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सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing. The pair ((1,2)) already has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal pair.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order of addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So whenever \((a,b)\in R\), we also get \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
जहाँ शर्त (a) और (b) को बदलने पर वही रहती है, वहाँ सममितता जल्दी जाँची जा सकती है। / If the condition remains unchanged after swapping (a) and (b), symmetry is usually satisfied.
(a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। / Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता। / For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same.
A. हाँ, क्योंकि हर असमान युग्म का उल्टा युग्म है/Yes, because every non-diagonal pair has its reverse
Step 1
Concept
सममितता के लिए केवल यह जरूरी है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) हो। / Symmetry only requires that every ((a,b)) has ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। विकर्ण युग्म अपना उल्टा खुद होते हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्म होना सममितता के लिए अनिवार्य नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
सममित संबंध में क्रमित युग्म को उलटने पर भी युग्म संबंध में रहना चाहिए। / In a symmetric relation, reversing an ordered pair must still give a pair in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((4,7)) का उल्टा ((7,4)) है, इसलिए यह निश्चित रूप से होगा। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)), so it must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप जरूरी नहीं हो जाते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs like ((4,4)) or ((7,7)).
A. नहीं, क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/No, because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\leq2\), लेकिन ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\leq1\) गलत है। / \((1,2)\in R\) because \(1\leq2\), but \((2,1)\notin R\) because \(2\leq1\) is false.
Step 3
Exam Tip
क्रम वाले संबंधों में सममितता अक्सर असफल हो जाती है। / Order-based relations often fail to be symmetric.
यदि (a+b=6), तो (b+a=6) भी होगा। / If (a+b=6), then (b+a=6) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी ((a,b)) के लिए उल्टा ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus the reverse ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
योग की समानता वाले संबंधों में (a) और (b) बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Sum-based equality conditions usually remain unchanged after swapping the variables.
सममित संबंध में दिए गए हर युग्म का उल्टा युग्म होना जरूरी है। / In a symmetric relation, the reverse of each given pair is compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) से ((3,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलते हैं। / From ((1,3)), we need ((3,1)), and from ((2,3)), we need ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
दिए गए युग्मों से केवल उनके उल्टे युग्म ही निश्चित माने जाते हैं, बाकी नहीं। / Only the required reverse pairs are guaranteed, not unrelated diagonal or other pairs.
\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी हो, इसलिए उलटने पर वही संबंध मिलता है। / Symmetry means \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\), so reversing all pairs gives the same relation.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध की पहचान \(R=R^{-1}\) से भी की जा सकती है। / A symmetric relation can also be identified by \(R=R^{-1}\).
तीन विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The three diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के तीन जोड़े हैं: ({(1,2),(2,1)}), ({(1,3),(3,1)}), ({(2,3),(3,2)}); हर जोड़ा साथ में चुना या छोड़ा जाएगा। / There are three unordered off-diagonal pair groups, and each group must be selected together or left together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / There are (3+3=6) independent choices, so the number of symmetric relations is \(2^6=64\).
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र चुनाव \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) हैं। / Here (n=4), so the number of independent choices is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
सूत्र याद रखने के साथ यह भी समझें कि विकर्ण युग्म अकेले और बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Remember that diagonal pairs are chosen singly, while off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups.
सममितता के लिए हर असमान युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना उल्टा खुद है। / In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and ((3,3)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों को जाँचते समय पहले टूटे हुए उल्टे युग्म खोजें। / While checking options, first look for missing reverse pairs.
शर्त \(a+b\leq5\) में (a) और (b) को बदलने पर \(b+a\leq5\) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in \(a+b\leq5\) gives \(b+a\leq5\).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ क्रम बदलने पर वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करेगा। / Since addition is commutative, the condition remains true for the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
असमानता में भी यदि अभिव्यक्ति बदलकर वही रहे, तो सममितता बनी रहती है। / Even in inequalities, if the expression is unchanged by swapping, symmetry holds.
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम दोनों प्रकार के योग-आधारित संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / In sum-based parity relations, changing the order does not change the sum.
सममितता के लिए शर्त उलटने पर भी सही रहनी चाहिए। / Symmetry requires the condition to remain valid after reversing a pair.
Step 2
Why this answer is correct
\((2,1)\in R\) है क्योंकि \(2=2\cdot1\), पर \((1,2)\notin R\) क्योंकि \(1\neq2\cdot2\)। / \((2,1)\in R\) because \(2=2\cdot1\), but \((1,2)\notin R\) because \(1\neq2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणा से बनी दिशात्मक शर्तों में उल्टा युग्म अलग परिणाम दे सकता है। / Directional multiplication conditions may fail after reversing the pair.
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। अतः \((b,a)\in R\cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both as well. Hence \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का प्रतिच्छेद भी सममित रहता है। / The intersection of symmetric relations is symmetric.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
वह संबंध सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और इसलिए संघ में भी होगा। / That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
सममित नहीं होने के लिए कोई एक युग्म ऐसा चाहिए जिसका उल्टा युग्म न हो। / To show a relation is not symmetric, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। / In the first option, ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध भी सममित माना जाता है क्योंकि उसमें नियम तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं होता। / The empty relation is symmetric because there is no pair that violates the condition.
A. क्योंकि इसमें नियम तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है/Because it has no pair that violates the rule
Step 1
Concept
सममितता का नियम तब जाँचा जाता है जब कोई ((a,b)) संबंध में हो। / The symmetry rule is checked only when a pair ((a,b)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए कोई कमी या विरोधी उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pairs, so no counterexample exists.
Step 3
Exam Tip
खाली स्थिति में कई गुण सत्य माने जाते हैं, इसे परीक्षा में ध्यान रखें। / Many properties are considered true in such empty cases; keep this in mind for exams.
सममितता के लिए (a) और (b) को बदलने पर शर्त वही रहनी चाहिए। / For symmetry, the condition should remain valid after swapping (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2=10\) में (a) और (b) बदलने पर \(b^2+a^2=10\) मिलता है, जो वही है। / In \(a^2+b^2=10\), swapping gives \(b^2+a^2=10\), which is the same condition.
Step 3
Exam Tip
योग वाली समरूप शर्तें अक्सर सममित संबंध देती हैं। / Balanced sum-type conditions often produce symmetric relations.
यदि \(a^2=b^2\), तो समानता को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सही है। / If \(a^2=b^2\), then the reversed equality \(b^2=a^2\) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) संबंध में हो तो ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समानता वाली शर्तों में दोनों पक्ष बदलने पर सत्यता बनी रहे तो सममितता मिलती है। / Equality-based relations are symmetric when swapping the two sides keeps the statement true.
\(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान अवशेष देते हैं। / \(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Then \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) also holds.
Step 3
Exam Tip
मापांक में समानता वाली शर्तें उलटने पर भी बनी रहती हैं। / Congruence equality conditions remain valid after reversing the pair.
सममितता के लिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करे। / Symmetry requires the reverse pair to satisfy the same condition.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) के लिए \(2-1\equiv 1 \pmod{3}\), पर ((1,2)) के लिए \(1-2\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए शर्त नहीं बनी। / For ((2,1)), \(2-1\equiv 1 \pmod{3}\), but for ((1,2)), \(1-2\equiv 2 \pmod{3}\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
मापांक में गैर-शून्य अंतर वाली शर्तों को ध्यान से जाँचें। / Non-zero modular difference conditions must be checked carefully.
सभी असमान युग्मों के उल्टे युग्म देखें। / Check the reverse of every off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((3,1)) के साथ ((1,3)) है। ((1,1)) अपना उल्टा खुद है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,1)) has ((1,3)). The pair ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए ((2,2)) और ((3,3)) का होना जरूरी नहीं है। / ((2,2)) and ((3,3)) are not compulsory for symmetry.
(a=b+1) एक दिशात्मक शर्त है। / (a=b+1) is a directional condition.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) इसे पूरा करता है, पर ((1,2)) इसे पूरा नहीं करता। बाकी शर्तें (a) और (b) बदलने पर वही रहती हैं। / ((2,1)) satisfies it, but ((1,2)) does not. The other conditions remain the same after swapping (a) and (b).
Step 3
Exam Tip
जहाँ (a) और (b) की भूमिका समान न हो, वहाँ सममितता पर शक करें। / Be cautious when the roles of (a) and (b) are not balanced.
समान सम-विषम प्रकृति का संबंध दोनों दिशाओं में समान रहता है। / Having the same parity is a two-way condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो (b) और (a) भी उसी प्रकार रहेंगे। / If (a) and (b) are both even or both odd, then (b) and (a) are also the same way.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग में होने वाली शर्तें सममित संबंध देती हैं। / Conditions based on belonging to the same class give symmetric relations.
तीर ((a,b)) को दिखाता है। / An arrow from (a) to (b) represents ((a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
हर तीर के साथ उल्टा तीर होना ((b,a)) की उपस्थिति बताता है, यही सममितता है। / A reverse arrow for every arrow means ((b,a)) is also present, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
आलेखीय प्रश्नों में तीरों की दिशा देखकर गुण पहचानें। / In diagram-based questions, observe arrow directions carefully.
((1,2)) और ((2,1)) संतुलित हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced.
Step 2
Why this answer is correct
((3,1)) मौजूद है, पर उसका उल्टा ((1,3)) नहीं है। ((2,2)) अपना उल्टा खुद है। / ((3,1)) is present, but its reverse ((1,3)) is missing. ((2,2)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
केवल गायब उल्टे युग्म जोड़ें, अनावश्यक विकर्ण युग्म नहीं। / Add only missing reverse pairs, not unnecessary diagonal pairs.
(ab) और (ba) बराबर होते हैं। / (ab) and (ba) are equal.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / If (ab) is even, then (ba) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / Multiplication is commutative, so product-based conditions often preserve symmetry.
(a+b=ab) में (a) और (b) को बदलने पर (b+a=ba) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in (a+b=ab) gives (b+a=ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणन दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए शर्त वही रहती है। / Both addition and multiplication are commutative, so the condition remains the same.
Step 3
Exam Tip
जब पूरी शर्त बदलने पर समान रहे, तो संबंध सममित होता है। / If the full condition is unchanged after swapping, the relation is symmetric.
\(a^2-b^2=0\) का अर्थ है \(a^2=b^2\)। / \(a^2-b^2=0\) means \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\) भी सही है, इसलिए उल्टा युग्म भी आएगा। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शर्त को सरल रूप में बदलकर देखना परीक्षा में उपयोगी होता है। / Simplifying the condition helps in exam questions.
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वे ठीक हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so they are fine.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) भी दोनों हैं। केवल ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,2)) are also both present. Only the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
हर असमान युग्म की जोड़ी बनाकर जाँचें। / Check off-diagonal pairs in reverse-pair groups.
A. (R) सममित है क्योंकि (a+b=b+a)/(R) is symmetric because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
यदि (a+b) (5) का गुणज है, तो (b+a) भी वही योग देगा। / If (a+b) is a multiple of (5), then (b+a) gives the same sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
गुणज वाली योग-शर्त में संख्या का सम या विषम होना सममितता को नहीं रोकता। / For sum-multiple conditions, whether the modulus is even or odd does not affect symmetry.
\(R^{-1}\) में सभी युग्म उलट जाते हैं। / In \(R^{-1}\), all ordered pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R=R^{-1}\) तभी होगा जब हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से (R) में हो। यही सममितता है। / \(R=R^{-1}\) exactly when every reverse pair is already in (R), which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) सममितता की बहुत उपयोगी पहचान है। / \(R=R^{-1}\) is a very useful test for symmetry.
आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ बराबर होनी चाहिए। / For a relation matrix to represent a symmetric relation, entries across the main diagonal must match.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ पहली और तीसरी स्थिति पर \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), तथा बाकी विपरीत प्रविष्टियाँ भी बराबर हैं। / Here \(m_{13}=1\) and \(m_{31}=1\), and the other opposite entries also match.
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने स्थानांतरण के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.
(a+b=2a) से (b=a) मिलता है। / From (a+b=2a), we get (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के विकर्ण युग्म आएँगे, जो अपने उल्टे खुद होते हैं। / So the relation contains only diagonal pairs ((a,a)), and each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त सरल करें, फिर सममितता जाँचें। / Simplify the condition first, then check symmetry.
(a+b=2b) से (a=b) मिलता है। / From (a+b=2b), we get (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) में केवल विकर्ण युग्म होंगे, जैसे ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4))। ये सभी अपने उल्टे खुद हैं। / Thus (R) contains only diagonal pairs such as ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी अलग दिखने वाली शर्त भी केवल विकर्ण संबंध दे सकती है। / Sometimes a condition that looks different may still define only a diagonal relation.
