Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) स्वयं उल्टा है। / The first option has both ((1,2)) and ((2,1)), and ((3,3)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी भी असमान युग्म का उल्टा न मिले तो सममितता टूट जाती है। / If the reverse of a non-diagonal pair is missing, symmetry fails.
(R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वह भाग पूरा है। / (R) contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, इसलिए संघ में भी हर उल्टा युग्म मौजूद रहेगा। / (S) contains both ((2,3)) and ((3,2)), so the union keeps all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ सममित रहता है। / The union of symmetric relations remains symmetric.
((4,1)) संबंध में है क्योंकि \(4+2\cdot1=6\)। / ((4,1)) is in the relation because \(4+2\cdot1=6\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1+2\cdot4=9\)। / The reverse ((1,4)) is not in the relation because \(1+2\cdot4=9\).
Step 3
Exam Tip
जब (a) और (b) के गुणांक अलग हों, तो उल्टा करने पर शर्त अक्सर बदल जाती है। / When coefficients of (a) and (b) differ, reversal often changes the condition.
यदि \(a+b\le6\), तो \(b+a\le6\) भी होगा। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included.
Step 3
Exam Tip
योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है। / Even inequality conditions based on a sum can be symmetric.
सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। / All (4) diagonal pairs are fixed as absent.
Step 2
Why this answer is correct
केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है। / Each of these (6) blocks can be included or excluded.
तीन तत्वों पर कुल (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। / On a (3)-element set, there are (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने से ((2,1)) भी निश्चित हो गया, और ((2,3)) न होने से ((3,2)) भी नहीं होगा; ये दो स्वतंत्र चुनाव निश्चित हो गए। / Including ((1,2)) forces ((2,1)), and excluding ((2,3)) also excludes ((3,2)); two independent choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
अब (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Thus (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
A. क्योंकि \((2,1)\in R\) है पर \((1,2)\notin R\)/Because \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2=2\cdot1\)। / ((2,1)) is in the relation because \(2=2\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1\ne2\cdot2\)। / The reverse ((1,2)) is not in the relation because \(1\ne2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणक संबंधों में उल्टा करने पर अनुपात बदल जाता है, इसलिए प्रतिवाद देखें। / In multiplier relations, reversing changes the ratio, so look for a counterexample.
यदि \(a^2+b^2=17\), तो \(b^2+a^2=17\) भी होगा। / If \(a^2+b^2=17\), then \(b^2+a^2=17\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के योग जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं क्योंकि उनमें क्रम का प्रभाव नहीं होता। / Conditions involving sums of squares are often symmetric because order does not matter.
\(R^{-1}\) में सभी युग्म उल्टे रूप में होते हैं। / \(R^{-1}\) contains the reverse of all pairs of (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(R=R^{-1}\), तो हर युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है। यही सममितता है। / If \(R=R^{-1}\), then every pair has its reverse in the same relation, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) को सममितता की वैकल्पिक पहचान मानें। / Treat \(R=R^{-1}\) as an alternative test for symmetry.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र होते हैं। / There are (n) independent diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण युग्म ((a,b)) और ((b,a)) एक साथ चुने जाते हैं, ऐसे (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े होते हैं। / Off-diagonal pairs ((a,b)) and ((b,a)) are chosen together, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)) होता है। / (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि किसी युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (6) है, तो उल्टे युग्म का भी (6) होगा। / Therefore, if a pair has least common multiple (6), its reverse also has least common multiple (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Both LCM and GCD remain unchanged when the order is swapped.
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)) होता है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि ((a,b)) में महत्तम समापवर्तक (2) है, तो ((b,a)) में भी वही रहेगा। / So if the greatest common divisor of ((a,b)) is (2), the same is true for ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
जिन राशियों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, वे अक्सर सममित संबंध बनाती हैं। / Quantities unchanged by swapping often define symmetric relations.
गैर-विकर्ण युग्मों के उल्टे युग्म जाँचिए। / Check the reverse of each off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) मौजूद हैं। ((2,2)) अपना उल्टा स्वयं है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)). ((2,2)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध के सममित होने के लिए सभी ((a,a)) युग्म जरूरी नहीं होते। / A symmetric relation need not contain every ((a,a)) pair.
A. क्योंकि हर संभव उल्टा युग्म भी \(A\times A\) में होता है/Because every possible reverse pair is also in \(A\times A\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) उसमें है, तो \(a,b \in A\) हैं, इसलिए ((b,a)) भी \(A\times A\) में होगा। / If ((a,b)) is in it, then \(a,b \in A\), so ((b,a)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है। / The universal relation is always symmetric.
सममितता की शर्त केवल उन युग्मों पर लागू होती है जो संबंध में मौजूद हों। / The symmetry condition applies only to pairs that are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला कोई युग्म नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no pair violates the condition.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is symmetric by vacuous truth.
