पारिस्थितिक क्षतिपूर्ति में समतुल्यता सिद्ध करना कठिन क्यों है?
Why is proving equivalence difficult in ecological offsetting?
#ecological offset
#equivalence
#habitat
#cultural value
A भिन्न स्थानों के आवास प्रजातियाँ और सांस्कृतिक मूल्य पूर्णतः समान नहीं होते / Habitats species and cultural values at different places are not fully identical
B सभी पारिस्थितिकी तंत्र एक जैसे होते हैं / All ecosystems are identical
C क्षतिपूर्ति में समय का कोई प्रभाव नहीं होता / Time has no effect in offsetting
D नई भूमि तुरंत परिपक्व तंत्र बन जाती है / New land instantly becomes a mature ecosystem
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Correct Answer
A. भिन्न स्थानों के आवास प्रजातियाँ और सांस्कृतिक मूल्य पूर्णतः समान नहीं होते / Habitats species and cultural values at different places are not fully identical
Explanation
Simple Explanation
क्षतिपूर्ति स्थल मूल तंत्र के कार्य और स्थानीय अर्थ को पूरी तरह दोहरा नहीं सकता। समय अंतराल भी महत्त्वपूर्ण है। / An offset site may not fully reproduce the functions and local meaning of the original system. Time lags also matter.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(\sin x=\sin y\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(\sin x=\sin y\). What type of relation is this?
#trigonometric function
#equality
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\sin x=\sin x\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin x=\sin x\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sin x=\sin y\), तो \(\sin y=\sin x\), इसलिए सममिति है। / If \(\sin x=\sin y\), then \(\sin y=\sin x\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से यह संबंध तुल्यता संबंध बनता है। / Transitivity of equality makes this an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों एक ही अंतराल ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}) में हों। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if (a) and (b) lie in the same block among ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}). How many pairs are in the relation?
#partition
#counting pairs
#equivalence
A (8)
B (18)
C (22)
D (64)
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Step 1
Concept
दिए गए खंड ही तुल्यता वर्ग हैं। / The given blocks are the equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
आकार (2,3,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\) होंगे। / Their sizes are (2,3,3), so the pair count is \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\).
Step 3
Exam Tip
कुल (22) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (22).
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अंकों का योग समान हो। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same sum of digits. What type of relation is this?
#digit sum
#natural numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल स्वतुल्य / Only reflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या के अंकों का योग अपने बराबर ही होता है। / Every number has the same digit sum as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान अंकीय योग की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of digit sums remains true in reverse order.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं का अंकीय योग तीसरी के समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा। / If two numbers have the same digit sum as a third, then they have the same digit sum as each other.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के दो वर्ग ([a]) और ([b]) अलग-अलग हैं, तो उनके प्रतिच्छेद के बारे में सही कथन क्या है?
If two equivalence classes ([a]) and ([b]) of an equivalence relation are distinct, what is true about their intersection?
#disjoint classes
#partition
#equivalence
A \([a]\cap[b]=[a]\)
B \([a]\cap[b]=[b]\)
C \([a]\cap[b]=\varnothing\)
D \([a]\cap[b]=A\)
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Correct Answer
C. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। / Distinct blocks have no common element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Therefore the intersection of distinct classes is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर एक तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2,3,4}) ही हैं। संबंध कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), an equivalence relation has the single class ({1,2,3,4}). Which relation is it?
#single class
#universal relation
#equivalence
A केवल समानता संबंध / Only the equality relation
B सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) / Universal relation \(A\times A\)
C रिक्त संबंध / Empty relation
D केवल ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}) / Only ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
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Correct Answer
B. सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) / Universal relation \(A\times A\)
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि हर अवयव हर दूसरे अवयव से संबंधित है। / A single equivalence class means every element is related to every other element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी संभव क्रमित युग्म संबंध में होंगे। / Therefore all possible ordered pairs are present.
Step 3
Exam Tip
यह ठीक \(A\times A\) यानी सार्वत्रिक संबंध है। / This is exactly \(A\times A\), the universal relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (xRy) तभी जब \(x^3=y^3\)। इस संबंध का सही निष्कर्ष क्या है?
On real numbers, (xRy) if \(x^3=y^3\). What is the correct conclusion about this relation?
#cubic function
#real numbers
#equivalence
A यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation like equality
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। / For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। / So the relation behaves like equality.
Step 3
Exam Tip
समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (x-y=0)। यह संबंध कौन सा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (x-y=0). Which relation is this?
#equality relation
#real numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C केवल संक्रामक संबंध / Only transitive relation
D तुल्यता संबंध नहीं / Not an equivalence relation
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध और समानता संबंध / Equivalence relation and equality relation
Step 1
Concept
(x-y=0) का अर्थ (x=y) है। / (x-y=0) means (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है। / The equality relation is the most basic example of an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है। (R) तुल्यता संबंध है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). Is (R) an equivalence relation?
#finite relation
#properties
#equivalence
A हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
B नहीं, सममिति नहीं है / No, symmetry fails
C नहीं, स्वतुल्यता नहीं है / No, reflexivity fails
D नहीं, संक्रामकता नहीं है / No, transitivity fails
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Correct Answer
A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
Step 1
Concept
सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। / ((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?
#modulo
#counting ordered pairs
#equivalence
A (9)
B (18)
C (27)
D (81)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर तीन वर्ग बनते हैं और प्रत्येक में (3) अवयव हैं। / Division by (3) gives three classes, each with (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+9+9=27) होंगे। / Total pairs are (9+9+9=27).
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (|x|=|y|)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (|x|=|y|). What type of relation is this?
#absolute value
#real numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|x|=|x|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|x|=|x|), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (|x|=|y|), तो (|y|=|x|), इसलिए सममिति है। / If (|x|=|y|), then (|y|=|x|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता की संक्रामकता से (|x|=|z|) भी मिलेगा। / By transitivity of equality, (|x|=|z|) also follows.
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यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और (aRb) तभी जब (f(a)=f(b)), तो (R) कैसा संबंध है?
If \(f:A\to B\) is a function and (aRb) if (f(a)=f(b)), what type of relation is (R)?
#function
#kernel relation
#equivalence
A हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
B केवल जब (f) एकैकी हो / Only when (f) is one-one
C केवल जब (f) आच्छादी हो / Only when (f) is onto
D कभी तुल्यता संबंध नहीं / Never an equivalence relation
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Correct Answer
A. हमेशा तुल्यता संबंध / Always an equivalence relation
Step 1
Concept
(f(a)=f(a)), इसलिए स्वतुल्यता है। / (f(a)=f(a)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(a)=f(b)), तो (f(b)=f(a)), इसलिए सममिति है। / If (f(a)=f(b)), then (f(b)=f(a)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए संबंध हमेशा तुल्यता संबंध है। / Equality is transitive, so the relation is always an equivalence relation.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
For a non-empty set (A), which statement about the empty relation \(\varnothing\) is correct?
#empty relation
#reflexivity
#equivalence
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
C यह केवल स्वतुल्य है / It is only reflexive
D यह सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
B. यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है / It is not reflexive, so it is not an equivalence relation
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। / For non-empty (A), each ((a,a)) is required for reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / The empty relation has no pair, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध जांचते समय सबसे पहले स्वतुल्यता देखें। / When testing equivalence, check reflexivity first.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
For a non-empty set (A), which statement about the universal relation \(A\times A\) is correct?
#universal relation
#equivalence
#properties
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामकता तीनों अपने आप पूरी होती हैं। / Therefore reflexivity, symmetry, and transitivity all hold automatically.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण मानें। / Treat the universal relation as a basic example of an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (xRy) तभी जब (x-y) परिमेय हो। (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?
On real numbers, (xRy) if (x-y) is rational. Which statement about (R) is correct?
#rational difference
#real numbers
#equivalence
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(x-x=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x-y) परिमेय है तो (y-x) भी परिमेय है। / If (x-y) is rational, then (y-x) is also rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल दें। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder when divided by (2). How many ordered pairs are in the relation?
#parity
#ordered pairs
#equivalence
A (6)
B (12)
C (18)
D (36)
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Step 1
Concept
विषम वर्ग ({1,3,5}) और सम वर्ग ({2,4,6}) बनते हैं। / The odd class is ({1,3,5}) and the even class is ({2,4,6}).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9=18) युग्म होंगे। / Total pairs are (9+9=18).
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) if \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\). What type of relation is this?
#modulo
#squares
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित नहीं / Not symmetric
C स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), तो \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए सममिति है। / If \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), then \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समरूपता की संक्रामकता से तीसरी शर्त भी पूरी होती है। / Congruence is transitive, so the third condition also holds.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो, जहाँ पुनरावृत्ति गिनी जाती है। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same number of prime factors, counted with repetition. What type of relation is this?
#natural numbers
#prime factors
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C केवल संक्रामक / Only transitive
D स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या में अभाज्य गुणनखंडों की संख्या अपने समान होती है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every number has the same count of prime factors as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समानता की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of counts remains true when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं की गिनती तीसरी से समान है, तो पहली और तीसरी की गिनती भी समान है। / If two counts are equal through a third number, then the first and third counts are also equal.
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वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((x,y)\in R\) तभी जब \(x-y\in \mathbb{Z}\)। इस संबंध का सही वर्णन क्या है?
On real numbers, relation (R) is defined by \((x,y)\in R\) if \(x-y\in \mathbb{Z}\). Which description is correct?
#real numbers
#integer difference
#equivalence
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वतुल्य नहीं है / It is not reflexive
D यह केवल सीमित समुच्चय पर सही है / It works only on finite sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(x-x=0\in \mathbb{Z}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(x-x=0\in \mathbb{Z}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x-y\in \mathbb{Z}\), तो \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), इसलिए सममिति है। / If \(x-y\in \mathbb{Z}\), then \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता मिलती है। / The sum of integers is an integer, so transitivity holds.
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संबंध (aRb) तब हो जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। प्राकृतिक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?
For natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same last digit. What type of relation is it?
#last digit
#natural numbers
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्तक नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक जैसा ही है। / Every number has the same last digit as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान अंतिम अंक का संबंध उलटने पर और तीसरी संख्या तक जाने पर भी सही रहता है। / Same last digit is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
समान अंतिम अंक (10) शेषफल वर्गों की तरह सोचें। / Think of last digit as remainder classes modulo (10).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो \([a]\cap[b]\) क्या होगा?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), what is \([a]\cap[b]\)?
#disjoint classes
#intersection
#equivalence
A \(\varnothing\)
B ([a])
C ([b])
D पूरा समुच्चय / The whole set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बराबर होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \([a]\neq[b]\), तो उनमें कोई साझा तत्व नहीं होगा। / If \([a]\neq[b]\), they have no common element.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.
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किसी समुच्चय पर पहचान संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?
What are the equivalence classes of the identity relation on a set?
#identity relation
#singleton class
#equivalence
A हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Each class has exactly one element
B हर वर्ग में सभी तत्व होते हैं / Each class contains all elements
C कोई वर्ग नहीं बनता / No class is formed
D सभी वर्ग खाली होते हैं / All classes are empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Each class has exactly one element
Step 1
Concept
पहचान संबंध में तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, an element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) का वर्ग सिर्फ (a) को रखता है। / Therefore, the class of (a) contains only (a).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में एक-तत्वीय वर्ग बनते हैं। / Identity relation gives singleton equivalence classes.
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तुल्यता संबंध से बने दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement is true about two different equivalence classes formed by an equivalence relation?
#disjoint classes
#partition
#equivalence
A वे असंयुक्त होते हैं / They are disjoint
B वे हमेशा बराबर होते हैं / They are always equal
C उनमें हमेशा एक साझा तत्व होता है / They always have one common element
D वे मूल समुच्चय से बाहर होते हैं / They lie outside the original set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे असंयुक्त होते हैं / They are disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate groups.
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। / Two distinct classes have no common element.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे। / If two classes share even one element, they are the same class.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग {(1,2)} और {(3)} हैं, तो मूल समुच्चय क्या होगा?
If the equivalence classes of an equivalence relation are {(1,2)} and {(3)}, what is the original set?
#partition
#union of classes
#equivalence
A {(1,2,3)}
B {(1,2)}
C {(3)}
D रिक्त समुच्चय / Empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. {(1,2,3)}
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग मिलकर पूरा मूल समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes together cover the original set.
Step 2
Why this answer is correct
{(1,2)} और {(3)} को मिलाने पर {(1,2,3)} मिलता है। / Combining {(1,2)} and {(3)} gives {(1,2,3)}.
Step 3
Exam Tip
वर्गों का संघ ही मूल समुच्चय होता है। / The union of all classes is the original set.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), which pair must be present?
#transitivity
#ordered pairs
#equivalence
A ((1,5))
B ((5,1)) नहीं / Not ((5,1))
C ((1,3))
D ((2,1)) ही केवल / Only ((2,1))
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Correct Answer
A. ((1,5))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,5)) में बीच का तत्व (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,5)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से ((1,5)) मिलना चाहिए। / By transitivity, ((1,5)) must be present.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता लगाते समय पहला और अंतिम तत्व लेकर नया युग्म बनाएँ। / Take the first and last elements to form the transitive pair.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((4,7)\in R\), तो \((7,4)\in R\) किस कारण से होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((4,7)\in R\), why must \((7,4)\in R\)?
#symmetry
#reverse pair
#equivalence
A सममितता के कारण / Because of symmetry
B परावर्तकता के कारण / Because of reflexivity
C संक्रामकता के कारण / Because of transitivity
D रिक्तता के कारण / Because of emptiness
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Correct Answer
A. सममितता के कारण / Because of symmetry
Step 1
Concept
((4,7)) का उलटा युग्म ((7,4)) है। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)).
Step 2
Why this answer is correct
तुल्यता संबंध में सममितता होती है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / An equivalence relation is symmetric, so the reverse pair must be present.
Step 3
Exam Tip
उलटे युग्म के प्रश्न में सममितता याद रखें। / Reverse-pair questions usually use symmetry.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \((a,a)\in R\) किस गुण से मिलता है?
If (R) is an equivalence relation, from which property do we get \((a,a)\in R\)?
#reflexivity
#self pair
#equivalence
A परावर्तकता / Reflexivity
B सममितता / Symmetry
C संक्रामकता / Transitivity
D रिक्तता / Emptiness
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Correct Answer
A. परावर्तकता / Reflexivity
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में परावर्तक गुण अवश्य होता है। / An equivalence relation must be reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
इसी गुण से हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) मिलता है। / Reflexivity gives \((a,a)\in R\) for every (a).
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म दिखाने के लिए परावर्तकता का नाम लिखें। / Use the word reflexivity whenever self-pairs are required.
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किस संबंध को सर्वसम संबंध कहा जाता है?
Which relation is called the universal relation?
#universal relation
#definition
#equivalence
A जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म हों / The relation containing all pairs of \(A\times A\)
B जिसमें केवल ((a,a)) हों / The relation containing only ((a,a)) pairs
C जिसमें कोई युग्म न हो / The relation containing no pairs
D जिसमें केवल एक युग्म हो / The relation containing only one pair
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Correct Answer
A. जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म हों / The relation containing all pairs of \(A\times A\)
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में समुच्चय के हर तत्व का हर तत्व से संबंध होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह \(A\times A\) के बराबर होता है। / Hence it equals \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसम संबंध पर तीनों गुण आसानी से संतुष्ट हो जाते हैं। / The universal relation easily satisfies all three equivalence properties.
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किस संबंध को पहचान संबंध कहा जाता है?
Which relation is called the identity relation?
#identity relation
#definition
#equivalence
A जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हों / The relation containing only pairs of the form ((a,a))
B जिसमें सभी संभव युग्म हों / The relation containing all possible pairs
C जिसमें कोई युग्म न हो / The relation containing no pair
D जिसमें केवल अलग-अलग तत्व जुड़ें / The relation relating only different elements
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Correct Answer
A. जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हों / The relation containing only pairs of the form ((a,a))
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व सिर्फ अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसके युग्म ((a,a)) के रूप में होते हैं। / So its pairs have the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को तुल्यता संबंध का मूल उदाहरण मानें। / The identity relation is a basic example of an equivalence relation.
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यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का रंग समान है, तो वस्तुओं के समुच्चय पर यह संबंध कैसा हो सकता है?
If (aRb) means objects (a) and (b) have the same color, what type of relation can it be on a set of objects?
#same color
#real life example
#equivalence
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B कभी परावर्तक नहीं / Never reflexive
C कभी सममित नहीं / Never symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर वस्तु का रंग अपने रंग जैसा ही होता है। / Every object has the same color as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान रंग का संबंध उलटने पर भी सही रहता है और तीसरी वस्तु तक भी आगे बढ़ता है। / Same color is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
समान पहचान वाले गुण से बने संबंध को तुल्यता संबंध मानने से पहले तीनों गुण मिलाएँ। / A relation based on an identical attribute often gives an equivalence relation.
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