Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,3)) और ((3,5)) संबंध में हैं। / ((1,3)) and ((3,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची जोड़ियाँ पूरी होने पर भी लंबी श्रृंखला की कमी अलग से जाँचना जरूरी है। / Even if all reflexive pairs are present, missing chain pairs must be checked separately.
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है। / Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलते हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं बनती। / If ((a,a)) and ((a,a)) are combined, the required ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को संक्रमणीयता का मूल उदाहरण याद रखें। / Remember the identity relation as a basic example of transitivity.
सभी स्वतुल्य युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) पहले से अनिवार्य हैं। / The reflexive pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
बचे हुए तीन उल्टे युग्मों के समूह हैं: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((1,3)) के साथ ((3,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2))। / The remaining off-diagonal reverse-pair groups are three.
Step 3
Exam Tip
हर समूह के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) संबंध होंगे। / Each group has two choices, so the total number is \(2^3=8\).
A. (R) सममित और प्रतिवर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं, इसलिए सममित भी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and diagonal pairs are self-reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
एक साथ दो गुण जाँचते समय दोनों की अलग-अलग कसौटी लगाइए। / When two properties are asked together, test both separately.
(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है। / Every element of (A) is greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर ऐसे तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, जिसे वह स्वयं के साथ साझा करता है। / Each such element has at least one prime factor, which it shares with itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all (6) diagonal pairs are in the relation.
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.
विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। / On the diagonal, \(X\subset X\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। / But \(X\cap X=X\) is true.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है। / In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive.
विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\varnothing\subseteq X\) सत्य है। / The empty set is a subset of every set, so \(\varnothing\subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
अतः सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs are in the relation.
यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}
\]
परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। / Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे। / The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations.
चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। / On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। / For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\).
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। / There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है। / The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\).
