Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
equivalence-relations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)/When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
Step 1
Concept
यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। / If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। / The larger relation is already an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा। / Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case.
A. मापांक (5) के अनुसार समानता/Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
(S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। / Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(S\subseteq R\)। / Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध। / Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation.
A. (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों से/Non-empty intersections of classes of (R) and (S)
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि दोनों विभाजनों के वर्गों के प्रतिच्छेद बनने लगते हैं। / This creates intersections of blocks from the two partitions.
Step 3
Exam Tip
खाली प्रतिच्छेद छोड़कर बाकी प्रतिच्छेद नए वर्ग बनाते हैं। / The non-empty intersections become the new classes.
यह (5) तत्वों को ठीक (3) खाली-न-होने वाले समूहों में बाँटने की गिनती है। / This is the number of ways to partition (5) elements into exactly (3) non-empty blocks.
Step 2
Why this answer is correct
आकारों के प्रकार (3,1,1) और (2,2,1) होंगे। / The block-size patterns are (3,1,1) and (2,2,1).
Step 3
Exam Tip
गिनती (10+15=25) आती है, इसलिए (25) तुल्यता संबंध हैं। / The count is (10+15=25), so there are (25) equivalence relations.
(5) अवयवों को (4) वर्गों में बांटने के लिए एक वर्ग में (2) अवयव होंगे और बाकी अकेले होंगे। / To split (5) elements into (4) classes, one class must have (2) elements and the others must be singletons.
Step 2
Why this answer is correct
दो-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The two-element class can be chosen in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी अवयव अपने-अपने वर्ग बनाते हैं। / The remaining elements form singleton classes.
