Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / When (7) is divided by (5), the remainder is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (7) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक वही होंगे जिनका शेष (2) हो। / So all integers related to (7) must have the same remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग सीमित नहीं होता जब मूल समुच्चय (Z) हो, इसलिए पूरी शेष श्रेणी लिखना सही है। / Since the base set is (Z), the equivalence class is not finite; write the complete residue class.
A. मापांक (5) के अनुसार समानता/Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
(S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। / Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(S\subseteq R\)। / Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध। / Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation.
\(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। / \(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। / (2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें। / Compare square remainders, not the numbers themselves.
A. समान शेषफल \( \pmod{5}\)/Same remainder \( \pmod{5}\)
Step 1
Concept
(a-b) का (5) से विभाज्य होना बताता है कि दोनों संख्याओं का शेषफल (5) से भाग देने पर समान है। / If (a-b) is divisible by (5), the two integers have the same remainder modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह \( \pmod{5}\) की तुल्यता से जुड़ा है। / So the relation is based on congruence modulo (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले ऐसे संबंधों में शेषफल वर्ग सोचें। / For divisibility relations, think in terms of remainder classes.
(a=b) की स्थिति भी (a-b=0) देती है, और (0) (5) से विभाज्य है। इसलिए शर्त समान शेषफल वाली बन जाती है। / The case (a=b) gives (a-b=0), and (0) is divisible by (5), so the relation is a same-remainder type condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली अलग शर्त को भी अंतर वाली शर्त में मिलाकर देखें। / Try to merge equality conditions with difference conditions when possible.
