Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
किसी भी \(k\in\mathbb{N}\) के लिए (n=2k-1) लेने पर (f(n)=k) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{N}\), taking (n=2k-1) gives (f(n)=k).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (n=2k-1) और (n=2k) दोनों कई बार उसी (k) पर जा सकते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / But (n=2k-1) and (n=2k) can give the same (k), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
(a>0) और (b>0) होने से \(3ax^2+b>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। / Since (a>0) and (b>0), \(3ax^2+b>0\) for every real (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is strictly increasing and one-one.
(f(x)=(x+1)2+1), इसलिए शीर्ष (x=-1) है। / (f(x)=(x+1)2+1), so the vertex is at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\infty,-1]\) पर यह फलन लगातार घटता है और इसलिए एकैकी है। / On (\(-\infty,-1]\), the function is strictly decreasing and hence one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शीर्ष के बाईं ओर घटता और दाईं ओर बढ़ता व्यवहार याद रखें। / Remember that a quadratic decreases to the left of its vertex and increases to the right.
(f) पूरे (A) पर अलग इनपुटों को अलग प्रतिबिंब देता है। / (f) sends distinct inputs of (A) to distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(S) तो (A) का छोटा हिस्सा है, इसलिए (S) के अलग अवयवों के प्रतिबिंब भी अलग रहेंगे। / (S) is only a smaller part of (A), so distinct elements of (S) also keep distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन का प्रतिबंध भी एकैकी होता है। / A restriction of a one-one function is also one-one.
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। / As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है। / The cube-root function is one-one on the whole real domain.
प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। / The domain \([0,\infty\)) has no negative values.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है। / An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted.
\(1-\sin x\ge0\) हर (x) के लिए है और फलन कुल मिलाकर बढ़ने की दिशा में चलता है। / \(1-\sin x\ge0\) for every (x), and the function moves overall in the increasing direction.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है, फिर भी फलन समान मान दोहरा न रहा हो तो एकैकी हो सकता है। / A derivative may become zero at points, yet the function can still be one-one if it does not repeat values.
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
जहां (x) बड़ा है, वहां \(3x^2\) बढ़ने को मजबूत बनाता है, और छोटे भाग में भी \(x^3+\sin x\) समान मानों को दोहराने वाला आवर्ती रूप नहीं है। / For large (|x|), the \(3x^2\) part strongly supports increasing behaviour, and the expression is not a repeating periodic form.
Step 3
Exam Tip
घन भाग वाले फलनों में आवर्ती छोटा भाग हमेशा एकैकीपन नहीं तोड़ता। / A small trigonometric part does not always destroy one-one nature when a dominant cubic part controls the function.
यदि (x>0), तो \(x^3+x\cos^2x>0\), और यदि (x<0), तो यह मान ऋणात्मक होता है। / If (x>0), then \(x^3+x\cos^2x>0\), and if (x<0), the value is negative.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही फलन विषम प्रकार का है और (x) के चिन्ह के साथ मान का चिन्ह बदलता है; बढ़ने की दिशा बनाए रखता है। / The function has odd-type behaviour and preserves the direction of values with the sign of (x).
Step 3
Exam Tip
चिन्ह और बढ़ने के व्यवहार को साथ देखकर कठिन रूपों में एकैकीपन समझा जा सकता है। / For difficult forms, combine sign behaviour with increasing tendency to judge one-one nature.
(\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। / On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। / \(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है। / The one-one nature of the same formula can change when the domain changes.
A. यह हमेशा एकैकी नहीं होगा/It will always be not one-one
Step 1
Concept
(g) पूरे (B) पर एकैकी न हो, फिर भी (f(A)) के छोटे भाग पर (g) अलग-अलग मान दे सकता है। / Even if (g) is not one-one on all of (B), it may give distinct values on the smaller set (f(A)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(g\circ f\) कभी-कभी एकैकी हो सकता है। / Therefore, \(g\circ f\) can sometimes be one-one.
Step 3
Exam Tip
संयोजन में केवल पूरे सहप्रांत नहीं, बल्कि (f(A)) पर (g) का व्यवहार भी देखें। / In composition, check the behaviour of (g) on (f(A)), not only on all of (B).
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चूंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), meaning (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में बाएं वाले फलन के एकैकी होने का निष्कर्ष ऐसे निकाला जाता है। / In composition, this is how one concludes that the first function is one-one.
A. यह एकैकी है लेकिन आच्छादी नहीं है/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। / (f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में सम संख्याएं प्रतिबिंब के रूप में नहीं आतीं, इसलिए यह आच्छादी नहीं है। / Even natural numbers in the codomain are not obtained as images, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Test one-one and onto separately.
\(\arccos x\) का प्रांत ([-1,1]) है। / The domain of \(\arccos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(\arccos x\) घटता है, इसलिए दो अलग इनपुटों का मान समान नहीं होता। / On this domain, as (x) increases, \(\arccos x\) decreases, so two different inputs do not have the same value.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन भी एकैकी होता है। / A decreasing inverse trigonometric function is also one-one.
\(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। / \(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। / As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें। / Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions.
(f'(x)=\cos x-\sin x) है। / (f'(x)=\cos x-\sin x).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर (f'(x)\ge0), इसलिए फलन बढ़ता है और एकैकी है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), (f'(x)\ge0), so the function is increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
जब अवकलज का संकेत बदलता हो, तो केवल एकरस भाग चुनें। / When the derivative changes sign, choose a monotonic part.
प्रांत में \(x\le5\), इसलिए \(5-x\ge0\) है। / In the domain, \(x\le5\), so \(5-x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर (5-x) घटता है और \(\sqrt{5-x}\) भी घटता है, इसलिए फलन एकैकी है। / As (x) increases, (5-x) decreases and \(\sqrt{5-x}\) also decreases, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
प्रांत \([-3,\infty\)) में \(x+3\ge0\) है। / In the domain \([-3,\infty\)), \(x+3\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर (x+3) और \(\sqrt{x+3}\) दोनों बढ़ते हैं, इसलिए प्रतिबिंब नहीं दोहरता। / As (x) increases, both (x+3) and \(\sqrt{x+3}\) increase, so the image does not repeat.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल रूप सामान्यतः अपने प्राकृतिक प्रांत पर बढ़ता हुआ होता है। / A square-root form is usually increasing on its natural domain.
