Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में सभी ((a,a)) युग्म होते हैं। / The identity relation contains all pairs ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान तत्वों के युग्म होने से सममितता और संक्रमणता भी पूरी होती है। / Since only identical elements are paired, symmetry and transitivity also hold.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध हर समुच्चय पर तुल्यता संबंध होता है। / The identity relation is an equivalence relation on any set.
इस संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म हैं। / This relation contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) लिए जाएँ, तो जरूरी युग्म फिर ((a,a)) ही है, जो मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair is again ((a,a)), which is present.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध संक्रामी होता है। / A relation containing only diagonal pairs is transitive.
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। / For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं। / Diagonal pairs are their own reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म भी संतुलित हैं। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so the non-diagonal pair is balanced.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म होना जरूरी नहीं, केवल मौजूद युग्मों के उल्टे होने चाहिए। / Symmetry does not require all possible pairs; it only requires reverse pairs for the pairs present.
((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
सर्वसम संबंध में केवल ऐसे ही विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए उल्टा युग्म अपने-आप मौजूद है। / The identity relation contains only such diagonal pairs, so each reverse pair is already present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता में कभी समस्या नहीं बनाते। / Diagonal pairs never create a problem for symmetry.
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या सम होती है। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is even.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (5) युग्म हैं, इसलिए विकर्ण युग्मों की संख्या विषम होनी चाहिए। (A) में अधिकतम (3) विकर्ण युग्म हो सकते हैं, इसलिए (1) संभव है। / Since the total is (5), the number of diagonal pairs must be odd. With (3) elements, possible diagonal counts are at most (3), so (1) is possible.
Step 3
Exam Tip
पहले सम-विषम नियम लगाएँ, फिर अधिकतम सीमा देखें। / Apply parity first, then check the maximum limit.
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या हमेशा सम होती है क्योंकि वे उल्टे जोड़ों में आते हैं। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is always even because they appear in reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (10) युग्मों में यदि (3) विकर्ण हों, तो गैर-विकर्ण (7) होंगे, जो सम नहीं है। / If there are (3) diagonal pairs out of (10), the off-diagonal count is (7), which is not even.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म और विकर्ण युग्म की सम-विषम जाँच तेज तरीका है। / Checking parity of total and diagonal counts is a fast exam method.
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। / Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें। / Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices.
A. हाँ, क्योंकि हर असमान युग्म का उल्टा युग्म है/Yes, because every non-diagonal pair has its reverse
Step 1
Concept
सममितता के लिए केवल यह जरूरी है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) हो। / Symmetry only requires that every ((a,b)) has ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। विकर्ण युग्म अपना उल्टा खुद होते हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म होना सममितता के लिए अनिवार्य नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है। / Every element of (A) is greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर ऐसे तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, जिसे वह स्वयं के साथ साझा करता है। / Each such element has at least one prime factor, which it shares with itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all (6) diagonal pairs are in the relation.
प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर ((a,a)) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (6) से तभी विभाज्य है जब (a) (3) से विभाज्य हो। (A) में (3,6) ही ऐसे हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (6) only when (a) is divisible by (3). In (A), only (3) and (6) work.
Step 3
Exam Tip
कुल (8) विकर्ण युग्म चाहिए, (2) पहले से हैं, इसलिए (6) जोड़ने होंगे। / (8) diagonal pairs are needed and (2) are present, so (6) must be added.
प्रतिवर्ती होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity requires every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (4) से तभी विभाज्य है जब (a) सम हो। इसलिए ((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (4) only when (a) is even, so ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present.
Step 3
Exam Tip
बाकी ((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है। / The missing diagonal pairs are ((1,1),(3,3),(5,5)), so (3) pairs are needed.
