In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one. चरण 1: एकैकी जांचने के लिए मान लेते हैं कि (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (3a-7=3b-7), इसलिए (a=b) मिलता है। चरण 3: परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है।
A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
If two different inputs have the same image, the function is not one-one. चरण 1: नियत फलन हर आगत को एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=5) और (f(2)=5), लेकिन \(1\neq 2\)। चरण 3: यदि दो अलग आगतों का प्रतिबिंब समान मिले, तो फलन एकैकी नहीं होता।
The images are (2), (3), and (1), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, check repetition in images to test one-one. चरण 1: दिए गए तीनों आगतों के प्रतिबिंब देखें। चरण 2: प्रतिबिंब (2), (3), (1) हैं और कोई मान दोहराया नहीं गया। चरण 3: सीमित समुच्चय में एकैकी जांचने के लिए प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति देखें।
For one-one, every distinct input must have a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
Here (g(b)=2) and (g(c)=2), while \(b\neq c\).
Step 3
Exam Tip
A repeated image immediately disproves one-one. चरण 1: एकैकी होने के लिए प्रत्येक अलग आगत का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए। चरण 2: यहां (g(b)=2) और (g(c)=2), जबकि \(b\neq c\)। चरण 3: दोहराया हुआ प्रतिबिंब मिलते ही एकैकी होने से इंकार करें।
Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। चरण 3: घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है।
A. क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\)/Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)
Step 1
Concept
The modulus function gives the same value to opposite inputs with equal distance from zero.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) and (f(-3)=3), while \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
Finding two distinct inputs with the same image is the fastest test. चरण 1: परम मान फलन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों समान दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। चरण 2: (f(3)=3) और (f(-3)=3), जबकि \(3\neq -3\)। चरण 3: एक ही प्रतिबिंब देने वाली अलग जोड़ी खोजना सबसे तेज तरीका है।
Changing the domain can make the same formula one-one. चरण 1: इस डोमेन में केवल \(x\geq 0\) लिए जाते हैं। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\geq 0\), तो (a=b) ही होगा। चरण 3: डोमेन बदलने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है।
In square-based functions, (x) and (-x) often give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
For even powers on \(\mathbb{R}\), always test such pairs. चरण 1: वर्ग वाले फलन में अक्सर (x) और (-x) समान प्रतिबिंब देते हैं। चरण 2: (f(1)=3) और (f(-1)=3), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात वाले फलनों में ऐसी जोड़ी जरूर जांचें।
A linear function with non-zero slope is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (7-4a=7-4b), इसलिए (-4a=-4b) और (a=b)। चरण 3: ढाल शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है।
When a perfect square appears, test inputs equally distant from its center. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2) है। चरण 2: (f(2)=1) और (f(4)=1), लेकिन \(2\neq 4\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग दिखे तो केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें।
From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता।
A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\)/(f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
Step 1
Concept
A periodic function repeats values.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature. चरण 1: आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें।
The square function becomes one-one on a half-domain. चरण 1: यहां डोमेन में केवल \(x\leq 0\) हैं। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\leq 0\), तो (a=b) ही होगा। चरण 3: वर्ग फलन आधे डोमेन पर एकैकी हो जाता है।
A modulus function gives equal values to inputs equally distant from its center.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
In (|x-a|), check equal distances on both sides of (a). चरण 1: परम मान फलन अपने केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। चरण 2: (f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। चरण 3: (|x-a|) में (a) के दोनों ओर बराबर दूरी देखें।
On integers also, a linear function with non-zero coefficient is one-one. चरण 1: मान लें (f(m)=f(n))। चरण 2: (2m+1=2n+1) से (m=n) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन का गुणांक शून्य नहीं हो तो एकैकीपन बनता है।
Adding the same number to different natural numbers preserves their difference. चरण 1: मान लें (f(m)=f(n))। चरण 2: (m+4=n+4), इसलिए (m=n)। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर हर अलग संख्या में समान संख्या जोड़ने से अंतर बना रहता है।
If \(m^2=n^2\) and \(m,n\in\mathbb{N}\), then (m=n).
Step 3
Exam Tip
The square function is not one-one on \(\mathbb{R}\), but it is one-one on \(\mathbb{N}\). चरण 1: प्राकृतिक संख्याएं धनात्मक दिशा में बढ़ती हैं। चरण 2: यदि \(m^2=n^2\) और \(m,n\in\mathbb{N}\), तो (m=n) होगा। चरण 3: वर्ग फलन \(\mathbb{R}\) पर नहीं, लेकिन \(\mathbb{N}\) पर एकैकी होता है।
In a finite set, the same image for two inputs destroys one-one nature. चरण 1: सभी आगतों के प्रतिबिंब देखें। चरण 2: (f(1)=1) और (f(2)=1), लेकिन \(1\neq 2\)। चरण 3: सीमित समुच्चय में दो आगतों का समान प्रतिबिंब एकैकीपन को खत्म करता है।
From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Even in fractional form, a linear function with non-zero coefficient is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। चरण 3: भिन्न रूप में भी गैर-शून्य गुणांक वाला रैखिक फलन एकैकी होता है।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
In an even-power function, (x) and (-x) give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
On all real numbers, test opposite inputs for even powers. चरण 1: सम घात वाले फलन में (x) और (-x) का मान बराबर आता है। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात देखकर तुरंत विपरीत आगत जांचें।
In the reciprocal function, equal images occur only for equal inputs. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b)), जहां (a,b>0)। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलन में समान प्रतिबिंब तभी होगा जब आगत समान हों।
Because of \(x^2\), opposite inputs can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Whenever the denominator has \(x^2\), test positive and negative input pairs. चरण 1: \(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: हर बार हर में \(x^2\) हो तो धनात्मक और ऋणात्मक आगत की जोड़ी जांचें।
From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है।
A. (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\)/(f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions on all real numbers are generally not one-one. चरण 1: \(\cos x\) एक आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\neq 2\pi\)। चरण 3: आवर्ती फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
On the interval \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
A strictly decreasing function gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain of a trigonometric function can make it one-one. चरण 1: अंतराल \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: घटते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में डोमेन सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है।
In a quadratic function, test inputs equally distant from the vertex. चरण 1: (x-2+2x=(x+1)2-1) है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। चरण 3: वर्गीय फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें।
A. क्योंकि (9a=9b) से (a=b) मिलता है/Because (9a=9b) gives (a=b)
Step 1
Concept
For testing one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
From (9a=9b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
A simple linear expression with a non-zero multiplier is one-one. चरण 1: एकैकी जांच में (f(a)=f(b)) मानते हैं। चरण 2: (9a=9b) होने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: शून्य से अलग गुणक वाली सरल रैखिक अभिव्यक्ति एकैकी होती है।
Some codomain elements may be unused without affecting one-one nature. चरण 1: डोमेन के हर तत्व का एक प्रतिबिंब दिया गया है। चरण 2: प्रतिबिंब (4), (6), (7) अलग-अलग हैं। चरण 3: सहडोमेन में कोई तत्व छूट जाए तो भी एकैकीपन पर असर नहीं पड़ता।
In a linear form, if the coefficient of (x) is (0), the function is not one-one. चरण 1: (0x+8=8), इसलिए यह नियत फलन है। चरण 2: (f(1)=8) और (f(2)=8), जबकि \(1\neq 2\)। चरण 3: रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन एकैकी नहीं होता।
If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
The cube-root function is increasing, so it is one-one. चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। चरण 2: यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। चरण 3: घनमूल फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी होता है।
If ((a-2)2=(b-2)2) and \(a,b\geq 2\), then (a-2=b-2), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A quadratic can be one-one when restricted to one side of its vertex. चरण 1: इस डोमेन में \(x-2\geq 0\) रहता है। चरण 2: यदि ((a-2)2=(b-2)2) और \(a,b\geq 2\), तो (a-2=b-2), इसलिए (a=b)। चरण 3: वर्गीय फलन को शिखर से एक ओर सीमित कर दें तो वह एकैकी हो सकता है।
In a perfect square, values equally distant from the center quickly give the answer. चरण 1: ((x+5)2) का केंद्र (x=-5) है। चरण 2: (f(-4)=1) और (f(-6)=1), लेकिन \(-4\neq -6\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग में केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी उत्तर देते हैं।
\(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers. चरण 1: \(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। चरण 2: \(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं।
A quadratic function on all real numbers is often not one-one. चरण 1: दो अलग आगतों पर मान जांचें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। चरण 3: वर्गीय फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर अक्सर एकैकी नहीं होता।
This is the standard method to prove one-one nature. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखने पर (4a+4=4b+4) मिलता है। चरण 2: दोनों ओर से (4) घटाने और (4) से भाग देने पर (a=b)। चरण 3: यही प्रक्रिया एकैकीपन सिद्ध करने की मानक विधि है।
In (|2x|), (x) and (-x) still give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
A multiplier inside modulus does not make it one-one on all real numbers. चरण 1: (|2x|) में भी (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: परम मान के अंदर गुणक बदलने से पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीपन नहीं बनता।
\(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
An increasing function gives different values for different inputs. चरण 1: \(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। चरण 3: बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं।
Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। चरण 2: (f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। चरण 3: \(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें।
The identity function is always one-one. चरण 1: (f(x)=x) हर तत्व को उसी पर भेजता है। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के प्रतिबिंब भी अलग-अलग रहेंगे। चरण 3: सर्वसम फलन हमेशा एकैकी होता है।
Adding a constant outside does not remove equal-image pairs. चरण 1: परम मान का केंद्र (x=-1) है। चरण 2: (f(0)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(0\neq -2\)। चरण 3: बाहर स्थिर संख्या जोड़ने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं बदलती।
Since the domain is \(x\geq 1\), \(x-1\geq 0\), so the square increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic is one-one on one side of its vertex. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: डोमेन \(x\geq 1\) होने से \(x-1\geq 0\), इसलिए वर्ग बढ़ता है। चरण 3: शिखर से दाईं ओर वर्गीय फलन एकैकी होता है।
The same formula can have a different one-one result on a different domain. चरण 1: (f(x)=(x-1)2) है। चरण 2: (f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। चरण 3: वही सूत्र अलग डोमेन पर अलग एकैकी परिणाम दे सकता है।
From \(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\), we get (3a-1=3b-1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A non-zero constant denominator does not change the one-one nature of a linear function. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\) से (3a-1=3b-1), इसलिए (a=b)। चरण 3: हर में स्थिर गैर-शून्य संख्या हो तो रैखिक एकैकीपन नहीं बदलता।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
\(x^6\) is an even power, so opposite inputs give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to an even-power function does not make it one-one. चरण 1: \(x^6\) सम घात है, इसलिए विपरीत आगत समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: सम घात के साथ स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बनता।
It is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) because both terms increase with (x).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one, so different inputs cannot give the same value. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: फलन \(x^3+x\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर लगातार बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर दोनों भाग साथ बढ़ते हैं। चरण 3: बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है, इसलिए अलग आगत समान मान नहीं दे सकते।
Not every cubic expression is automatically one-one, so checking examples is important. चरण 1: दो अलग आगतों पर मान जांचें। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0) और \(-1\neq 0\)। चरण 3: घन वाला हर फलन अपने आप एकैकी नहीं होता, उदाहरण जांचना जरूरी है।
Multiplying or adding outside the modulus does not remove equal-image pairs. चरण 1: (|x|) में (x) और (-x) का मान समान होता है। चरण 2: (f(3)=7) और (f(-3)=7), जबकि \(3\neq -3\)। चरण 3: परम मान के बाहर गुणा या जोड़ करने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं हटती।
(f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), and all images are distinct.
Step 3
Exam Tip
For a finite domain, a direct value table is a quick test for one-one nature. चरण 1: डोमेन के मानों पर प्रतिबिंब निकालें। चरण 2: (f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), और सभी प्रतिबिंब अलग हैं। चरण 3: सीमित डोमेन में सीधे तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है।
Remainder-based functions often send many inputs to the same value, so test one-one nature carefully. चरण 1: सम और विषम संख्याओं के शेष देखें। चरण 2: (f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। चरण 3: शेषफल आधारित फलनों में अक्सर कई आगत एक ही शेष देते हैं, इसलिए एकैकीपन सावधानी से जांचें।
The exponential function \(e^x\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
If \(e^a=e^b\), then the same base gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
In exams, a strictly increasing function gives different images for different inputs, so it is one-one. चरण 1: घातीय फलन में (x) बढ़ने पर \(e^x\) भी लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि \(e^a=e^b\), तो समान आधार के कारण (a=b) होगा। चरण 3: परीक्षा में लगातार बढ़ने वाला फलन अलग आगतों को अलग प्रतिबिंब देता है, इसलिए वह एकैकी होता है।
