Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every ordered pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि हर मौजूद युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है, इसलिए उल्टा संबंध वही बनता है। / Symmetry means every reverse pair is already in (R), so the inverse relation equals (R).
Step 3
Exam Tip
सममितता को \(R=R^{-1}\) के रूप में याद करना बहुत उपयोगी है। / Remember symmetry as \(R=R^{-1}\).
यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। / If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
A. \(R \cap S\) सममित होगा/\(R \cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R \cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / If \((a,b) \in R \cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, यानी \((b,a) \in R \cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) is in both, so \((b,a) \in R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ-साथ बची रहती हैं। / Intersection preserves the reverse-pair condition.
((2,1)) संबंध में है क्योंकि (2-1=1)। / ((2,1)) is in the relation because (2-1=1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-2=-1)। / Its reverse ((1,2)) is not in the relation because (1-2=-1).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध में उल्टा करने पर चिन्ह बदल जाता है, इसलिए सावधानी रखें। / For fixed-difference relations, reversing changes the sign, so be careful.
(ab=0) होने पर (ba=0) भी होगा। / If (ab=0), then (ba=0) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी रहेगा। / Multiplication is commutative, so the reversed pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
गुणा या जोड़ की क्रम-विनिमेयता सममितता जाँचने में बहुत उपयोगी होती है। / Commutativity of addition or multiplication is very useful in checking symmetry.
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। / There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
(n) तत्वों पर स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / For an (n)-element set, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) मिलता है। / With (n=5), this becomes \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
अंतिम संख्या \(2^{15}\) होगी, क्योंकि हर स्वतंत्र स्थान चुना या छोड़ा जा सकता है। / The total number is \(2^{15}\), as each independent position can be chosen or omitted.
सममित संबंध की परिभाषा सीधे कहती है कि ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होगा। / The definition of a symmetric relation says that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((4,7)) दिया है, इसलिए ((7,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,7)) is given, ((7,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप नहीं मिलते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le2\)। / ((1,2)) is in the relation because \(1\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le1\) असत्य है। / Its reverse ((2,1)) is not in the relation because \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
सममित न होने के लिए मौजूद युग्म और उसके गायब उल्टे युग्म को दिखाना सबसे साफ तरीका है। / To disprove symmetry, show a present pair whose reverse is absent.
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। / For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\) भी सत्य है/Because \(a^2=b^2\) implies \(b^2=a^2\)
Step 1
Concept
सममितता में बराबरी की दिशा पलटने पर सत्यता बनी रहती है। / In symmetry, an equality remains true when the two sides are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर स्पष्ट रूप से \(b^2=a^2\) भी होगा, इसलिए उल्टा युग्म संबंध में है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reversed pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित संबंधों में बराबरी का उल्टा रूप ध्यान से लिखें। / For equality-based relations, write the reversed equality carefully.
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने पर योग वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / Since addition is commutative, the reversed pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में क्रम बदलकर तुरंत जाँच करें। / For sum-based conditions, reverse the order and check immediately.
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on an (n)-element set is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र स्थानों की संख्या \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) है। / Here (n=4), so the number of independent positions is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
संख्या पूछे जाने पर सूत्र में (n) सावधानी से रखें। / For counting questions, substitute (n) carefully.
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
(3) गैर-विकर्ण जोड़े हैं और हर जोड़े को साथ-साथ चुनना या छोड़ना होगा, इसलिए कुल स्वतंत्र निर्णय (3+3=6) हैं। / There are (3) unordered off-diagonal pairs, and each pair must be selected together or omitted together, giving (3+3=6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=|-(a-b)|=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। / So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें। / Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal.
B. नहीं, क्योंकि (a>b) से (b>a) नहीं होता/No, because (a>b) does not imply (b>a)
Step 1
Concept
(a-b>0) का अर्थ है (a>b)। / (a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) है, तो सामान्यतः (b>a) नहीं हो सकता, इसलिए उल्टा युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / If (a>b), then generally (b>a) is false, so the reversed pair does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
असमिका वाले संबंधों में उल्टी दिशा अक्सर गलत हो जाती है। / In inequality-based relations, the reverse direction often fails.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। / Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं। / For such questions, reverse the condition and check whether it remains true.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair.
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) हो/For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध उल्टे युग्म की शर्त पर आधारित होता है। / A symmetric relation is based on the reverse-pair condition.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प में ठीक यही दिया है कि ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। / The option states exactly that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
परिभाषाओं को मिलाएँ नहीं; परावर्ती, सममित और संक्रामी तीनों अलग गुण हैं। / Do not mix definitions; reflexive, symmetric, and transitive are separate properties.
\(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) का स्थान बदलने पर \(b^2+a^2=1\) मिलता है। / Reversing (a) and (b) changes \(a^2+b^2=1\) to \(b^2+a^2=1\).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ की अदला-बदली प्रकृति से यह वही शर्त रहती है। / By commutativity of addition, this is the same condition.
Step 3
Exam Tip
ऐसी सममित बीजीय शर्तों में क्रम बदलने पर समीकरण जाँचें। / For algebraic conditions, check whether the equation remains unchanged after swapping variables.
A. यह हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
संघ और प्रतिच्छेद में सममितता सुरक्षित रहती है, लेकिन संयोजन में हमेशा नहीं। / Symmetry is preserved under union and intersection, but not always under composition.
Step 2
Why this answer is correct
दो सममित संबंधों का क्रमित संयोजन उल्टे युग्मों को जरूरी रूप से सुरक्षित नहीं रखता। / The ordered composition of two symmetric relations need not preserve all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्न में छोटा प्रतिउदाहरण बनाकर जाँच करना बेहतर है। / For composition questions, testing with a small counterexample is often best.
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं निकलता/No definite conclusion follows
Step 1
Concept
सममितता केवल मौजूद युग्मों के बारे में बात करती है। / Symmetry talks only about pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
किसी युग्म के न होने से उसके उल्टे के बारे में हमेशा निश्चित बात नहीं कही जा सकती। / If a pair is absent, we cannot always conclude anything definite about its reverse.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में शर्त को उल्टा करके गलत निष्कर्ष न निकालें। / In exams, avoid reversing the implication incorrectly.
