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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is correct about the equivalence classes of (a) and (b)?

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Correct Answer

A. दोनों वर्ग समान होंगेBoth classes will be the same

Step 1

Concept

(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) are in the same group.

Step 2

Why this answer is correct

समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.

Step 3

Exam Tip

यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes share an element, they are the same.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो दो समतुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If (R) is an equivalence relation, which statement about two equivalence classes is correct?

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Correct Answer

A. वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैंThey are either identical or disjoint

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध समुच्चय को साफ भागों में बांटता है। / An equivalence relation divides a set into clear blocks.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो वर्गों में या तो वही तत्व होंगे या कोई साझा तत्व नहीं होगा। / So two classes are either the same or have no common element.

Step 3

Exam Tip

वर्गों के आपसी संबंध को भागों की तरह समझें। / Think of equivalence classes as parts of a partition.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो (a) का समतुल्यता वर्ग सामान्यतः किससे बनता है?

If (R) is an equivalence relation, what generally forms the equivalence class of (a)?

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Correct Answer

A. उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैंElements related to (a)

Step 1

Concept

(a) का समतुल्यता वर्ग उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / The equivalence class of (a) is the set of all elements related to (a).

Step 2

Why this answer is correct

समतुल्यता संबंध में यह वर्ग साफ और अलग भाग बनाता है। / In an equivalence relation, this class forms a clear separate block.

Step 3

Exam Tip

वर्ग पूछे जाने पर पहले संबंध की शर्त समझें। / When asked for a class, first understand the condition of the relation.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी तुल्यता संबंध के दो वर्ग ([a]) और ([b]) अलग-अलग हैं, तो उनके प्रतिच्छेद के बारे में सही कथन क्या है?

If two equivalence classes ([a]) and ([b]) of an equivalence relation are distinct, what is true about their intersection?

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Correct Answer

C. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। / Distinct blocks have no common element.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Therefore the intersection of distinct classes is empty.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) का एक वर्ग ({1,2,5}) है। यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो नीचे दिए गए में कौन सा युग्म (R) में नहीं हो सकता?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), one equivalence class of (R) is ({1,2,5}). If (R) is an equivalence relation, which pair cannot be in (R)?

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Correct Answer

D. ((1,3))

Step 1

Concept

({1,2,5}) के भीतर सभी युग्म संबंध में होंगे। / All pairs inside ({1,2,5}) must be in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ((1,3)) संबंध में हो, तो (3) भी उसी वर्ग में आ जाएगा। / If ((1,3)) were in the relation, then (3) would belong to the same class.

Step 3

Exam Tip

किसी वर्ग के बाहर के अवयव से संबंध जुड़ना वर्ग को बदल देता है। / A pair with an outside element changes the class, so it is not possible here.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के तुल्यता वर्ग किस प्रकार समझे जा सकते हैं?

If (R) and (S) are equivalence relations on a set (A), how can the equivalence classes of \(R\cap S\) be understood?

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Correct Answer

A. दोनों विभाजनों के साझा सूक्ष्म भागों के रूप मेंAs common refined blocks of both partitions

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में वही युग्म रहते हैं जो दोनों सम्बन्धों में हैं। / \(R\cap S\) keeps only pairs that are present in both relations.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो अवयव तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / Thus two elements remain together only when they are together in both (R) and (S).

Step 3

Exam Tip

इस कारण \(R\cap S\) के वर्ग दोनों विभाजनों के और छोटे साझा भाग बनाते हैं। / Therefore its classes are common refined blocks of the two partitions.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी तुल्यता सम्बन्ध के दो तुल्यता वर्ग \(B_1\) और \(B_2\) ऐसे हैं कि \(B_1\cap B_2\neq \varnothing\), तो क्या निष्कर्ष होगा?

If two equivalence classes \(B_1\) and \(B_2\) of an equivalence relation satisfy \(B_1\cap B_2\neq \varnothing\), what conclusion follows?

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Correct Answer

A. \(B_1=B_2\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग या तो पूरी तरह अलग होते हैं या बिल्कुल समान होते हैं। / Equivalence classes are either completely disjoint or exactly the same.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दोनों वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वह दोनों वर्गों को जोड़ देता है। / If two classes have a common element, that element connects both classes.

Step 3

Exam Tip

इसलिए दोनों वर्ग अलग नहीं रह सकते और \(B_1=B_2\) होगा। / Therefore the two classes cannot remain distinct, so \(B_1=B_2\).

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी समुच्चय (A) पर सम्बन्ध (R) तुल्यता सम्बन्ध है और (aRb) है, तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A) and (aRb), what is true about the equivalence classes of (a) and (b)?

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Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयव एक ही वर्ग में होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (aRb), तो जो भी (a) से सम्बन्धित है वह (b) से भी सम्बन्धित होगा। / If (aRb), anything related to (a) is also related to (b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए दोनों के तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं; वे आंशिक रूप से नहीं बल्कि पूरी तरह समान होते हैं। / Therefore the equivalence classes are equal, not just partially overlapping.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय (A) पर एक तुल्यता सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}), ({d,e}) और ({f}) हैं। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

An equivalence relation on a set (A) has equivalence classes ({a,b,c}), ({d,e}), and ({f}). How many ordered pairs are there in this relation?

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Correct Answer

C. (14)

Step 1

Concept

किसी तुल्यता वर्ग में यदि (n) अवयव हैं, तो उसके भीतर \(n^2\) क्रमित युग्म बनते हैं। / If an equivalence class has (n) elements, it contributes \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) है। / Here the number of pairs is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).

Step 3

Exam Tip

कुल (14) युग्म मिलते हैं; अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / Total pairs are (14); pairs between different classes are not included.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) एक तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq B\subseteq A\), फिर भी (B) कोई तुल्यता वर्ग नहीं है। कौन सा कारण संभव है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq B\subseteq A\), but (B) is not an equivalence class. Which reason is possible?

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Correct Answer

A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं(B) contains elements from more than one distinct equivalence class

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। / An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। / If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता। / You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक तीन तुल्यता वर्ग हों?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have exactly three equivalence classes?

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Correct Answer

A. (25)

Step 1

Concept

यह (5) तत्वों को ठीक (3) खाली-न-होने वाले समूहों में बाँटने की गिनती है। / This is the number of ways to partition (5) elements into exactly (3) non-empty blocks.

Step 2

Why this answer is correct

आकारों के प्रकार (3,1,1) और (2,2,1) होंगे। / The block-size patterns are (3,1,1) and (2,2,1).

Step 3

Exam Tip

गिनती (10+15=25) आती है, इसलिए (25) तुल्यता संबंध हैं। / The count is (10+15=25), so there are (25) equivalence relations.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \([a]\cup[b]\) कब एक ही तुल्यता वर्ग होगा?

If (R) is an equivalence relation, when will \([a]\cup[b]\) be a single equivalence class?

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Correct Answer

A. जब ([a]=[b])When ([a]=[b])

Step 1

Concept

दो तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Two equivalence classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ([a]=[b]), तो उनका संघ भी वही एक वर्ग होगा। / If ([a]=[b]), their union is the same single class.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों का संघ सामान्यतः एक तुल्यता वर्ग नहीं होता। / The union of distinct classes is generally not one equivalence class.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({2,4,6},{1,3},{5}) में बाँटता है, तो (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

If an equivalence relation partitions a set into ({2,4,6},{1,3},{5}), which is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({1,3})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। / The equivalence class of an element is the block containing that element.

Step 2

Why this answer is correct

(3) समूह ({1,3}) में है। / (3) lies in ({1,3}).

Step 3

Exam Tip

विभाजन दिए होने पर तत्व वाला समूह सीधे चुनें। / When a partition is given, directly choose the block containing the element.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी संबंध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}) और ({d,e}) हैं, तो उस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If an equivalence relation has equivalence classes ({a,b,c}) and ({d,e}), how many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

C. (13)

Step 1

Concept

एक तुल्यता वर्ग के भीतर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Inside one equivalence class, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

({a,b,c}) से \(3^2=9\) युग्म और ({d,e}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The class ({a,b,c}) gives \(3^2=9\) pairs and ({d,e}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+4=13) होंगे। / Total pairs are (9+4=13).

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

If (R) is an equivalence relation on (A) and (aRb), what is true about the equivalence classes of (a) and (b)?

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Correct Answer

B. वे बराबर होंगेThey are equal

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (aRb) होने पर ([a]=[b]) होता है। / Therefore (aRb) implies ([a]=[b]).

Step 3

Exam Tip

यदि दो तुल्यता वर्गों में एक भी समान तत्व हो, तो वे पूरी तरह समान होते हैं। / If two equivalence classes overlap, they are actually equal.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि कोई तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({1,4},{2,5},{3,6}) में बाँटता है, तो (4) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

If an equivalence relation partitions a set into ({1,4},{2,5},{3,6}), what is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({1,4})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। / An equivalence class is the block that contains the given element.

Step 2

Why this answer is correct

(4), समूह ({1,4}) में है। / (4) lies in ({1,4}).

Step 3

Exam Tip

विभाजन दिए जाने पर अलग गणना करने की जरूरत नहीं, बस तत्व वाला समूह चुनें। / When a partition is given, choose the block containing the element.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

तुल्यता संबंध से बने दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement is true about two different equivalence classes formed by an equivalence relation?

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Correct Answer

A. वे असंयुक्त होते हैंThey are disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate groups.

Step 2

Why this answer is correct

दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। / Two distinct classes have no common element.

Step 3

Exam Tip

यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे। / If two classes share even one element, they are the same class.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग {(1,2)} और {(3)} हैं, तो मूल समुच्चय क्या होगा?

If the equivalence classes of an equivalence relation are {(1,2)} and {(3)}, what is the original set?

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Correct Answer

A. {(1,2,3)}

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग मिलकर पूरा मूल समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes together cover the original set.

Step 2

Why this answer is correct

{(1,2)} और {(3)} को मिलाने पर {(1,2,3)} मिलता है। / Combining {(1,2)} and {(3)} gives {(1,2,3)}.

Step 3

Exam Tip

वर्गों का संघ ही मूल समुच्चय होता है। / The union of all classes is the original set.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी तत्व (a) का तुल्यता वर्ग किसे कहते हैं?

If (R) is an equivalence relation, what is the equivalence class of an element (a)?

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Correct Answer

A. (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चयSet of all elements related to (a)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग किसी एक तत्व से जुड़े सभी तत्वों को इकट्ठा करता है। / An equivalence class collects all elements related to a chosen element.

Step 2

Why this answer is correct

यदि कोई तत्व (a) से संबंधित है, तो वह ([a]) में आता है। / If an element is related to (a), it belongs to ([a]).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व से संबंधित सभी तत्व लिखें। / To find a class, list all elements related to the given element.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग तुल्यता संबंध संभव हैं जिनके ठीक दो तुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many distinct equivalence relations are possible with exactly two equivalence classes?

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Correct Answer

C. (7)

Step 1

Concept

ठीक दो तुल्यता वर्गों का अर्थ है (A) को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two equivalence classes mean splitting (A) into two non-empty blocks.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों को दो अरिक्त अनाम समूहों में बांटने के तरीके (7) हैं। / The number of ways to divide (4) elements into two unnamed non-empty blocks is (7).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंधों की गिनती विभाजनों की गिनती से जुड़ी होती है। / Counting equivalence relations is the same as counting partitions.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (4). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({3,7})

Step 1

Concept

(3) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। / The remainder of (3) on division by (4) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में जिन अवयवों का शेष (3) है, वे (3) और (7) हैं। / In the given set, the elements with remainder (3) are (3) and (7).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल मूल समुच्चय के अवयव ही शामिल करें। / While writing an equivalence class, include only elements from the given base set.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध है, तो उसके दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही होता है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A), which statement is true about two distinct equivalence classes?

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Correct Answer

A. वे असंयुक्त होते हैंThey are disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। / If two classes share even one element, the two classes become identical.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है। / Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस स्थिति में \(R\cup S\), जहाँ (R) और (S) तुल्यता संबंध हैं, निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा?

In which situation is \(R\cup S\), where (R) and (S) are equivalence relations, definitely an equivalence relation?

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Correct Answer

A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)

Step 1

Concept

यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। / If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.

Step 2

Why this answer is correct

बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। / The larger relation is already an equivalence relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा। / Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (9) से विभाज्य हो। (25) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (9). Which is the equivalence class of (25)?

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Correct Answer

A. ({..., -2,7,16,25,34,...})

Step 1

Concept

(25) से संबंधित हर पूर्णांक का (25) से अंतर (9) का गुणज होना चाहिए। / Every integer related to (25) must differ from (25) by a multiple of (9).

Step 2

Why this answer is correct

(25) को (9) से भाग देने पर शेष (7) मिलता है, इसलिए समान शेष (7) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में आएँगे। / (25) gives remainder (7) on division by (9), so integers with the same remainder (7) form its class.

Step 3

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्नों में पहले शेष निकालें, फिर उसी शेष वाले तत्व चुनें। / In modulo questions, first find the remainder.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। (15) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). Which is the equivalence class of (15)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({...,1,8,15,22,29,...})

Step 1

Concept

(15) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (15) से अंतर (7) का गुणज हो। / Integers related to (15) must differ from (15) by a multiple of (7).

Step 2

Why this answer is correct

(15) को (7) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है, इसलिए समान शेष (1) वाले पूर्णांक उसी वर्ग में होंगे। / (15) gives remainder (1) on division by (7), so all integers with remainder (1) are in the same class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले शेष पहचानना सबसे तेज तरीका है। / First identify the remainder to find the equivalence class quickly.

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Question Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब परिभाषित है जब (a-b) संख्या (6) से विभाज्य हो। (20) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) is defined when (a-b) is divisible by (6). Which is the equivalence class of (20)?

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Correct Answer

A. ({..., -4,2,8,14,20,26,...})

Step 1

Concept

(20) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (20) से अंतर (6) का गुणज हो। / Integers related to (20) must differ from (20) by a multiple of (6).

Step 2

Why this answer is correct

(20) को (6) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है, इसलिए समान शेष (2) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में होंगे। / (20) gives remainder (2) on division by (6), so all integers with remainder (2) are in its class.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए तत्व का शेष निकालें और उसी शेष वाले सभी तत्व चुनें। / In modulo-class questions, first find the remainder of the given element.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) है। (1) का समतुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\). What is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,4})

Step 1

Concept

(1) अपने आप से संबंधित है। / (1) is related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का संबंध (4) से भी है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / (1) is also related to (4), so the class of (1) is ({1,4}).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालने के लिए दिए गए तत्व से जुड़े सभी तत्व लिखें। / To find a class, write all elements related to the given element.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (0) का समतुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. ({0,3})

Step 1

Concept

(0) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। / (0) leaves remainder (0) on division by (3).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (3) भी शेषफल (0) देता है। / In the given set, (3) also leaves remainder (0).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय समान शेषफल वाले तत्व चुनें। / While finding the class, choose elements with the same remainder.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समतुल्यता संबंध से बने किसी वर्ग के भीतर दो तत्वों के बारे में सही बात क्या है?

What is correct about two elements inside the same class formed by an equivalence relation?

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Correct Answer

A. वे आपस में संबंधित होते हैंThey are related to each other

Step 1

Concept

समतुल्यता वर्ग का अर्थ ही ऐसे तत्वों का समूह है जो एक-दूसरे से संबंधित हैं। / An equivalence class is a group of elements related to one another.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए एक ही वर्ग में मौजूद दो तत्वों का युग्म संबंध में आता है। / Therefore, two elements in the same class form a pair in the relation.

Step 3

Exam Tip

वर्ग के भीतर संबंध मानकर युग्म लिखें। / For elements inside the same class, write the related pair.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{-2,-1,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (-2) का समतुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{-2,-1,1,2\}\), (aRb) when (|a|=|b|). What is the equivalence class of (-2)?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

(|-2|=2) है। / (|-2|=2).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (2) का परम मान भी (2) है, इसलिए वर्ग ({-2,2}) है। / In the given set, (2) also has absolute value (2), so the class is ({-2,2}).

Step 3

Exam Tip

परम मान वाले प्रश्न में चिन्ह के बजाय दूरी जैसे मान को देखें। / In absolute value questions, focus on the magnitude rather than the sign.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि दो समतुल्यता वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो उनके बारे में क्या सही है?

If two equivalence classes have even one common element, what is correct about them?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे समान वर्ग होंगेThey will be the same class

Step 1

Concept

समतुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना टूटे भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide a set into complete non-overlapping parts.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो वर्गों में साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं हो सकते और समान होंगे। / If two classes share an element, they cannot be different and must be the same.

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता वर्गों में आंशिक कटाव नहीं होता। / Equivalence classes do not partially overlap.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (a) किसी समुच्चय का तत्व है, तो ([a]) में कौन-से तत्व आते हैं?

If (R) is an equivalence relation and (a) is an element of a set, which elements come in ([a])?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैंAll elements related to (a)

Step 1

Concept

([a]) का अर्थ (a) का समतुल्यता वर्ग है। / ([a]) means the equivalence class of (a).

Step 2

Why this answer is correct

इसमें वे सभी तत्व आते हैं जो संबंध (R) के अनुसार (a) से जुड़े हैं। / It contains all elements related to (a) according to (R).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय संबंध की शर्त को सीधे लागू करें। / To find a class, directly apply the condition of the relation.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समतुल्यता संबंध से बने वर्गों के बारे में सही बात क्या है?

What is correct about classes formed by an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैंThey divide the set into separate parts

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध समान तत्वों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.

Step 2

Why this answer is correct

ये समूह समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / These groups divide the set into separate parts.

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता वर्गों को भागों की तरह समझना आसान रहता है। / It is easy to understand equivalence classes as parts of a partition.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (4) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({1,4})

Step 1

Concept

(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (4) leaves remainder (1) on division by (3).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (1) भी वही शेषफल देता है, इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (1) also leaves the same remainder, so the class is ({1,4}).

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता वर्ग में केवल वही तत्व रखें जो समान शेषफल दें। / Put only elements with the same remainder in the equivalence class.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि संबंध (R) समतुल्यता संबंध है, तो ([a]) का अर्थ सामान्यतः क्या होता है?

If (R) is an equivalence relation, what does ([a]) usually mean?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a) का समतुल्यता वर्गEquivalence class of (a)

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। / In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).

Step 2

Why this answer is correct

इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। / It contains all elements related to (a).

Step 3

Exam Tip

([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें। / Do not confuse ([a]) with the square of (a).

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (2) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर (2) का शेषफल (2) है। / On division by (3), (2) leaves remainder (2).

Step 2

Why this answer is correct

(5) का भी शेषफल (2) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। / (5) also leaves remainder (2), so the class of (2) is ({2,5}).

Step 3

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल तालिका बनाना आसान तरीका है। / In modulo questions, making a remainder table is an easy method.

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Question Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समतुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस प्रकार व्यवस्थित करता है?

How does an equivalence relation organize a set?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. अलग-अलग समतुल्यता वर्गों मेंInto distinct equivalence classes

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध समान गुण वाले तत्वों को एक साथ रखता है। / An equivalence relation groups elements with the same property.

Step 2

Why this answer is correct

इस प्रकार समुच्चय अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में बंट जाता है। / Thus, the set is divided into distinct equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

वर्गों की सोच से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Thinking in terms of classes helps solve these questions faster.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्य संबंध है, तो इसके तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A), which statement about its equivalence classes is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे (A) का विभाजन बनाते हैंThey form a partition of (A)

Explanation

Simple Explanation

तुल्यता वर्ग अरिक्त, परस्पर असंयुक्त और पूरे (A) को ढकते हैं। यही विभाजन की परिभाषा है। / Equivalence classes are non-empty, disjoint, and cover all of (A). This is exactly the definition of a partition.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 27

(4) अवयवों वाले समुच्चय पर ठीक (2) समतुल्यता वर्गों वाले समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है?

How many equivalence relations on a (4)-element set have exactly (2) equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (7)

Explanation

Simple Explanation

यह (4) अवयवों को (2) अरिक्त वर्गों में बांटने की संख्या है। इसका मान (S(4,2)=7) होता है। / This is the number of ways to partition (4) elements into (2) non-empty classes. Its value is (S(4,2)=7).

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर एक तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2,3,4}) ही हैं। संबंध कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), an equivalence relation has the single class ({1,2,3,4}). Which relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\)Universal relation \(A\times A\)

Step 1

Concept

एक ही तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि हर अवयव हर दूसरे अवयव से संबंधित है। / A single equivalence class means every element is related to every other element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी संभव क्रमित युग्म संबंध में होंगे। / Therefore all possible ordered pairs are present.

Step 3

Exam Tip

यह ठीक \(A\times A\) यानी सार्वत्रिक संबंध है। / This is exactly \(A\times A\), the universal relation.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर किसी तुल्यता संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो (R) में कम से कम कितने युग्म होंगे?

If an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) contains ((1,2)) and ((2,3)), what is the minimum number of pairs in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (9)

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) होने से संक्रामकता के कारण (1) और (3) भी जुड़े होंगे। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity connects (1) and (3).

Step 2

Why this answer is correct

सममिति और स्वतुल्यता से तीनों अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / With symmetry and reflexivity, all three elements are in one class.

Step 3

Exam Tip

एक तीन-अवयवी वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / One class of size (3) gives \(3^2=9\) pairs.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है। (R) तुल्यता संबंध है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). Is (R) an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैंYes, all three properties hold

Step 1

Concept

सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। / ((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?

If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), which statement is necessarily true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

\((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। / \((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / Elements in the same class have equal equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता। / Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b).

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) (6) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (6). What is the equivalence class of (0)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(0) से संबंधित संख्या (b) के लिए (0-b) (6) से विभाज्य होना चाहिए। / For (b) to be related to (0), (0-b) must be divisible by (6).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (b) (6) का गुणज है। / This means (b) is a multiple of (6).

Step 3

Exam Tip

अनंत समुच्चय में वर्ग को सामान्य रूप \({6k:k\in\mathbb{Z}}\) से लिखें। / For infinite sets, write the class in general form as \({6k:k\in\mathbb{Z}}\).

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (2) से विभाज्य हो। (R) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (2). What are the equivalence classes of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({1,3,5,7},{2,4,6})

Step 1

Concept

(a-b) का (2) से विभाज्य होना समान समता दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (2) means the numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम अवयव ({1,3,5,7}) और सम अवयव ({2,4,6}) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements form ({1,3,5,7}), and even elements form ({2,4,6}).

Step 3

Exam Tip

समता के प्रश्नों में पहले सम और विषम छांटें। / For parity relations, separate odd and even elements first.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर (xRy) तभी जब \(\frac{x}{y}>0\)। इस संबंध के कितने तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), (xRy) if \(\frac{x}{y}>0\). How many equivalence classes does this relation have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. दोTwo

Step 1

Concept

\(\frac{x}{y}>0\) तब होता है जब (x) और (y) का चिह्न समान हो। / \(\frac{x}{y}>0\) means (x) and (y) have the same sign.

Step 2

Why this answer is correct

सभी धनात्मक संख्याएँ एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक संख्याएँ दूसरे वर्ग में आती हैं। / All positive numbers form one class and all negative numbers form another.

Step 3

Exam Tip

चिह्न आधारित संबंधों में धनात्मक और ऋणात्मक समूह अलग करें। / For sign-based relations, split the set into positive and negative groups.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) और (S) दोनों किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) and (S) are both equivalence relations on a set (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह हमेशा तुल्यता संबंध हैIt is always an equivalence relation

Step 1

Concept

दोनों संबंधों में हर ((a,a)) होता है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। / Both relations contain every ((a,a)), so the intersection does too.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों में सममिति और संक्रामकता होने से समान गुण प्रतिच्छेद में बचे रहते हैं। / Symmetry and transitivity are preserved in the intersection.

Step 3

Exam Tip

दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेद फिर तुल्यता संबंध होता है। / The intersection of two equivalence relations is again an equivalence relation.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (\gcd(a,6)=\gcd(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (\gcd(a,6)=\gcd(b,6)). What is the equivalence class of (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,4})

Step 1

Concept

(\gcd(4,6)=2) है। / (\gcd(4,6)=2).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में जिन अवयवों का (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है, वे (2) और (4) हैं। / In (A), the elements whose gcd with (6) is (2) are (2) and (4).

Step 3

Exam Tip

पहले दिए गए फलन जैसा मान निकालें, फिर समान मान वाले अवयव चुनें। / First compute the assigned value, then collect elements with the same value.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) हैं। नीचे दिए गए में कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes are ({1,4}) and ({2,3}). Which pair must belong to the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ((4,1))

Step 1

Concept

एक वर्ग के अंदर हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / Within one equivalence class, every element is related to every element of that class.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (4) एक ही वर्ग में हैं, इसलिए ((4,1)) अवश्य होगा। / Since (1) and (4) are in the same class, ((4,1)) must be present.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के अवयवों को संबंधित मानने की गलती न करें। / Do not relate elements from different classes unless the class says so.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन ({{1,3,5},{2,4}}) दिया है। इससे बनने वाले तुल्यता संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

A partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\) is ({{1,3,5},{2,4}}). How many ordered pairs will be in the equivalence relation formed by this partition?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (13)

Step 1

Concept

एक ही खंड के अवयव आपस में संबंधित होते हैं। / Elements inside the same block are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

({1,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The block ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्मों के लिए खंडों के आकारों के वर्ग जोड़ें। / Add the squares of block sizes to get the total pairs.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), which conclusion is definitely true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ([a]=[b])

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में तुल्यता वर्ग या तो अलग-अलग होते हैं या बिल्कुल समान। / In an equivalence relation, two equivalence classes are either disjoint or identical.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वे एक ही वर्ग बन जाते हैं। / If they have a common element, they must be the same class.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में साझा अवयव दिखते ही वर्गों की समानता याद रखें। / In exams, a non-empty intersection of classes directly implies equality.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({1,5})

Step 1

Concept

(5) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (5) leaves remainder (1) when divided by (4).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में वही अवयव लें जिनका शेषफल (1) है, यानी (1) और (5)। / In (A), elements with the same remainder are (1) and (5).

Step 3

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल सबसे तेज तरीका है। / For modulo relations, use remainders as the fastest method.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is this not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. संक्रामकता नहीं हैTransitivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए तीनों ((a,a)) मौजूद हैं। / Reflexivity holds because all three ((a,a)) pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

सममिति के लिए दिए गए उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / Symmetry also holds for the given non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, transitivity fails.

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Question Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) दिया है। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) is given. What is the equivalence class of (1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({1,2})

Step 1

Concept

(1) के साथ जुड़े सभी अवयव देखें। / Look for all elements related to (1).

Step 2

Why this answer is correct

(R) में ((1,1)) और ((1,2)) हैं, इसलिए (1) का वर्ग ({1,2}) है। / Since ((1,1)) and ((1,2)) are in (R), the class of (1) is ({1,2}).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले दिए गए युग्मों में पहला अवयव तय करके देखें। / In exams, fix the first element and list all related second elements.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?

On a set (A), which is the smallest equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(I_A={(a,a):a\in A}\)

Step 1

Concept

तुल्यता सम्बन्ध में हर अवयव स्वयं से सम्बन्धित होना जरूरी है। / In an equivalence relation, every element must be related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

केवल ((a,a)) वाले युग्म लेने पर सममिति और संक्रामकता भी बनी रहती है। / Taking only the pairs ((a,a)) preserves symmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पहचान सम्बन्ध सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध है। / Hence the identity relation is the smallest equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?

On a set (A), which is the largest equivalence relation?

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Correct Answer

A. \(A\times A\)

Step 1

Concept

सबसे बड़े सम्बन्ध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होंगे। / The largest relation contains all possible ordered pairs of (A).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times A\) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / \(A\times A\) is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सार्विक सम्बन्ध ही सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध है। / Therefore the universal relation is the largest equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि \(A=\{1,2,3\}\), (R) के वर्ग ({1,2},{3}) हैं और (S) के वर्ग ({1},{2,3}) हैं, तो \(R\cup S\) तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

If \(A=\{1,2,3\}\), (R) has classes ({1,2},{3}), and (S) has classes ({1},{2,3}), why is \(R\cup S\) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि संक्रामकता टूटती हैBecause transitivity fails

Step 1

Concept

\(R\cup S\) में ((1,2)) आता है क्योंकि यह (R) में है। / ((1,2)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (R).

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) आता है क्योंकि यह (S) में है। / ((2,3)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (S).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह न (R) में है न (S) में। / Transitivity would require ((1,3)), but it is in neither (R) nor (S).

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+2a=b^2+2b\)। (-1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+2a=b^2+2b\). Which is the equivalence class of (-1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-1})

Step 1

Concept

((-1)²+2(-1)=1-2=-1)। / ((-1)²+2(-1)=1-2=-1).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+2x=-1\) से \(x^2+2x+1=0\), यानी ((x+1)²=0)। / \(x^2+2x=-1\) gives \(x^2+2x+1=0\), or ((x+1)²=0).

Step 3

Exam Tip

केवल (x=-1) मिलता है, इसलिए तुल्यता वर्ग एकल है। / Only (x=-1) is obtained, so the equivalence class is singleton.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2-a=b^2-b\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-a=b^2-b\). Which is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({-2,3})

Step 1

Concept

\(3^2-3=6\)। / \(3^2-3=6\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2-x=6\) से \(x^2-x-6=0\), अर्थात ((x-3)(x+2)=0)। / \(x^2-x=6\) gives \(x^2-x-6=0\), that is ((x-3)(x+2)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=3) या (x=-2), और वर्ग ({-2,3}) है। / Hence (x=3) or (x=-2), so the class is ({-2,3}).

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\min(a,b)) विषम हो। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\min(a,b)) is odd. Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (\min(a,a)=a) हर (a) पर विषम होना चाहिए। / Reflexivity would require (\min(a,a)=a) to be odd for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=2) लेने पर (\min(2,2)=2), जो विषम नहीं है। / For (a=2), (\min(2,2)=2), which is not odd.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Hence not all elements are related to themselves, so it is not an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी रेखाओं पर (lRm) तब और केवल तब जब (l) और (m) प्रतिच्छेद करती हों। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all lines, (lRm) if and only if (l) and (m) intersect. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह संक्रामक नहीं हैBecause it is not transitive

Step 1

Concept

यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उलटी दिशा में भी यही बात सही है। / If two lines intersect, the statement is also true in the reverse direction.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (l) और (m) प्रतिच्छेद करें तथा (m) और (n) प्रतिच्छेद करें, तो जरूरी नहीं कि (l) और (n) भी प्रतिच्छेद करें। / But if (l) intersects (m) and (m) intersects (n), it is not necessary that (l) intersects (n).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता टूटने पर तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Failure of transitivity prevents it from being an equivalence relation.

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\ge 0\)। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\ge 0\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह सममित नहीं हैBecause it is not symmetric

Step 1

Concept

\(a-b\ge 0\) का अर्थ \(a\ge b\) है। / \(a-b\ge 0\) means \(a\ge b\).

Step 2

Why this answer is correct

(2R1) सही है, लेकिन (1R2) सही नहीं है। / (2R1) is true, but (1R2) is false.

Step 3

Exam Tip

सममिति टूटने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / Since symmetry fails, it cannot be an equivalence relation.

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) अपरिमेय हो। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On all real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is irrational. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं हैBecause it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) पर चाहिए। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a-a=0), और (0) परिमेय है, अपरिमेय नहीं। / (a-a=0), and (0) is rational, not irrational.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई भी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं है और यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Hence no element is related to itself, so this is not an equivalence relation.

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किसी (5) अवयवों वाले समुच्चय पर ठीक (2) तुल्यता वर्ग चाहिए। वर्गों के आकार किस विकल्प में संभव हैं?

On a set with (5) elements, exactly (2) equivalence classes are required. Which option gives possible class sizes?

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Correct Answer

A. (2) और (3)(2) and (3)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना छोड़े और बिना दोहराए बाँटते हैं। / Equivalence classes partition the set without leaving out or repeating elements.

Step 2

Why this answer is correct

दो वर्गों के आकारों का योग (5) होना चाहिए। / The sizes of two classes must add up to (5).

Step 3

Exam Tip

दिए गए विकल्पों में (2+3=5) ही सही है। / Among the options, only (2+3=5) is correct.

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यदि किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध का भागफल समुच्चय (A/R={{1,4},{2,3,5}}) है, तो (R) में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If the quotient set of an equivalence relation on (A) is (A/R={{1,4},{2,3,5}}), how many ordered pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (13)

Step 1

Concept

पहले वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म बनेंगे। / The first class ({1,4}) contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे वर्ग ({2,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म बनेंगे। / The second class ({2,3,5}) contributes \(3^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+9=13) क्रमित युग्म होंगे। / Total ordered pairs are (4+9=13).

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यदि (R) तुल्यता सम्बन्ध है और \(a\not R b\), तो ([a]) और ([b]) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and \(a\not R b\), which statement about ([a]) and ([b]) is correct?

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Correct Answer

A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता सम्बन्ध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं। / In an equivalence relation, two classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) सम्बन्धित नहीं हैं, तो उनके वर्ग समान नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, their classes cannot be equal.

Step 3

Exam Tip

इसलिए उनके वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore the intersection of their classes is empty.

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यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध है और \([a]\subseteq[b]\), तो क्या निष्कर्ष निश्चित है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\subseteq[b]\), what conclusion is definite?

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Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

(a) हमेशा अपने वर्ग ([a]) में होता है। / (a) always belongs to its own class ([a]).

Step 2

Why this answer is correct

\([a]\subseteq[b]\) होने से \(a\in[b]\), इसलिए (a) और (b) सम्बन्धित हैं। / Since \([a]\subseteq[b]\), we get \(a\in[b]\), so (a) and (b) are related.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयवों के वर्ग समान होते हैं, अतः ([a]=[b])। / In an equivalence relation, related elements have equal classes, hence ([a]=[b]).

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सभी क्रमित युग्मों \(R^2\) पर ((a,b)S(c,d)) तब और केवल तब जब (a-b=c-d)। ((4,1)) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all ordered pairs in \(R^2\), ((a,b)S(c,d)) if and only if (a-b=c-d). Which is the equivalence class of ((4,1))?

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Correct Answer

A. ({(x,y):x-y=3})

Step 1

Concept

((4,1)) के लिए (4-1=3)। / For ((4,1)), (4-1=3).

Step 2

Why this answer is correct

उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। / Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है। / Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}).

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a-b|) (3) से विभाज्य हो। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (|a-b|) is divisible by (3). What are the equivalence classes of this relation?

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Correct Answer

A. ({1,4},{2,5},{3})

Step 1

Concept

(|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। / (|a-b|) being divisible by (3) means the numbers have the same remainder modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3}).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same remainder form one equivalence class.

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+b^2=0\)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+b^2=0\). Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0) and (b=0).

Step 2

Why this answer is correct

(1R1) के लिए \(1^2+1^2=2\), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (1R1), \(1^2+1^2=2\), so (1R1) is false.

Step 3

Exam Tip

सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं, अतः यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Not every element is related to itself, so it is not an equivalence relation.

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समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर विभाजन ({{a,c,d},{b}}) दिया है। इससे बने तुल्यता सम्बन्ध में कौन-सा युग्म नहीं होगा?

A partition ({{a,c,d},{b}}) is given on \(A=\{a,b,c,d\}\). Which pair will not belong to the equivalence relation formed from it?

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Correct Answer

A. ((a,b))

Step 1

Concept

एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। / Elements in the same block are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

(a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। / (a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं। / Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid.

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किसी (8) अवयवों वाले समुच्चय पर एक तुल्यता सम्बन्ध के वर्गों के आकार (2,2,4) हैं। सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On a set with (8) elements, an equivalence relation has class sizes (2,2,4). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

आकार (n) वाले हर वर्ग से \(n^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / Each class of size (n) contributes \(n^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ कुल संख्या \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\) है। / Here the total is \(2^2+2^2+4^2=4+4+16\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सम्बन्ध में (24) क्रमित युग्म होंगे। / Therefore the relation contains (24) ordered pairs.

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^4=b^4\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^4=b^4\). Which is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

\(2^4=16\) है। / \(2^4=16\).

Step 2

Why this answer is correct

वास्तविक संख्याओं में \(x^4=16\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। / Over real numbers, \(x^4=16\) gives (x=2) and (x=-2).

Step 3

Exam Tip

सम घात में चिन्ह बदलने पर मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों अवयव वर्ग में होंगे। / With an even power, the sign can change while the value remains the same, so both elements are included.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({3,4})

Step 1

Concept

\(3^2=9\), जिसका (7) से शेष (2) है। / \(3^2=9\), which leaves remainder (2) modulo (7).

Step 2

Why this answer is correct

\(4^2=16\) का भी (7) से शेष (2) है। / \(4^2=16\) also leaves remainder (2) modulo (7).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं; वर्ग ({3,4}) होगा। / Therefore (3) and (4) are in the same equivalence class, so the class is ({3,4}).

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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Z\)। \(\frac{3}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in Z\). Which is the equivalence class of \(\frac{3}{4}\)?

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Correct Answer

A. \({\frac{3}{4}+n:n\in Z}\)

Step 1

Concept

(x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। / Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं। / This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a-b) (7) से विभाज्य हो। (-15) का तुल्यता वर्ग किस रूप में लिखा जाएगा?

On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (7). How will the equivalence class of (-15) be written?

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Correct Answer

A. \({x\in Z:x\equiv 6 \pmod{7}}\)

Step 1

Concept

(-15=-21+6), इसलिए इसका शेष (6) माना जाएगा। / (-15=-21+6), so its remainder is taken as (6).

Step 2

Why this answer is correct

इसी शेष वाले सभी पूर्णांक (-15) से सम्बन्धित होंगे। / All integers with the same remainder are related to (-15).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक संख्या में भी मानक शेष (0) से (6) के बीच लिखना सही तरीका है। / For negative numbers also, write the standard remainder between (0) and (6).

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) leave the same remainder on division by (6). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({5,11})

Step 1

Concept

(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a|+|b|=0)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On all real numbers, (aRb) if and only if (|a|+|b|=0). Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

(|a|+|b|=0) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / (|a|+|b|=0) happens only when (a=0) and (b=0).

Step 2

Why this answer is correct

(1R1) के लिए (|1|+|1|=2), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (1R1), (|1|+|1|=2), so (1R1) is false.

Step 3

Exam Tip

सभी वास्तविक संख्याओं पर स्वतुल्यता न मिलने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since reflexivity fails on all real numbers, it is not an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी तुल्यता सम्बन्ध के वर्ग ({1,2}), ({3,4,5}) और ({6}) हैं, तो ((2,5)) और ((4,3)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If an equivalence relation has classes ({1,2}), ({3,4,5}), and ({6}), which statement about ((2,5)) and ((4,3)) is correct?

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Correct Answer

A. \((2,5)\notin R\) और \((4,3)\in R\)\((2,5)\notin R\) and \((4,3)\in R\)

Step 1

Concept

(2) और (5) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए वे सम्बन्धित नहीं हैं। / (2) and (5) are in different classes, so they are not related.

Step 2

Why this answer is correct

(4) और (3) एक ही वर्ग ({3,4,5}) में हैं। / (4) and (3) are in the same class ({3,4,5}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \((2,5)\notin R\) और \((4,3)\in R\) सही है। / Therefore \((2,5)\notin R\) and \((4,3)\in R\).

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a=b) या (a+b=6)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). Is this an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं, यह संक्रामक नहीं हैNo, it is not transitive

Step 1

Concept

(a=b) के कारण स्वतुल्यता पूरी हो जाती है। / The condition (a=b) gives reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=6) वाली शर्त सममित है। / The condition (a+b=6) is symmetric.

Step 3

Exam Tip

लेकिन (1R5) और (5R1) हैं, पर (1R1) तो है; बेहतर जाँच में (2R4) और (4R2) भी है। फिर भी वर्ग ({1,5}), ({2,4}), ({3}) बनते हैं, इसलिए यह वास्तव में तुल्यता है। / The relation creates the blocks ({1,5}), ({2,4}), and ({3}), so it is actually an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) और (S) तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में कौन-सा कथन सामान्यतः सही है?

If (R) and (S) are equivalence relations, which statement is generally true about \(R\cup S\)?

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Correct Answer

A. यह हमेशा तुल्यता सम्बन्ध नहीं होताIt is not always an equivalence relation

Step 1

Concept

संघ में स्वतुल्यता और सममिति अक्सर बच सकती हैं। / Reflexivity and symmetry may often remain in the union.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / But transitivity can fail because one pair may come from (R) and another from (S).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\cup S\) को बिना जाँच तुल्यता सम्बन्ध नहीं माना जाता। / Therefore \(R\cup S\) is not assumed to be an equivalence relation without checking.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) और (S) एक ही समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If (R) and (S) are equivalence relations on the same set (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?

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Correct Answer

A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा\(R\cap S\) is always an equivalence relation

Step 1

Concept

दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.

Step 2

Why this answer is correct

सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। / Symmetry is preserved in the intersection.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा। / Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a+b=6)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b=6). Is this an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a=6) होना चाहिए। / Reflexivity would require (a+a=6) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1) लेने पर (1+1=2), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (a=1), (1+1=2), so (1R1) is false.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता न होने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / Since reflexivity fails, it cannot be an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\log a-\log b\in Z\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\log a-\log b\in Z\). Which is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. \({x>0:\log x\in Z}\)

Step 1

Concept

(1) के लिए \(\log 1=0\)। / For (1), \(\log 1=0\).

Step 2

Why this answer is correct

(x) तभी (1) से सम्बन्धित होगा जब \(\log x-0\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1) when \(\log x-0\) is an integer.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग उन धनात्मक संख्याओं का है जिनका लघुगणक पूर्णांक है। / Hence the class contains positive numbers whose logarithm is an integer.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\) है। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((3,1)) नहीं हैBecause ((3,1)) is missing

Step 1

Concept

((1,3)) सम्बन्ध में है। / ((1,3)) belongs to the relation.

Step 2

Why this answer is correct

सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। / For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.

Step 3

Exam Tip

((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation.

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Question Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध के वर्गों के आकार (1,2,4) हैं। यदि (A) में (7) अवयव हैं, तो सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

An equivalence relation on a set (A) has class sizes (1,2,4). If (A) has (7) elements, how many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (21)

Step 1

Concept

हर तुल्यता वर्ग अपने भीतर सभी क्रमित युग्म देता है। / Each equivalence class contributes all ordered pairs within itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए कुल संख्या \(1^2+2^2+4^2=1+4+16\) होगी। / Hence the total number is \(1^2+2^2+4^2=1+4+16\).

Step 3

Exam Tip

कुल (21) युग्म हैं; पूरा \(A\times A\) तभी होता जब केवल एक वर्ग होता। / The total is (21); the full \(A\times A\) would occur only with one class.

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सभी सदिशों के समुच्चय \(R^2\) पर (uRv) तब और केवल तब जब (|u|=|v|)। शून्य सदिश का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On the set of all vectors in \(R^2\), (uRv) if and only if (|u|=|v|). Which is the equivalence class of the zero vector?

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Correct Answer

A. केवल शून्य सदिशOnly the zero vector

Step 1

Concept

शून्य सदिश की लंबाई (0) होती है। / The norm of the zero vector is (0).

Step 2

Why this answer is correct

किसी सदिश की लंबाई (0) तभी होती है जब वह शून्य सदिश हो। / A vector has norm (0) only when it is the zero vector.

Step 3

Exam Tip

इसलिए शून्य सदिश का वर्ग केवल उसी सदिश से बनता है। / Therefore the class of the zero vector contains only the zero vector itself.

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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(e^a=e^b\)। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग कैसे होंगे?

On all real numbers, (aRb) if and only if \(e^a=e^b\). What will the equivalence classes be like?

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Correct Answer

A. हर वर्ग एकल होगाEvery class will be singleton

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं पर \(e^x\) एक-एकी फलन है। / On real numbers, \(e^x\) is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(e^a=e^b\) होने पर (a=b) ही होगा। / Therefore \(e^a=e^b\) implies (a=b).

Step 3

Exam Tip

अतः हर संख्या केवल अपने ही वर्ग में होगी। / Hence each number forms only its own equivalence class.

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यदि (R) तुल्यता सम्बन्ध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो निम्न में से कौन-सा हमेशा सही होगा?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which of the following is always true?

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Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

तुल्यता वर्गों का नियम है कि वे या तो अलग होते हैं या समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or equal.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिच्छेद रिक्त नहीं है, इसलिए वे अलग नहीं हो सकते। / The intersection is not empty, so they cannot be disjoint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए दोनों वर्ग बराबर होंगे, केवल थोड़ा-सा समान नहीं। / Therefore the two classes must be equal, not merely partially common.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान सम्बन्ध (I_A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}) है। इसके तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), the identity relation is (I_A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}). How many equivalence classes does it have?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

पहचान सम्बन्ध में हर अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर अवयव अपना अलग एकल वर्ग बनाता है। / Therefore each element forms its own singleton class.

Step 3

Exam Tip

(4) अवयव हैं, इसलिए (4) तुल्यता वर्ग होंगे। / Since there are (4) elements, there are (4) equivalence classes.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A\) है। इसमें कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A\). How many equivalence classes does it have?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में हर अवयव हर दूसरे अवयव से सम्बन्धित है। / In \(A\times A\), every element is related to every other element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। / Hence all elements fall into one equivalence class.

Step 3

Exam Tip

यह सार्विक सम्बन्ध है, इसलिए तुल्यता वर्गों की संख्या (1) है। / This is the universal relation, so the number of equivalence classes is (1).

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\max(a,b)) सम हो। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\max(a,b)) is even. Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\max(a,a)) सम होना चाहिए। / For reflexivity, (\max(a,a)) must be even for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1) लेने पर (\max(1,1)=1), जो सम नहीं है। / For (a=1), (\max(1,1)=1), which is not even.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Therefore not every element is related to itself, so the relation is not equivalence.

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सभी जटिल संख्याओं पर \(z_1Rz_2\) तब और केवल तब जब \(|z_1|=|z_2|\)। (3+4i) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?

On all complex numbers, \(z_1Rz_2\) if and only if \(|z_1|=|z_2|\). What does the equivalence class of (3+4i) represent?

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Correct Answer

A. मूल बिंदु से दूरी (5) वाली सभी जटिल संख्याएँAll complex numbers at distance (5) from the origin

Step 1

Concept

\(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)। / \(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का परम मान (5) होना चाहिए। / All complex numbers related to it must have modulus (5).

Step 3

Exam Tip

जटिल तल में यह मूल बिंदु से दूरी (5) वाले वृत्त को दर्शाता है। / In the complex plane, this represents the circle with distance (5) from the origin.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a\le b\)। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(a\le b\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह सममित नहीं हैBecause it is not symmetric

Step 1

Concept

\(a\le a\) होने से स्वतुल्यता मिलती है। / Since \(a\le a\), reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(1\le 2\), तो \(2\le 1\) सही नहीं है। / If \(1\le 2\), it does not imply \(2\le 1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममिति टूटती है और सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Hence symmetry fails, so the relation is not an equivalence relation.

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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a-b|<1)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On real numbers, (aRb) if and only if (|a-b|<1). Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह संक्रामक नहीं हैNo, it is not transitive

Step 1

Concept

यह सम्बन्ध स्वतुल्य है क्योंकि (|a-a|=0<1)। / The relation is reflexive because (|a-a|=0<1).

Step 2

Why this answer is correct

यह सममित भी है क्योंकि दूरी दोनों दिशाओं में समान रहती है। / It is also symmetric because distance is the same in both directions.

Step 3

Exam Tip

पर (0R0.6) और (0.6R1.2) हैं, जबकि (0R1.2) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / But (0R0.6) and (0.6R1.2), while (0R1.2) is false, so transitivity fails.

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\gcd(a,b)>1)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\gcd(a,b)>1). Is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं हैNo, it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\gcd(a,a)>1) चाहिए। / Reflexivity requires (\gcd(a,a)>1) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=1) लेने पर (\gcd(1,1)=1), जो (1) से बड़ा नहीं है। / For (a=1), (\gcd(1,1)=1), which is not greater than (1).

Step 3

Exam Tip

एक भी अवयव पर स्वतुल्यता टूटे तो सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / If reflexivity fails for even one element, the relation cannot be an equivalence relation.

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सभी अशून्य बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब और केवल तब जब (\deg(p)=\deg(q))। \(x^2+1\) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?

On the set of all non-zero polynomials, (pRq) if and only if (\deg(p)=\deg(q)). What forms the equivalence class of \(x^2+1\)?

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Correct Answer

A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपदAll non-zero polynomials of degree (2)

Step 1

Concept

\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).

Step 2

Why this answer is correct

इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। / In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं। / So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial.

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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितने अलग-अलग तुल्यता सम्बन्ध संभव हैं?

If (A) has (4) elements, how many different equivalence relations are possible on (A)?

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Correct Answer

A. (15)

Step 1

Concept

किसी समुच्चय पर तुल्यता सम्बन्धों की संख्या उसके विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations on a set equals the number of partitions of that set.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (15) होती है। / A set with (4) elements has (15) partitions.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में तुल्यता सम्बन्ध और विभाजन के बीच सीधा संबंध याद रखें। / In exams, remember the direct link between equivalence relations and partitions.

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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2=b^2\)। (-5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2=b^2\). Which is the equivalence class of (-5)?

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Correct Answer

A. ({-5,5})

Step 1

Concept

((-5)²=25)। / ((-5)²=25).

Step 2

Why this answer is correct

जिन वास्तविक संख्याओं का वर्ग (25) है, वे (-5) और (5) हैं। / The real numbers whose square is (25) are (-5) and (5).

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाली समानता में चिन्ह बदल सकता है, इसलिए दोनों संख्याओं को शामिल करना चाहिए। / In equality of squares, the sign may change, so both numbers must be included.

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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

Concept

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Exam Tip

यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो दो समतुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो (a) का समतुल्यता वर्ग सामान्यतः किससे बनता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी तुल्यता संबंध के दो वर्ग ([a]) और ([b]) अलग-अलग हैं, तो उनके प्रतिच्छेद के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

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Exam Tip

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के तुल्यता वर्ग किस प्रकार समझे जा सकते हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी तुल्यता सम्बन्ध के दो तुल्यता वर्ग \(B_1\) और \(B_2\) ऐसे हैं कि \(B_1\cap B_2\neq \varnothing\), तो क्या निष्कर्ष होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी समुच्चय (A) पर सम्बन्ध (R) तुल्यता सम्बन्ध है और (aRb) है, तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

Concept

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Exam Tip

समुच्चय (A) पर एक तुल्यता सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}), ({d,e}) और ({f}) हैं। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

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Exam Tip

यदि (R) एक तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq B\subseteq A\), फिर भी (B) कोई तुल्यता वर्ग नहीं है। कौन सा कारण संभव है?

Concept

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Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक तीन तुल्यता वर्ग हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \([a]\cup[b]\) कब एक ही तुल्यता वर्ग होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({2,4,6},{1,3},{5}) में बाँटता है, तो (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी संबंध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}) और ({d,e}) हैं, तो उस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि कोई तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({1,4},{2,5},{3,6}) में बाँटता है, तो (4) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

तुल्यता संबंध से बने दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग {(1,2)} और {(3)} हैं, तो मूल समुच्चय क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी तत्व (a) का तुल्यता वर्ग किसे कहते हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग तुल्यता संबंध संभव हैं जिनके ठीक दो तुल्यता वर्ग हों?

Concept

Why this answer is correct

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