण 1: एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। चरण 2: जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully. चरण 1: \(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें।
C. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) keeps increasing with (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For very negative (x), values are very negative, and for very positive (x), values are very positive, so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
Increasing odd-degree polynomial functions often have range \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^5+x^3+x\) बढ़ते (x) के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक होता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपदों में परास \(\mathbb{R}\) हो सकता है।
\(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
An increasing function covering all real values is bijective. चरण 1: \(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है।
