Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर पूर्णांक अपने आप के तुल्य होता है क्योंकि (a-a=0) है। / Every integer is congruent to itself because (a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल होने की बात क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सही रहती है। / Having the same remainder is preserved when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
मापांक पर समान शेषफल वाले संबंध समतुल्यता संबंध के अच्छे उदाहरण हैं। / Same-remainder modulo relations are standard examples of equivalence relations.
\(a\equiv b \pmod{6}\) का अर्थ है (a-b) संख्या (6) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{6}\) means (a-b) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (6) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (6), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के हर ऐसे संबंध में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता सिद्ध करें। / For congruence relations, prove transitivity by adding differences.
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें। / In congruence questions, remember the sum of differences.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। / Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है। / Adding differences is the key idea in congruence.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले संबंध सामान्यतः संक्रमण होते हैं। / Congruence relations are generally transitive.
A. क्योंकि \(a \equiv b \pmod{5}\) और \(b \equiv c \pmod{5}\) से \(a \equiv c \pmod{5}\)/Because \(a \equiv b \pmod{5}\) and \(b \equiv c \pmod{5}\) imply \(a \equiv c \pmod{5}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है कि दो संख्याओं का अंतर (5) से विभाज्य है। / Same remainder means the difference of two numbers is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले प्रश्नों में अंतर का विचार करें। / For congruence relations, think in terms of differences.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, तो (a) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समानता वाले संबंधों में संक्रामकता अक्सर मिलती है। / Congruence-type relations are usually transitive.
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। / The condition is \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order.
\(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान अवशेष देते हैं। / \(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Then \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) also holds.
Step 3
Exam Tip
मापांक में समानता वाली शर्तें उलटने पर भी बनी रहती हैं। / Congruence equality conditions remain valid after reversing the pair.
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है/Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। / Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता। / Swapping the order does not break congruence.
यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। / If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। / The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं। / Congruence rules are good examples of symmetry.
A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)/For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं। / Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs.
परावर्ती जाँच के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a \equiv a+1 \pmod{2}\) बनेगी, जिसका अर्थ है \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), यह असत्य है। / The condition becomes \(a \equiv a+1 \pmod{2}\), which means \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), false.
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्त में स्वयं से संबंध अक्सर नहीं बनता। / Such shifted congruence conditions often fail for self-pairs.
