If (a-b) and (b-c) are both divisible by (6), then their sum (a-c) is also divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Adding differences is the most useful method here. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (6) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (6) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतरों का योग सबसे उपयोगी तरीका है।
Test one pair for symmetry. ((2,1)) belongs because \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse ((1,2)) would require \(1\equiv 4 \pmod{5}\), which is false.
Step 3
Exam Tip
Modular relations with a multiplier do not always survive reversal. चरण 1: सममितता जाँचने के लिए एक युग्म लें। ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\)। चरण 2: उल्टा ((1,2)) जाँचने पर \(1\equiv 4 \pmod{5}\) असत्य है। चरण 3: गुणक वाले शेषफल संबंधों में उल्टा क्रम हमेशा वही नियम पूरा नहीं करता।
A. नहीं, क्योंकि उलटने पर \(b-a\equiv 3 \pmod{4}\) हो सकता है/No, because after reversing, \(b-a\equiv 3 \pmod{4}\) may occur
Step 1
Concept
If \(a-b\equiv 1 \pmod{4}\), then \(b-a\equiv -1 \pmod{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(-1\equiv 3 \pmod{4}\), the reversed pair need not satisfy the original condition.
Step 3
Exam Tip
For subtraction-based congruence, check the sign carefully. चरण 1: यदि \(a-b\equiv 1 \pmod{4}\), तो \(b-a\equiv -1 \pmod{4}\)। चरण 2: \(-1\equiv 3 \pmod{4}\), जो (1) के बराबर नहीं है। चरण 3: घटाव वाली सर्वांगसमता में उल्टी दिशा हमेशा वही शर्त नहीं देती।
Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order. चरण 1: शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। चरण 2: क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। चरण 3: जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती।
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility conditions often remain symmetric after changing the sign. चरण 1: यदि (a-b) दो से विभाज्य है तो (b-a=-(a-b)) भी दो से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: विभाज्यता में ऋण चिह्न से सममितता नहीं टूटती।
\(a\equiv -b \pmod{5}\) means \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reversing the order gives \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\), the same condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair also belongs, so the relation is symmetric. चरण 1: \(a\equiv -b \pmod{5}\) का अर्थ \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\) है। चरण 2: यह शर्त क्रम बदलने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\) बनती है, जो वही है। चरण 3: इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा और संबंध सममित है।
A. हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है/\(a\equiv a \pmod{2}\) is true for every (a)
Step 1
Concept
For reflexivity, compare any element with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Since (a-a=0), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
In congruence relations, remember that an element is congruent to itself. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए किसी भी सदस्य की तुलना उसी सदस्य से करें। चरण 2: (a-a=0), इसलिए \(a\equiv a \pmod{2}\) हर (a) के लिए सत्य है। चरण 3: समशेषता वाले सम्बन्धों में अपने-आप समशेष होना याद रखें।
In this set, (a-b) being divisible by (4) occurs only for equal elements.
Step 2
Why this answer is correct
So (S) acts like the identity relation, and all its (4) self-pairs also lie in (R).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cap S\) contains (4) pairs. चरण 1: (S) में (a-b) का (4) से विभाज्य होना इस समुच्चय में केवल समान तत्वों के लिए संभव है। चरण 2: इसलिए (S) पहचान संबंध जैसा है और उसके सभी (4) स्वयुग्म (R) में भी होंगे। चरण 3: अतः \(R\cap S\) में (4) युग्म होंगे।
Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4+4=12). चरण 1: तुल्यता वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। चरण 2: हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे।
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं/It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation. चरण 1: दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। चरण 2: (2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। चरण 3: इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) is divisible by (7), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (7), then (b-a) is also divisible by (7), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two differences divisible by (7) is also divisible by (7), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0) (7) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि (a-b) (7) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (7) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो (7) से विभाज्य अंतरों का योग भी (7) से विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता है।
\(a\equiv 0 \pmod{4}\) means (a) leaves remainder (0) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
Such integers are all multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
An equivalence class contains all elements with the same remainder. चरण 1: \(a\equiv 0 \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) हो। चरण 2: ऐसे पूर्णांक (4) के सभी गुणज होते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग हमेशा समान शेषफल वाले सभी तत्वों को रखता है।
(a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two such differences is also divisible by (5), so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। चरण 3: दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होगा, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
For every integer, \(a \equiv a \pmod{3}\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a \equiv b \pmod{3}\), then \(b \equiv a \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Having the same remainder is transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर पूर्णांक के लिए \(a \equiv a \pmod{3}\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) तो \(b \equiv a \pmod{3}\), इसलिए सममित है। चरण 3: समान शेषफल का संबंध संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
\(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) gives \(a\equiv b \pmod{7}\), so reversing the order also works.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: (3a+4a=7a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: \(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) से \(a\equiv b \pmod{7}\) मिलता है, इसलिए दिशा बदलने पर भी शर्त रहती है। चरण 3: समान शेषफल का संबंध संक्रामी होता है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
For reflexivity, (a+2a=3a) must be divisible by (4) for every integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), this gives (3), which is not divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to show that reflexivity fails. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (a+2a=3a) हर पूर्णांक (a) पर (4) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (a=1) लेने पर (3) मिलता है, जो (4) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण प्रतिवर्तिता को असफल दिखाने के लिए पर्याप्त है।
(2a+3a=5a) is always divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) also gives \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
The condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{5}\), so it is also transitive. चरण 1: (2a+3a=5a) हमेशा (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: \(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) से \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\) भी मिलता है। चरण 3: यह शर्त \(a\equiv b \pmod{5}\) के बराबर है, इसलिए संक्रामी भी है।
This condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{3}\), so transitivity also holds and no property fails. चरण 1: (a+2a=3a) हमेशा (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: \(a+2b\equiv 0 \pmod{3}\) से \(b+2a\equiv 0 \pmod{3}\) भी मिलता है। चरण 3: यदि \(a\equiv b\) और \(b\equiv c \pmod{3}\), तो \(a\equiv c \pmod{3}\), इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
