Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब हर (a), (e) को विभाजित करे। (12) इस समुच्चय के सभी अवयवों का गुणज है। / This happens when every (a) divides (e). Here (12) is a multiple of all elements of the set.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) संक्रिया में तत्समक सामान्यतः समुच्चय का ऐसा बड़ा अवयव होता है जो सभी से विभाज्य हो। / For a \(\gcd\) operation, the identity is usually a greatest common multiple-like element inside the set.
(\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / We need (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। यहाँ सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element of the set. Here the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में \(\min\) और \(\max\) के तत्समक को सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव से जोड़कर देखें। / For finite sets, connect \(\min\) and \(\max\) identities with greatest and least elements.
गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। / In multiplication modulo (5), the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। / We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए। / A multiplicative inverse must make the product congruent to (1).
प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। / For inverse (x), we need (\gcd(4,x)=6).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। / For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके। / An inverse exists only if the operation can reach the identity element.
(e) तत्समक हो तो (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। / If (e) is the identity, (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element. In (A), the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
\(\min\) क्रिया में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element.
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the least element of the set. Here the least element is (1).
Step 3
Exam Tip
\(\max\) क्रिया में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element of the set.
इस क्रिया में (0) जोड़ने पर वही अवयव मिलता है, इसलिए तत्समक (0) है। / Adding (0) leaves every element unchanged, so the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*x=0) का अर्थ है (3+x) का (4) से शेषफल (0) हो। (x=1) रखने पर (4) का शेषफल (0) है। / (3*x=0) means (3+x) must have remainder (0) on division by (4). With (x=1), the sum is (4).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली क्रिया में प्रतिलोम वही अवयव है जो योग को गुणज बना दे। / In remainder operations, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.
क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। / A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory.
यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। / This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
(0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं। / Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(1) हर अवयव को बिना बदले रखता है, क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / (1) leaves every element unchanged because (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) और महत्तम समापवर्तक में ऊपर वाला गुणज अलग भूमिकाएँ निभाते हैं। / In LCM and GCD operations, (1) and the top common multiple play different roles.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(6) इस समुच्चय के हर अवयव का गुणज है, इसलिए (\gcd(a,6)=a)। / (6) is a multiple of every element of this set, so (\gcd(a,6)=a).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में महत्तम अवयव प्रायः ऐसी क्रिया में तत्समक बन सकता है। / In a finite set, the largest suitable multiple can become the identity for a GCD operation.
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तब संभव है जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible when (e) is the largest element of the set.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (4) सबसे बड़ा है, इसलिए परीक्षा में न्यूनतम क्रिया के लिए सबसे बड़े अवयव पर ध्यान दें। / Here (4) is the largest, so for a minimum operation look at the largest element.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).
(2*x=0) का अर्थ है कि (2+x) का शेषफल (0) हो। (2+1=3), जिसका शेषफल (0) है। / (2*x=0) means the remainder of (2+x) should be (0). Since (2+1=3), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे जाँचकर निकाला जा सकता है। / In small finite sets, inverses can be checked directly.
