A. यह स्वसम और संक्रमणीय है/It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) or ((1,3)) does not create any missing linked conclusion.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs are absent, so it is not symmetric, but it can be transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: ((1,2)) या ((1,3)) से कोई ऐसा नया जुड़ा युग्म नहीं बनता जो गायब हो। चरण 3: उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए यह सममित नहीं, पर संक्रमणीय हो सकता है।
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not antisymmetric
Step 1
Concept
\(|a|\le |a|\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then \(|a|\le |c|\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
(1) and (-1) are different but can be related both ways, so antisymmetry fails. चरण 1: \(|a|\le |a|\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो \(|a|\le |c|\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: (1) और (-1) अलग हैं, फिर भी दोनों दिशाओं में संबंध हो सकता है, इसलिए विरोधी सममितता नहीं है।
Every number is a multiple of itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).
Step 3
Exam Tip
The multiple relation is generally not symmetric, for example (6) is a multiple of (3), but (3) is not a multiple of (6). चरण 1: हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a), (b) का गुणज और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का गुणज होगा। चरण 3: गुणज संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता, जैसे (6), (3) का गुणज है पर (3), (6) का नहीं।
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity is satisfied here.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) lacks ((2,1)), so it is not symmetric. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है, इसलिए मुख्य संक्रमणीय शर्त पूरी है। चरण 3: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है।
A. यह स्वसम और संक्रमणीय है/It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
\(a\le a\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not treat \(\le\) as symmetric, because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false. चरण 1: \(a\le a\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: \(\le\) को सममित न मानें, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/reflexive and transitive
Step 1
Concept
Since ((1,1)) and ((2,2)) are present, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) does not create a missing transitivity requirement.
Step 3
Exam Tip
But ((2,1)) is absent, so it is not symmetric. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) होने से संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) से कोई ऐसी कमी नहीं बनती जो संक्रामकता तोड़े। चरण 3: पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है।
A. यह प्रतिवर्ती और संक्रामी है पर सममित नहीं/it is reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\le3\) is true but \(3\le2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: \(a\le a\), इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(2\le3\) सही है पर \(3\le2\) गलत, इसलिए सममित नहीं है।
Combining both inclusions gives \(R\circ R=R\). चरण 1: प्रतिवर्तिता से \(R\subseteq R\circ R\) मिलता है। चरण 2: संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। चरण 3: दोनों समावेशन मिलाकर \(R\circ R=R\) होता है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le 2^2\) is true but \(2^2\le 1^2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: \(a^2\le a^2\) से प्रतिवर्तिता मिलती है। चरण 2: यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(1^2\le 2^2\) सही है पर \(2^2\le 1^2\) गलत, इसलिए सममित नहीं।
A. स्वतः और संचारी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present, so transitivity is safe.
Step 3
Exam Tip
The reverse ((2,1)) of ((1,2)) is absent, so it is not symmetric. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी मौजूद है इसलिए संचारीता सुरक्षित है। चरण 3: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है इसलिए सममित नहीं।
A. स्वतः और संचारी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every natural number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर प्राकृतिक संख्या अपने आप को भाग देती है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) तो \(a\mid c\) होता है इसलिए संचारी है। चरण 3: \(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) गलत है इसलिए सममित नहीं।
A. यह स्वतः और संचारी है पर सममित नहीं/It is reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\) is true, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1\le2\) is true but \(2\le1\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है इसलिए संचारी है। चरण 3: \(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) गलत है इसलिए सममित नहीं।
