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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

तुल्यता संबंध बनने के लिए किसी संबंध में कौन-से तीन गुण होने चाहिए?

Which three properties must a relation have to be an equivalence relation?

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Correct Answer

A. परावर्तक, सममित, संक्रामकReflexive, symmetric, transitive

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध की पहचान तीन गुणों से होती है। / An equivalence relation is identified by three properties.

Step 2

Why this answer is correct

उसमें हर तत्व अपने से जुड़ा हो, उलटा क्रम भी हो और जुड़ाव आगे बढ़े। / It must be reflexive, symmetric, and transitive together.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में हमेशा परावर्तक, सममित और संक्रामक तीनों जाँचें। / In exams, never decide by checking only one or two properties.

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Question 2/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों के समुच्चय पर (aRb) तब हो जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?

On the set of integers, (aRb) if (|a|=|b|). What type of relation is it?

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Correct Answer

B. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर पूर्णांक का परिमाण अपने परिमाण के बराबर होता है, इसलिए परावर्तकता है। / Every integer has the same absolute value as itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

परिमाण की बराबरी उलटने पर भी सही रहती है और तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है। / Equality of absolute values is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

बराबरी पर आधारित संबंधों में तीनों गुण शांत मन से जाँचें। / Relations based on equality usually become equivalence relations after all three checks.

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Question 3/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सर्वसम संबंध किस गुण के कारण हमेशा परावर्तक होता है?

Why is the universal relation on \(A=\{1,2,3\}\) always reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि हर ((a,a)) संबंध में होता हैBecause every ((a,a)) is in the relation

Step 1

Concept

परावर्तक होने के लिए हर तत्व का अपने साथ युग्म होना चाहिए। / A relation is reflexive if every element is related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

सर्वसम संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं, इसलिए ((a,a)) भी होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\), so each ((a,a)) is present.

Step 3

Exam Tip

सर्वसम संबंध को छोटे समुच्चय पर जल्दी परावर्तक मान सकते हैं। / For a non-empty set, the universal relation is always reflexive.

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Question 4/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) को वर्गों ({1,4},{2},{3,5}) में बाँटा गया है। समान वर्ग में होने वाला संबंध (R) है। कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?

The set \(A=\{1,2,3,4,5\}\) is divided into classes ({1,4},{2},{3,5}). Relation (R) means belonging to the same class. Which pair must be in (R)?

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Correct Answer

C. ((3,5))

Step 1

Concept

संबंध उसी समय बनेगा जब दोनों तत्व एक ही वर्ग में हों। / The relation holds only when both elements are in the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) और (5) दोनों ({3,5}) में हैं, इसलिए ((3,5)) संबंध में होगा। / (3) and (5) both lie in ({3,5}), so \((3,5)\in R\).

Step 3

Exam Tip

वर्गों से बने प्रश्न में पहले दिए गए समूहों को ध्यान से पढ़ें। / In class-based questions, first locate the two elements in the given groups.

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Question 5/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

D. संक्रामक नहीं हैIt is not transitive

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म हैं और उलटे युग्म भी दिख रहे हैं। / All self-pairs are present and reverse pairs are also visible.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,3)) should imply ((1,3)), which is missing.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता जाँचते समय बीच वाला तत्व समान वाले युग्म खोजें। / For transitivity, look for pairs whose middle element matches.

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Question 6/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Why is the empty relation on \(A=\{1,2,3\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. यह परावर्तक नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के लिए परावर्तक होना जरूरी है। / Reflexivity is necessary for an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसे युग्म नहीं हैं। / The empty relation has no self-pairs such as ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

खाली संबंध को अरिक्त समुच्चय पर तुल्यता संबंध न मानें। / On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation.

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Question 7/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) में (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({4,8})

Step 1

Concept

(4) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (4).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (8) का भी शेषफल (0) है, इसलिए (4) और (8) एक ही वर्ग में हैं। / In the given set, (8) also leaves remainder (0), so (4) and (8) are in the same class.

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाले प्रश्न में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें। / In remainder-class questions, use only elements from the given set.

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Question 8/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), \((b,c)\in R\), तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), \((b,c)\in R\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. \((a,c)\in R\)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध संक्रामक होता है। / An equivalence relation is transitive.

Step 2

Why this answer is correct

((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। / From ((a,b)) and ((b,c)), we must get ((a,c)).

Step 3

Exam Tip

दो जुड़े हुए युग्मों में बीच वाला तत्व समान हो तो संक्रामकता लगाएँ। / When the middle element matches, check transitivity.

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Question 9/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब हो जब (a-b) सम हो। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) if (a-b) is even. What kind of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) सम है, इसलिए परावर्तक गुण है। / Since (a-a=0) is even, the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और सम अंतरों का जोड़ भी सम रहता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is even, and even differences combine transitively.

Step 3

Exam Tip

समान सम-विषम प्रकृति वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध का उदाहरण है। / Same parity is a standard equivalence relation.

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Question 10/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इसके तुल्यता वर्ग कितने होंगे?

On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are there?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

\( \pmod{3}\) में शेषफल केवल (0,1,2) हो सकते हैं। / Modulo (3), possible remainders are (0,1,2).

Step 2

Why this answer is correct

समान शेषफल वाले पूर्णांक एक ही वर्ग में आते हैं। / Integers with the same remainder form one class.

Step 3

Exam Tip

\( \pmod{n}\) में सामान्यतः (n) तुल्यता वर्ग होते हैं। / Modulo (n) usually gives (n) equivalence classes.

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Question 11/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

संबंध (aRb) तब हो जब (a=b)। किसी भी समुच्चय पर यह संबंध कैसा होता है?

For a relation (aRb) if (a=b), what type of relation is it on any set?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर तत्व अपने बराबर होता है, इसलिए परावर्तक गुण है। / Every element equals itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी में उलटा क्रम और आगे जोड़ना दोनों सही रहते हैं। / Equality is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

बराबरी का संबंध तुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है। / Equality is the simplest example of an equivalence relation.

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Question 12/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\) है। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=A\times A\). What kind of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains every ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए अपने युग्म, उलटे युग्म और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद हैं। / Self-pairs, reverse pairs, and transitive pairs are all included.

Step 3

Exam Tip

सर्वसम संबंध हमेशा तुल्यता संबंध होता है। / The universal relation is always an equivalence relation.

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Question 13/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी संबंध में हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है, तो यह कौन-सा गुण है?

If \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\), which property is this?

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Correct Answer

A. परावर्तकReflexive

Step 1

Concept

हर तत्व का अपने साथ संबंध होना परावर्तक गुण कहलाता है। / A relation is reflexive when every element is related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) जैसे युग्म इसी बात को दिखाते हैं। / Pairs like ((a,a)) show this property.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध जाँचते समय सबसे पहले परावर्तकता देखें। / Check reflexivity first when testing equivalence.

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Question 14/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि \((a,b)\in R\) से हमेशा \((b,a)\in R\) मिले, तो कौन-सा गुण है?

If \((a,b)\in R\) always implies \((b,a)\in R\), which property is this?

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Correct Answer

A. सममितSymmetric

Step 1

Concept

युग्म को उलटने पर भी संबंध में रहना सममित गुण है। / Symmetry means the reverse pair must also belong to the relation.

Step 2

Why this answer is correct

((a,b)) और ((b,a)) दोनों का होना जरूरी है। / If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में सममितता के लिए उलटे युग्म तुरंत खोजें। / In exams, look for reverse pairs quickly.

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Question 15/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिले, तो यह कौन-सा गुण है?

If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always imply \((a,c)\in R\), which property is this?

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Correct Answer

A. संक्रामकTransitive

Step 1

Concept

दो संबंधों को जोड़कर तीसरा संबंध मिलना संक्रामक गुण है। / Transitivity connects two related pairs to form a third pair.

Step 2

Why this answer is correct

बीच का तत्व (b) समान होने पर ((a,c)) की जाँच की जाती है। / When the middle element (b) matches, ((a,c)) must be present.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता में क्रम का ध्यान रखना बहुत जरूरी है। / Order matters in transitivity.

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Question 16/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. यह वास्तव में तुल्यता संबंध हैIt is actually an equivalence relation

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, और संक्रामकता से कोई नया छूटा हुआ युग्म नहीं बनता। / The pair ((1,2)) has its reverse, and transitivity is not violated.

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में हर गुण अलग-अलग जाँचें, अनुमान न लगाएँ। / Check each property carefully before rejecting a relation.

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Question 17/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((3,3)) नहीं है((3,3)) is missing

Step 1

Concept

परावर्तकता के लिए (A) के हर तत्व का अपने साथ युग्म चाहिए। / Reflexivity needs every element of (A) to be related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। / The pair ((3,3)) is missing here.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में सबसे पहले सभी ((a,a)) युग्म जाँचें। / First check all self-pairs in equivalence questions.

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Question 18/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब हो जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। यह संबंध क्या है?

On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) are both even or both odd. What is this relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या अपने जैसी सम-विषम प्रकृति रखती है, इसलिए परावर्तकता है। / Every number has the same parity as itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

समान प्रकृति उलटने पर भी समान रहती है और आगे भी बनी रहती है। / Same parity is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

समानता पर आधारित वर्गीकरण अक्सर तुल्यता संबंध देता है। / Relations based on a shared category often form equivalence relations.

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Question 19/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब (a-b) (5) से विभाज्य हो। यह संबंध किससे जुड़ा है?

On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (5). This relation is connected with which idea?

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Correct Answer

A. समान शेषफल \( \pmod{5}\)Same remainder \( \pmod{5}\)

Step 1

Concept

(a-b) का (5) से विभाज्य होना बताता है कि दोनों संख्याओं का शेषफल (5) से भाग देने पर समान है। / If (a-b) is divisible by (5), the two integers have the same remainder modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह \( \pmod{5}\) की तुल्यता से जुड़ा है। / So the relation is based on congruence modulo (5).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता वाले ऐसे संबंधों में शेषफल वर्ग सोचें। / For divisibility relations, think in terms of remainder classes.

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Question 20/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) एक ही कक्षा में पढ़ते हैं, तो विद्यार्थियों के समुच्चय पर यह संबंध कैसा होगा?

If (aRb) means students (a) and (b) study in the same class, what type of relation is it on a set of students?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर विद्यार्थी अपनी ही कक्षा में है, इसलिए परावर्तकता है। / Every student is in the same class as themselves.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a), (b) की कक्षा में है तो (b), (a) की कक्षा में भी है। / If (a) is in the same class as (b), then (b) is in the same class as (a).

Step 3

Exam Tip

समान समूह वाली स्थिति को तुल्यता संबंध की तरह पहचानें। / Shared-group relations are common examples of equivalence relations.

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Question 21/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का जन्मदिन एक ही तारीख को है, तो यह संबंध कैसा है?

If (aRb) means (a) and (b) have birthdays on the same date, what type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने जन्मदिन जैसा ही है। / Every person has the same birthday date as themselves.

Step 2

Why this answer is correct

एक ही तारीख का संबंध उलटने पर और आगे जोड़ने पर भी सही रहता है। / Having the same date is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

समान विशेषता पर बने संबंधों में तीनों गुण जाँचें। / Relations based on an identical feature usually form equivalence relations.

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Question 22/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस रूप में बाँटता है?

An equivalence relation divides a set into what?

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Correct Answer

A. अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्गDistinct disjoint equivalence classes

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समान प्रकार के तत्वों को एक समूह में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.

Step 2

Why this answer is correct

ये समूह आपस में असंयुक्त होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / These groups are disjoint and together cover the whole set.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग और विभाजन को साथ-साथ याद रखें। / Remember that equivalence classes form a partition.

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Question 23/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी तत्व (a) का तुल्यता वर्ग किसे कहते हैं?

If (R) is an equivalence relation, what is the equivalence class of an element (a)?

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Correct Answer

A. (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चयSet of all elements related to (a)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग किसी एक तत्व से जुड़े सभी तत्वों को इकट्ठा करता है। / An equivalence class collects all elements related to a chosen element.

Step 2

Why this answer is correct

यदि कोई तत्व (a) से संबंधित है, तो वह ([a]) में आता है। / If an element is related to (a), it belongs to ([a]).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व से संबंधित सभी तत्व लिखें। / To find a class, list all elements related to the given element.

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Question 24/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (1) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. {(1,3)}

Step 1

Concept

समान सम-विषम संबंध में विषम संख्याएँ साथ आती हैं। / In the same parity relation, odd numbers form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(1) विषम है और (3) भी विषम है। / (1) is odd and (3) is also odd.

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में पहले सम और विषम अलग कर लें। / For small sets, separate even and odd numbers first.

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Question 25/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. {(2,4)}

Step 1

Concept

(2) सम संख्या है। / (2) is even.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (2) के साथ समान सम-विषम संख्या (4) है। / In the set, (4) is the other even number, so it is related to (2).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग में वही तत्व लिखें जो दिए गए तत्व से संबंधित हों। / Write only the elements related to the chosen element.

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Question 26/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) का रंग समान है, तो वस्तुओं के समुच्चय पर यह संबंध कैसा हो सकता है?

If (aRb) means objects (a) and (b) have the same color, what type of relation can it be on a set of objects?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर वस्तु का रंग अपने रंग जैसा ही होता है। / Every object has the same color as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान रंग का संबंध उलटने पर भी सही रहता है और तीसरी वस्तु तक भी आगे बढ़ता है। / Same color is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

समान पहचान वाले गुण से बने संबंध को तुल्यता संबंध मानने से पहले तीनों गुण मिलाएँ। / A relation based on an identical attribute often gives an equivalence relation.

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Question 27/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. सममित नहीं हैIt is not symmetric

Step 1

Concept

((1,2)) संबंध में है। / The pair ((1,2)) is in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

सममित होने के लिए ((2,1)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। / For symmetry, ((2,1)) should also be present, but it is missing.

Step 3

Exam Tip

किसी एक उलटे युग्म की कमी से सममित गुण टूट जाता है। / One missing reverse pair is enough to fail symmetry.

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Question 28/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सममित नहीं हैIt is not symmetric

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म हैं, इसलिए परावर्तकता ठीक है। / All self-pairs are present, so reflexivity is fine.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित गुण टूटता है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में हर गैर-स्वयं युग्म का उलटा युग्म भी देखना चाहिए। / For equivalence, every non-self pair needs its reverse pair.

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Question 29/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस संबंध को पहचान संबंध कहा जाता है?

Which relation is called the identity relation?

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Correct Answer

A. जिसमें केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होंThe relation containing only pairs of the form ((a,a))

Step 1

Concept

पहचान संबंध में हर तत्व सिर्फ अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए इसके युग्म ((a,a)) के रूप में होते हैं। / So its pairs have the form ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध को तुल्यता संबंध का मूल उदाहरण मानें। / The identity relation is a basic example of an equivalence relation.

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Question 30/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस संबंध को सर्वसम संबंध कहा जाता है?

Which relation is called the universal relation?

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Correct Answer

A. जिसमें \(A\times A\) के सभी युग्म होंThe relation containing all pairs of \(A\times A\)

Step 1

Concept

सर्वसम संबंध में समुच्चय के हर तत्व का हर तत्व से संबंध होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह \(A\times A\) के बराबर होता है। / Hence it equals \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

सर्वसम संबंध पर तीनों गुण आसानी से संतुष्ट हो जाते हैं। / The universal relation easily satisfies all three equivalence properties.

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Question 31/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \((a,a)\in R\) किस गुण से मिलता है?

If (R) is an equivalence relation, from which property do we get \((a,a)\in R\)?

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Correct Answer

A. परावर्तकताReflexivity

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में परावर्तक गुण अवश्य होता है। / An equivalence relation must be reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

इसी गुण से हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) मिलता है। / Reflexivity gives \((a,a)\in R\) for every (a).

Step 3

Exam Tip

अपने युग्म दिखाने के लिए परावर्तकता का नाम लिखें। / Use the word reflexivity whenever self-pairs are required.

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Question 32/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((4,7)\in R\), तो \((7,4)\in R\) किस कारण से होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((4,7)\in R\), why must \((7,4)\in R\)?

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Correct Answer

A. सममितता के कारणBecause of symmetry

Step 1

Concept

((4,7)) का उलटा युग्म ((7,4)) है। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)).

Step 2

Why this answer is correct

तुल्यता संबंध में सममितता होती है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / An equivalence relation is symmetric, so the reverse pair must be present.

Step 3

Exam Tip

उलटे युग्म के प्रश्न में सममितता याद रखें। / Reverse-pair questions usually use symmetry.

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Question 33/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,5)\in R\), which pair must be present?

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Correct Answer

A. ((1,5))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,5)) में बीच का तत्व (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,5)), the middle element (2) matches.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता से ((1,5)) मिलना चाहिए। / By transitivity, ((1,5)) must be present.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता लगाते समय पहला और अंतिम तत्व लेकर नया युग्म बनाएँ। / Take the first and last elements to form the transitive pair.

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Question 34/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (0) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. सभी सम पूर्णांकAll even integers

Step 1

Concept

\( \pmod{2}\) में (0) का शेषफल (0) है। / Modulo (2), (0) has remainder (0).

Step 2

Why this answer is correct

जिन पूर्णांकों का शेषफल (0) है, वे सम पूर्णांक हैं। / Integers with remainder (0) are even integers.

Step 3

Exam Tip

([0]) को सम पूर्णांकों का वर्ग समझें। / So ([0]) is the class of even integers.

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Question 35/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. सभी विषम पूर्णांकAll odd integers

Step 1

Concept

(1) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (1) has remainder (1) when divided by (2).

Step 2

Why this answer is correct

यही शेषफल रखने वाले पूर्णांक विषम होते हैं। / Integers with this remainder are odd.

Step 3

Exam Tip

\( \pmod{2}\) में दो वर्ग बनते हैं: सम और विषम। / Modulo (2) gives two classes: even and odd.

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Question 36/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में (aRb) तब हो जब (a) और (b) का शेषफल (3) से भाग देने पर समान हो। (1) का वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) have the same remainder when divided by (3). What is the class of (1)?

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Correct Answer

A. {(1,4)}

Step 1

Concept

(1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (1) leaves remainder (1) on division by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(4) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (4) also leaves remainder (1).

Step 3

Exam Tip

समान शेषफल वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder belong to the same equivalence class.

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Question 37/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. {(2,5)}

Step 1

Concept

(2) का (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(5) का भी शेषफल (2) है। / (5) also leaves remainder (2).

Step 3

Exam Tip

वर्ग बनाते समय केवल दिए हुए समुच्चय के तत्वों को ही लें। / While forming the class, use only elements from the given set.

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Question 38/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (3) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. {(3,6)}

Step 1

Concept

(3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। / (3) leaves remainder (0) when divided by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(6) का भी शेषफल (0) है। / (6) also leaves remainder (0).

Step 3

Exam Tip

शेषफल (0) वाले तत्वों को अलग वर्ग में रखें। / Put all elements with remainder (0) in one class.

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Question 39/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) कैसा संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), what type of relation is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\)?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,1)), ((2,4)) और ((4,2)) दोनों उलटे युग्म हैं। / The non-self pairs occur with their reverse pairs.

Step 3

Exam Tip

वर्ग {(1,3)} और {(2,4)} देखकर तुल्यता संबंध पहचानें। / It forms the classes {(1,3)} and {(2,4)}, so it is an equivalence relation.

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Question 40/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग {(1,2)} और {(3)} हैं, तो मूल समुच्चय क्या होगा?

If the equivalence classes of an equivalence relation are {(1,2)} and {(3)}, what is the original set?

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Correct Answer

A. {(1,2,3)}

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग मिलकर पूरा मूल समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes together cover the original set.

Step 2

Why this answer is correct

{(1,2)} और {(3)} को मिलाने पर {(1,2,3)} मिलता है। / Combining {(1,2)} and {(3)} gives {(1,2,3)}.

Step 3

Exam Tip

वर्गों का संघ ही मूल समुच्चय होता है। / The union of all classes is the original set.

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Question 41/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

तुल्यता संबंध से बने दो अलग-अलग तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement is true about two different equivalence classes formed by an equivalence relation?

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Correct Answer

A. वे असंयुक्त होते हैंThey are disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate groups.

Step 2

Why this answer is correct

दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। / Two distinct classes have no common element.

Step 3

Exam Tip

यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे। / If two classes share even one element, they are the same class.

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Question 42/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किसी समुच्चय पर पहचान संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?

What are the equivalence classes of the identity relation on a set?

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Correct Answer

A. हर वर्ग में एक ही तत्व होता हैEach class has exactly one element

Step 1

Concept

पहचान संबंध में तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, an element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (a) का वर्ग सिर्फ (a) को रखता है। / Therefore, the class of (a) contains only (a).

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध में एक-तत्वीय वर्ग बनते हैं। / Identity relation gives singleton equivalence classes.

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Question 43/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किसी समुच्चय पर सर्वसम संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?

What are the equivalence classes of the universal relation on a set?

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Correct Answer

A. हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता हैThe class of every element is the whole set

Step 1

Concept

सर्वसम संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए किसी भी (a) से पूरा समुच्चय संबंधित है। / So the class of any (a) is the whole set.

Step 3

Exam Tip

सर्वसम संबंध में सभी तत्वों का तुल्यता वर्ग समान होता है। / Universal relation gives one large equivalence class.

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Question 44/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो \([a]\cap[b]\) क्या होगा?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), what is \([a]\cap[b]\)?

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Correct Answer

A. \(\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग या तो बराबर होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \([a]\neq[b]\), तो उनमें कोई साझा तत्व नहीं होगा। / If \([a]\neq[b]\), they have no common element.

Step 3

Exam Tip

अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.

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Question 45/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

संबंध (aRb) तब हो जब \(a\le b\)। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

For real numbers, (aRb) if \(a\le b\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. सममित नहीं हैIt is not symmetric

Step 1

Concept

\(a\le a\) के कारण परावर्तकता है। / \(a\le a\) makes the relation reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

परंतु \(2\le 3\) सही है, लेकिन \(3\le 2\) सही नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / But \(2\le 3\) is true while \(3\le 2\) is false, so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

क्रम संबंधों में सममितता अक्सर टूटती है। / Order relations often fail symmetry.

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Question 46/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

संबंध (aRb) तब हो जब (a<b)। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

For real numbers, (aRb) if (a<b). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. परावर्तक नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

परावर्तकता के लिए (a<a) चाहिए। / Reflexivity would require (a<a).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी संख्या अपने से छोटी नहीं होती, इसलिए यह गुण नहीं मिलता। / No number is less than itself, so reflexivity fails.

Step 3

Exam Tip

सख्त असमानता वाले संबंध को तुल्यता संबंध न मानें। / Strict inequality relations are not equivalence relations.

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Question 47/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

संबंध (aRb) तब हो जब (a) और (b) दोनों धनात्मक हों। वास्तविक संख्याओं पर यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

For real numbers, (aRb) if both (a) and (b) are positive. Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. परावर्तक नहीं हैIt is not reflexive

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक और शून्य भी होते हैं। / Real numbers include negative numbers and zero.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) ऋणात्मक हो, तो (aRa) सत्य नहीं होगा क्योंकि (a) धनात्मक नहीं है। / If (a) is negative, (aRa) is false because (a) is not positive.

Step 3

Exam Tip

पूरे समुच्चय पर परावर्तकता हर तत्व के लिए चाहिए। / Reflexivity must hold for every element of the set.

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Question 48/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

संबंध (aRb) तब हो जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। प्राकृतिक संख्याओं पर यह संबंध कैसा है?

For natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same last digit. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक जैसा ही है। / Every number has the same last digit as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान अंतिम अंक का संबंध उलटने पर और तीसरी संख्या तक जाने पर भी सही रहता है। / Same last digit is symmetric and transitive.

Step 3

Exam Tip

समान अंतिम अंक (10) शेषफल वर्गों की तरह सोचें। / Think of last digit as remainder classes modulo (10).

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Question 49/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो कौन-सा कथन हमेशा सही है?

If (R) is an equivalence relation, which statement is always true?

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Correct Answer

A. (R) परावर्तक, सममित और संक्रामक है(R) is reflexive, symmetric, and transitive

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। / The definition of an equivalence relation is based on three properties.

Step 2

Why this answer is correct

ये गुण परावर्तक, सममित और संक्रामक हैं। / These are reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा-आधारित प्रश्नों में तीनों गुण एक साथ याद रखें। / For definition questions, remember all three together.

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Question 50/50 Easy Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर समान सम-विषम संबंध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence classes are formed by the same parity relation?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

समान सम-विषम संबंध में सम संख्याएँ एक वर्ग और विषम संख्याएँ दूसरा वर्ग बनाती हैं। / Same parity gives one class of odd numbers and one class of even numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में {(1,3)} और {(2,4)} दो वर्ग हैं। / In (A), the classes are {(1,3)} and {(2,4)}.

Step 3

Exam Tip

वर्गों की संख्या निकालने के लिए पहले समूह साफ-साफ बना लें। / To count classes, first form the groups clearly.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Equivalence relation Easy Quiz

तुल्यता संबंध बनने के लिए किसी संबंध में कौन-से तीन गुण होने चाहिए?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों के समुच्चय पर (aRb) तब हो जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सर्वसम संबंध किस गुण के कारण हमेशा परावर्तक होता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) में (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), \((b,c)\in R\), तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब हो जब (a-b) सम हो। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इसके तुल्यता वर्ग कितने होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

संबंध (aRb) तब हो जब (a=b)। किसी भी समुच्चय पर यह संबंध कैसा होता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी संबंध में हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है, तो यह कौन-सा गुण है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \((a,b)\in R\) से हमेशा \((b,a)\in R\) मिले, तो कौन-सा गुण है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिले, तो यह कौन-सा गुण है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब हो जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। यह संबंध क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब (a-b) (5) से विभाज्य हो। यह संबंध किससे जुड़ा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (aRb) का अर्थ है (a) और (b) एक ही कक्षा में पढ़ते हैं, तो विद्यार्थियों के समुच्चय पर यह संबंध कैसा होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip