Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. वास्तविक निर्णय भागीदारी/Real decision participation
Explanation
Simple Explanation
सदस्यता तभी प्रभावी है जब बोलने और निर्णय लेने का अवसर मिले। परीक्षा में participation quality देखें। / Membership is effective only when there is voice and decision opportunity. In exams check participation quality.
A. वास्तविक आवाज और निर्णय भागीदारी/Real voice and decision participation
Explanation
Simple Explanation
membership तभी प्रभावी है जब आवाज भी मिले। परीक्षा में participation की quality देखें। / Membership is effective only when voice is also given. In exams check quality of participation.
A. औपचारिक सदस्यता और वास्तविक आवाज में अंतर/Gap between formal membership and real voice
Explanation
Simple Explanation
सदस्यता तभी प्रभावी है जब आवाज और decision power मिले। परीक्षा में participation की गुणवत्ता देखें। / Membership is effective only when voice and decision power exist. In exams examine quality of participation.
A. नियोजन मानवीय और बाहरी अनिश्चितताओं से प्रभावित होता है/Planning is affected by human and external uncertainties
Explanation
Simple Explanation
यूनियन आंदोलन का समय पूरी तरह निश्चित नहीं हो सकता। परीक्षा में labour agitation को uncertainty मानें। / Timing of union agitation cannot be fully certain. In exams treat labour agitation as uncertainty.
A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)/When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
Step 1
Concept
यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। / If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। / The larger relation is already an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा। / Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case.
A. मापांक (5) के अनुसार समानता/Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
(S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। / Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(S\subseteq R\)। / Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध। / Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation.
संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। / In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें। / Do not treat union like intersection for transitivity.
A. जरूरी नहीं कि \(R \cup S\) संक्रामी हो/\(R \cup S\) need not be transitive
Step 1
Concept
मिलन में पहला युग्म एक संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आ सकता है। / In a union, one pair may come from one relation and the second pair from another relation.
Step 2
Why this answer is correct
तब जरूरी ((a,c)) मिलन में होना निश्चित नहीं है। / Then the required ((a,c)) may not be in the union.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों का छेदन सुरक्षित है, पर मिलन हमेशा सुरक्षित नहीं। / Intersection of transitive relations is safe, but union is not always safe.
दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। / The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें। / Always check transitivity of a union separately.
यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। / If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
\(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। / In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है। / A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\).
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
वह संबंध सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और इसलिए संघ में भी होगा। / That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध \[R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}\] परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें/Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। / Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। / In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें। / For union questions, check the combined diagonal list.
