Each subset forms a relation, so the total number of relations is \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
In such questions first count the pairs in the Cartesian product. चरण 1: \(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: हर उपसमुच्चय एक संबंध बनाता है इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें।
For reflexivity, (3) diagonal pairs are fixed and the remaining (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(2^6\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म होते हैं। चरण 2: स्वतः होने के लिए (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं और बाकी (6) युग्म वैकल्पिक हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^6\) होगी।
The three diagonal pairs can be chosen or left independently.
Step 2
Why this answer is correct
The three off-diagonal reverse pairs can also be chosen or left.
Step 3
Exam Tip
There are (6) independent choices, so the number is \(2^6\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्म अलग अलग चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 2: तीन गैर विकर्ण उलटी जोड़ियाँ भी चुनी या छोड़ी जा सकती हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं इसलिए संख्या \(2^6\) है।
There are (3) off-diagonal reverse pairs, and each pair is optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number of such relations is \(2^3\). चरण 1: स्वतः होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म निश्चित रूप से लेने होंगे। चरण 2: गैर विकर्ण उलटी जोड़ियों की संख्या (3) है और हर जोड़ी स्वतंत्र है। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(2^3\) होंगे।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and adding two even differences gives an even difference.
Step 3
Exam Tip
Since all three properties hold, it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और दो सम अंतरों को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। चरण 3: तीनों गुण होने से यह तुल्यता संबंध है।
A. यह स्वतः और संचारी है पर सममित नहीं/It is reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\) is true, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1\le2\) is true but \(2\le1\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है इसलिए संचारी है। चरण 3: \(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) गलत है इसलिए सममित नहीं।
A. संचारी पर स्वतः नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on less than are generally not symmetric. चरण 1: (a<a) कभी सही नहीं होता इसलिए संबंध स्वतः नहीं है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c) हो तो (a<c) होता है इसलिए संचारी है। चरण 3: छोटे और बड़े के संबंध में सममितता सामान्यतः नहीं होती।
A. स्वतः और संचारी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every natural number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर प्राकृतिक संख्या अपने आप को भाग देती है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) तो \(a\mid c\) होता है इसलिए संचारी है। चरण 3: \(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) गलत है इसलिए सममित नहीं।
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same parity carries through the chain, so it is transitive. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है इसलिए सममित है। चरण 3: समान समता वाले दो संबंधों से तीसरा संबंध भी समान समता वाला बनता है इसलिए यह संचारी है।
(a-a=0) is divisible by (3), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Adding divisible differences again gives a divisible difference, so it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) (3) से विभाज्य है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: यदि (a-b) (3) से विभाज्य है तो (b-a) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्य अंतरों को जोड़ने पर फिर (3) से विभाज्य अंतर मिलता है इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
For every number, (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If two equalities connect, the third equality also follows, so it is transitive. चरण 1: हर संख्या के लिए (|a|=|a|) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: बराबरी को उलटने पर भी बराबरी रहती है इसलिए सममित है। चरण 3: यदि दो बराबरियाँ जुड़ती हैं तो तीसरी बराबरी भी मिलती है इसलिए संचारी है।
A chain of equalities gives \(a^2=c^2\), so all three properties hold. चरण 1: \(a^2=a^2\) हर (a) के लिए सही है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी सही है। चरण 3: बराबरी की श्रृंखला से \(a^2=c^2\) मिलता है इसलिए तीनों गुण पूरे होते हैं।
For non-zero (a), \(a^2>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation means same sign, and same sign passes through a chain. चरण 1: शून्य रहित (a) के लिए \(a^2>0\) है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: (ab>0) होने पर (ba>0) भी है इसलिए सममित है। चरण 3: यह संबंध समान चिह्न को दिखाता है और समान चिह्न की श्रृंखला संचारी होती है।
A. संचारी पर स्वतः नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a-a=0), which is not greater than (0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Greater-than type relations are generally not symmetric. चरण 1: (a-a=0) है जो (0) से बड़ा नहीं है इसलिए संबंध स्वतः नहीं है। चरण 2: यदि (a>b) और (b>c) है तो (a>c) होगा इसलिए संचारी है। चरण 3: अधिकता वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते।
A. सममित पर स्वतः नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b=0), then (b+a=0), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=0) is not true for every real (a), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Symmetry alone is not enough for equivalence. चरण 1: (a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होता है इसलिए संबंध सममित है। चरण 2: (a+a=0) हर वास्तविक (a) के लिए सही नहीं है इसलिए स्वतः नहीं है। चरण 3: सममित होना अकेले तुल्यता के लिए पर्याप्त नहीं है।
For symmetry, the reverse ((2,1)) of ((1,2)) must be added.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) is its own reverse, so no extra pair is needed for it.
Step 3
Exam Tip
For the smallest relation add only compulsory pairs. चरण 1: सममितता के लिए ((1,2)) का उलटा ((2,1)) जोड़ना होगा। चरण 2: ((3,3)) अपने उलटे के समान है इसलिए अलग युग्म नहीं चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा संबंध बनाते समय केवल जरूरी युग्म जोड़ें।
Therefore only ((2,2)) and ((3,3)) must be added. चरण 1: स्वतः संबंध के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: दिए संबंध में ((1,1)) पहले से है। चरण 3: इसलिए केवल ((2,2)) और ((3,3)) जोड़ने होंगे।
Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Hence the minimum pair to add is ((1,3)). चरण 1: संचारीता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दिए संबंध में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: इसलिए न्यूनतम जोड़ने वाला युग्म ((1,3)) है।
In ((1,2)) and ((2,1)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs often create a need for a diagonal pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) में बीच का अवयव (2) समान है। चरण 2: संचारीता के लिए ((1,1)) होना चाहिए। चरण 3: उलटे युग्मों से अक्सर विकर्ण युग्म की जरूरत बनती है।
In a transitive extension, also check requirements created by newly added pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। चरण 3: संचारी विस्तार में नए बने युग्मों से आगे की जरूरत भी देखें।
In the inverse relation, the components of every pair are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the range of the original relation becomes the domain of the inverse.
Step 3
Exam Tip
Remember that domain and range interchange in the inverse. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के घटक उलट जाते हैं। चरण 2: इसलिए मूल संबंध का परिसर विलोम संबंध का प्रांत बनता है। चरण 3: विलोम में प्रांत और परिसर की अदला बदली याद रखें।
An equivalence relation needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
Here reflexivity is missing, so the condition is not satisfied.
Step 3
Exam Tip
Two properties are not enough; all three must be confirmed. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए स्वतः, सममित और संचारी तीनों गुण चाहिए। चरण 2: यहाँ स्वतः गुण नहीं है इसलिए शर्त पूरी नहीं होती। चरण 3: दो गुण पर्याप्त नहीं होते, तीनों की पुष्टि जरूरी है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity gives ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
In equivalence relations use the given chain to find required pairs. चरण 1: तुल्यता संबंध संचारी होता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से संचारीता द्वारा ((1,3)) मिलेगा। चरण 3: तुल्यता संबंध में दी गई श्रृंखला से नए युग्म निकालें।
In equivalence relations always remember the reverse pair. चरण 1: तुल्यता संबंध सममित होता है। चरण 2: ((4,7)) होने पर सममितता से ((7,4)) भी होगा। चरण 3: तुल्यता संबंध में उलटे युग्म को हमेशा ध्यान में रखें।
Same parity means both numbers are odd or both are even.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is odd, and the odd numbers in ({1,2,3,4}) are (1,3).
Step 3
Exam Tip
In an equivalence class, write the elements of the same group. चरण 1: समान समता का अर्थ है दोनों संख्याएँ या तो विषम हों या दोनों सम हों। चरण 2: (1) विषम है और ({1,2,3,4}) में विषम संख्याएँ (1,3) हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग में उसी समूह के अवयव लिखें।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Elements with the same remainder go into the same class.
Step 3
Exam Tip
Hence (3) equivalence classes are formed. चरण 1: (3) से भाग देने पर संभव शेषफल (0,1,2) हैं। चरण 2: समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में जाते हैं। चरण 3: इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे।
Elements with the same remainder belong to the same equivalence class. चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। चरण 2: (5) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। चरण 3: समान शेषफल वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में रहते हैं।
Elements placed in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are in the same block ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,2)) must be in the relation. चरण 1: एक ही भाग में रखे अवयव आपस में संबंधित होते हैं। चरण 2: (1) और (2) एक ही भाग ({1,2}) में हैं। चरण 3: इसलिए ((1,2)) संबंध में अवश्य होगा।
In an equivalence relation formed by a partition, only elements in the same block are related.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are in different blocks.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,2)) will not be in the relation. चरण 1: विभाजन से बने तुल्यता संबंध में केवल एक ही भाग के अवयव संबंधित होते हैं। चरण 2: (1) और (2) अलग अलग भागों में हैं। चरण 3: इसलिए ((1,2)) संबंध में नहीं होगा।
Equivalence relations correspond to partitions of a set.
Step 2
Why this answer is correct
For two elements, the partitions are both separate or both together.
Step 3
Exam Tip
Hence there are (2) equivalence relations. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय के विभाजनों से जुड़े होते हैं। चरण 2: दो अवयवों के विभाजन हैं, दोनों अलग अलग या दोनों साथ। चरण 3: इसलिए कुल (2) तुल्यता संबंध बनते हैं।
The number of equivalence relations equals the number of partitions.
Step 2
Why this answer is correct
For three elements, there are (5) possible partitions.
Step 3
Exam Tip
Therefore there are (5) equivalence relations. चरण 1: तुल्यता संबंधों की संख्या विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। चरण 2: तीन अवयवों के लिए विभाजन के (5) रूप बनते हैं। चरण 3: इसलिए कुल (5) तुल्यता संबंध होंगे।
A. यह सममित और संचारी है पर स्वतः नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
The empty relation has no pair, so there is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
But on a non-empty set, diagonal pairs are needed for reflexivity and they are absent.
Step 3
Exam Tip
Hence it is not reflexive. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता इसलिए सममितता और संचारीता को तोड़ने वाला युग्म भी नहीं होता। चरण 2: लेकिन गैर रिक्त समुच्चय पर विकर्ण युग्म चाहिए जो अनुपस्थित हैं। चरण 3: इसलिए यह स्वतः नहीं है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The universal relation contains all possible pairs, so it contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Every reverse pair and every pair required for transitivity is also present.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is an equivalence relation. चरण 1: सर्वसम संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं इसलिए सभी विकर्ण युग्म भी होते हैं। चरण 2: हर युग्म का उलटा और संचारीता के लिए जरूरी युग्म भी मौजूद होता है। चरण 3: इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
In a reflexive relation, ((a,a)) is present for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus every element appears as both first and second component.
Step 3
Exam Tip
Therefore both domain and range are (A). चरण 1: स्वतः संबंध में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होता है। चरण 2: इससे हर अवयव पहले घटक और दूसरे घटक दोनों रूप में आता है। चरण 3: इसलिए प्रांत और परिसर दोनों (A) होंगे।
A. प्रांत और परिसर समान होंगे/Domain and range will be equal
Step 1
Concept
In a symmetric relation, ((a,b)) comes with ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Any element appearing as a first component also appears as a second component.
Step 3
Exam Tip
Hence domain and range are equal. चरण 1: सममित संबंध में ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। चरण 2: जो अवयव पहले घटक में आता है वह दूसरे घटक में भी आ जाता है। चरण 3: इसलिए प्रांत और परिसर समान होते हैं।
In transitivity check the third pair whenever the middle element matches. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संचारीता के लिए ((1,3)) होना चाहिए पर यह अनुपस्थित है। चरण 3: संचारीता में बीच वाला अवयव समान होने पर तीसरा युग्म अवश्य जाँचें।
A. स्वतः और संचारी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present, so transitivity is safe.
Step 3
Exam Tip
The reverse ((2,1)) of ((1,2)) is absent, so it is not symmetric. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी मौजूद है इसलिए संचारीता सुरक्षित है। चरण 3: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है इसलिए सममित नहीं।
The relation is reflexive and the given non-diagonal pairs have their reverses.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) by transitivity.
Step 3
Exam Tip
This pair is missing, so it is not an equivalence relation. चरण 1: संबंध स्वतः है और दिए गए गैर विकर्ण युग्म अपने उलटे के साथ हैं। चरण 2: लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) से संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: यह युग्म नहीं है इसलिए तुल्यता संबंध नहीं बनता।
Reversing any pair still gives a pair in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the inverse of the universal relation is the universal relation itself. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं। चरण 2: किसी भी युग्म को उलटने पर वह फिर \(A\times A\) में ही रहता है। चरण 3: इसलिए सर्वसम संबंध का विलोम वही सर्वसम संबंध होता है।
Therefore the inverse relation also remains reflexive. चरण 1: स्वतः संबंध में हर ((a,a)) मौजूद होता है। चरण 2: ((a,a)) को उलटने पर फिर ((a,a)) ही मिलता है। चरण 3: इसलिए विलोम संबंध भी स्वतः रहेगा।
In a symmetric relation, the reverse of every pair is already in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Taking the inverse gives the same set of pairs back.
Step 3
Exam Tip
A simple identity for a symmetric relation is \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उलटा पहले से संबंध में होता है। चरण 2: विलोम लेने पर वही युग्मों का समूह वापस मिलता है। चरण 3: सममित संबंध की सरल पहचान \(R^{-1}=R\) है।
In ((1,3)) and ((3,3)), the middle element (3) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, the required pair can sometimes be an already existing pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,3)) में बीच का अवयव (3) समान है। चरण 2: संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए जो पहले से मौजूद है। चरण 3: संचारीता में जरूरी युग्म कभी वही युग्म भी हो सकता है।
(1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore the classes are ({1,2}) and ({3}). चरण 1: (1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। चरण 2: (3) केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं।
In the same-parity relation, both numbers must have the same parity.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,4)) is not in the relation. चरण 1: (1) विषम है और (4) सम है। चरण 2: समान समता वाले संबंध में दोनों संख्याओं की समता समान होनी चाहिए। चरण 3: इसलिए ((1,4)) संबंध में नहीं होगा।
In the given relation, both elements must have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (4) are both even, so ((2,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In parity relations pair even with even and odd with odd. चरण 1: दिए संबंध में दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए। चरण 2: (2) और (4) दोनों सम हैं इसलिए ((2,4)) संबंध में है। चरण 3: समता संबंध में सम के साथ सम और विषम के साथ विषम रखें।
Removing repetition gives the domain ({1,2}). चरण 1: प्रांत पहले घटकों से बनता है। चरण 2: दिए युग्मों के पहले घटक (1,2,1,2) हैं। चरण 3: दोहराव हटाकर प्रांत ({1,2}) होगा।
Reflexivity is checked for every element of the base set (A).
Step 2
Why this answer is correct
(3) is in (A), but ((3,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Do not decide reflexivity only from the domain; check the whole base set. चरण 1: स्वतः संबंध की जाँच आधार समुच्चय (A) के हर अवयव पर होती है। चरण 2: (3) (A) में है पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: केवल प्रांत देखकर स्वतः गुण तय न करें, पूरा आधार समुच्चय देखें।
The diagonal pairs common to both remain in the intersection.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cap S\) is reflexive. चरण 1: (R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो विकर्ण युग्म दोनों में हैं वे प्रतिच्छेद में भी रहेंगे। चरण 3: इसलिए \(R\cap S\) स्वतः संबंध होगा।
If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
Hence the union of symmetric relations remains symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। चरण 3: इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है।
A. यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं/It need not always be transitive
Step 1
Concept
Pairs coming from different relations can form a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
The third pair required for that new chain may not be present in the union.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union of transitive relations is not always transitive. चरण 1: अलग अलग संबंधों से आए युग्म मिलकर नई श्रृंखला बना सकते हैं। चरण 2: उस नई श्रृंखला के लिए जरूरी तीसरा युग्म सम्मिलन में न भी हो सकता है। चरण 3: इसलिए संचारी संबंधों का सम्मिलन हमेशा संचारी नहीं माना जाता।
