Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह (3) के अनुसार जोड़ है। / This is addition modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) को (3) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (0) तत्समक है। / The remainder of (a+0) on division by (3) is (a) itself. So (0) is identity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) को पहले जाँचें। / In remainder-based addition, test (0) first.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), we need (\gcd(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तब होता है जब (e) हर (a) का गुणज हो और समुच्चय में सबसे बड़ा उपयुक्त अवयव (8) है। / This happens when (e) is a multiple of every (a), and (8) works in the set.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) में तत्समक अक्सर ऐसा अवयव होता है जो सभी अवयवों का गुणज हो। / For a \(\gcd\) operation on divisors of a number, the identity is often the largest element.
D. प्रतिलोम मौजूद नहीं है/The inverse does not exist
Step 1
Concept
\(\max\) संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / For the \(\max\) operation, the identity element is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=1) चाहिए लेकिन (\max(2,x)) कभी (1) नहीं हो सकता। / We need (2*x=1), but (\max(2,x)) can never be (1).
Step 3
Exam Tip
तत्समक से बड़े अवयवों का प्रतिलोम इस तरह की संक्रिया में अक्सर नहीं मिलता। / Elements larger than the identity often do not have inverses in this type of operation.
गुणा में (1) से गुणा करने पर संख्या वही रहती है। / Multiplying by (1) keeps the number unchanged.
Step 2
Why this answer is correct
(a*1) में \(a\cdot1=a\) और उसका (3) से शेषफल (A) के अवयवों के लिए वही (a) है। / In (a*1), \(a\cdot1=a\), and its remainder modulo (3) is the same (a) for elements of (A).
Step 3
Exam Tip
शेषफल गुणा में (1) को पहले जांचें। / For modulo multiplication, check (1) first as identity.
पहले (ab) निकालें। \(2\cdot2=4\) है। / First find (ab). Here \(2\cdot2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / The remainder when (4) is divided by (3) is (1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली संक्रिया में अंतिम उत्तर शेषफल होता है मूल गुणनफल नहीं। / In remainder-based operations, the final answer is the remainder, not the original product.
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (3) है। / This happens when (e) is the greatest element of the set. The greatest element of (A) is (3).
Step 3
Exam Tip
\(\min\) संक्रिया में तत्समक अक्सर अधिकतम अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is usually the maximum element.
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। (A) में सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the smallest element of the set. The smallest element of (A) is (1).
Step 3
Exam Tip
\(\max\) संक्रिया में तत्समक अक्सर न्यूनतम अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is usually the minimum element.
A. नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत का हर अवयव कम से कम एक बार छवि बनना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं पर (B) में (4) अवयव हैं। / (A) has only (3) elements, while (B) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादकता के लिए प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain size cannot be less than the codomain size for an onto function.
सहप्रांत (B) के दोनों सदस्य (a) और (b) प्रतिबिंब के रूप में मिल रहे हैं। / Both elements (a) and (b) of the codomain appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। पर (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (b) है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) have the same image (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर सदस्य को सूची में खोजें। / For finite sets, check whether every codomain element appears in the image list.
(1) का प्रतिबिंब (1) तय है। / The image of (1) is fixed as (1).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (4) अवयवों को शेष (4) अवयवों पर एकैकी रूप से भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The remaining (4) elements can be mapped one-one to the remaining (4) elements in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
समान आकार के समुच्चय में एकैकी फलन क्रमचय की तरह गिने जाते हैं। / For equal-size sets, one-one functions are counted like permutations.
तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। / All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For finite sets, a value table quickly checks one-one nature.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
सम और विषम संख्याओं के शेष देखें। / Check remainders for even and odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित फलनों में अक्सर कई आगत एक ही शेष देते हैं, इसलिए एकैकीपन सावधानी से जांचें। / Remainder-based functions often send many inputs to the same value, so test one-one nature carefully.
