(f) sends distinct inputs of (A) to distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(S) is only a smaller part of (A), so distinct elements of (S) also keep distinct images.
Step 3
Exam Tip
A restriction of a one-one function is also one-one. चरण 1: (f) पूरे (A) पर अलग इनपुटों को अलग प्रतिबिंब देता है। चरण 2: (S) तो (A) का छोटा हिस्सा है, इसलिए (S) के अलग अवयवों के प्रतिबिंब भी अलग रहेंगे। चरण 3: एकैकी फलन का प्रतिबंध भी एकैकी होता है।
A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं/(B) contains elements from more than one distinct equivalence class
Step 1
Concept
An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.
Step 2
Why this answer is correct
If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.
Step 3
Exam Tip
You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class. चरण 1: तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। चरण 2: यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। चरण 3: तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता।
In a symmetric relation, the reverse of each given pair is compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,3)), we need ((3,1)), and from ((2,3)), we need ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Only the required reverse pairs are guaranteed, not unrelated diagonal or other pairs. चरण 1: सममित संबंध में दिए गए हर युग्म का उल्टा युग्म होना जरूरी है। चरण 2: ((1,3)) से ((3,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलते हैं। चरण 3: दिए गए युग्मों से केवल उनके उल्टे युग्म ही निश्चित माने जाते हैं, बाकी नहीं।
The empty set is a subset of every set, so \(\varnothing\subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। चरण 2: रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\varnothing\subseteq X\) सत्य है। चरण 3: अतः सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of diagonal pairs is (8). चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। चरण 2: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। चरण 3: अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है।
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है/Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between subset and proper subset. चरण 1: (P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। चरण 2: हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें।
Since (R) is reflexive, all these pairs are also in (R).
Step 3
Exam Tip
Thus the identity relation is a subset of any reflexive relation. चरण 1: \(I_A\) में (A) के सभी अपने-आप वाले युग्म होते हैं। चरण 2: (R) स्वतुल्य है, इसलिए ये सभी युग्म (R) में भी हैं। चरण 3: इसलिए पहचान सम्बन्ध स्वतुल्य सम्बन्ध का उपसमुच्चय होता है।
The identity relation \(I_A\) is exactly the set of all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(I_A\subseteq R\) is always true. चरण 1: परावर्ती (R) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: पहचान संबंध \(I_A\) इन्हीं अपने-अपने युग्मों का समूह है। चरण 3: इसलिए \(I_A\subseteq R\) हमेशा सही है।
Since (R) is reflexive, it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore (S) must be reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी स्वयुग्म हैं। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से वे सभी स्वयुग्म (S) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए (S) परावर्ती अवश्य रहेगा।
Therefore \((a,b)\in S^{-1}\), so \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\)। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से \((b,a)\in S\) भी होगा। चरण 3: इसलिए \((a,b)\in S^{-1}\), अतः \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)।
Therefore, if \(R\subseteq A\times A\), then (R) is a relation on (A).
Step 3
Exam Tip
Always think of a relation as a set of ordered pairs. चरण 1: (A) पर संबंध \(A\times A\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। चरण 2: इसलिए \(R\subseteq A\times A\) होने पर (R), (A) पर संबंध है। चरण 3: संबंध हमेशा क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में सोचें।
A. हाँ क्योंकि \(R\subseteq A\times A\)/Yes because \(R\subseteq A\times A\)
Step 1
Concept
To be a relation on (A), all pairs must come from \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,3)) are pairs from \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
A relation does not need to contain all possible pairs. चरण 1: (A) पर संबंध होने के लिए सभी युग्म \(A\times A\) से होने चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों \(A\times A\) के युग्म हैं। चरण 3: संबंध होने के लिए सभी संभव युग्म होना जरूरी नहीं है।
