For onto, all (p,q,r) must appear among the images.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, (p,q,r) all occur.
Step 3
Exam Tip
In mapping-list questions, form the image set and compare it with the codomain. चरण 1: आच्छादक होने के लिए (p,q,r) तीनों चित्रों में आने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p,q,r) सभी प्राप्त हो रहे हैं। चरण 3: सूची वाले प्रश्नों में चित्रों का समुच्चय बनाकर तुरंत मिलान करें।
All three elements (p,q,r) of (B) appear at least once as images.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the function is onto. But (2) and (3) both map to (q), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite functions, mark all elements of the codomain while checking onto. चरण 1: (B) के तीनों सदस्य (p,q,r) कम से कम एक बार प्रतिबिंब के रूप में आते हैं। चरण 2: इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (2) और (3) दोनों (q) पर जाते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सीमित फलन में आच्छादी जाँचने के लिए सहप्रांत के सभी सदस्यों को चिह्नित करें।
A. क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (d) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images include (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (d) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंबों में (a,b,c) आते हैं। चरण 2: सहप्रांत का (d) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए, तो फलन आच्छादी नहीं है।
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images are only (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (r) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
Even one missed codomain element destroys onto nature. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंब केवल (p) और (q) हैं। चरण 2: सहप्रांत का (r) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: एक भी छूटा सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को समाप्त कर देता है।
A. क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (c) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images contain only (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (c) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंबों में केवल (a) और (b) आते हैं। चरण 2: सहप्रांत का अवयव (c) किसी भी प्रांत अवयव से नहीं मिला। चरण 3: एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
For onto nature, every element of (B) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
The given pairs include (p) and (q), but not (r).
Step 3
Exam Tip
Identifying the missing codomain element is the easiest method. चरण 1: आच्छादी होने के लिए (B) के हर अवयव का पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: दिए गए युग्मों में (p) और (q) आते हैं, लेकिन (r) नहीं आता। चरण 3: छूटे हुए सहप्रांत अवयव को पहचानना सबसे आसान तरीका है।
In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions first look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें।
A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
In such options the fastest method is to look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। चरण 3: विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है।
The outputs (b,c,a) are all distinct, so no two inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, checking repeated outputs quickly identifies one-one behavior. चरण 1: हर आगत का केवल एक निर्गत है। चरण 2: निर्गत (b,c,a) अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो आगत समान निर्गत नहीं देते। चरण 3: सीमित समुच्चय में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जल्दी पहचाना जा सकता है।
Some codomain elements may be unused without affecting one-one nature. चरण 1: डोमेन के हर तत्व का एक प्रतिबिंब दिया गया है। चरण 2: प्रतिबिंब (4), (6), (7) अलग-अलग हैं। चरण 3: सहडोमेन में कोई तत्व छूट जाए तो भी एकैकीपन पर असर नहीं पड़ता।
In a finite function, if images are not repeated, the function is one-one. चरण 1: सभी चार आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं। चरण 2: कोई भी छवि दो बार नहीं आई है। चरण 3: सीमित फलन में छवियाँ दोहराई न जाएँ तो फलन एकैकी होता है।
A. क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b))/Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
(a) and (b) are different elements.
Step 2
Why this answer is correct
Both have output (2), so the same output is repeated.
Step 3
Exam Tip
Such repetition is not allowed in one-one property. चरण 1: (a) और (b) अलग-अलग तत्व हैं। चरण 2: दोनों का निर्गत (2) है, इसलिए समान निर्गत दो बार आया। चरण 3: एकैकीता में ऐसा दोहराव स्वीकार नहीं होता।
Reverse order does not matter; if outputs are different, the function is one-one. चरण 1: चार निवेशों के निर्गत (8,7,6,5) हैं। चरण 2: कोई निर्गत दोहराया नहीं गया है। चरण 3: क्रम उल्टा होने से फर्क नहीं पड़ता; निर्गत अलग हों तो फलन एकैकी है।
A repeated output immediately breaks one-one property. चरण 1: यहाँ (2) और (3) दो अलग निवेश हैं। चरण 2: दोनों का निर्गत (q) है, इसलिए निर्गत दोहराया गया। चरण 3: दोहराया हुआ निर्गत एकैकीता को तुरंत समाप्त कर देता है।
These outputs are different, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
Every codomain element need not be used; for one-one, only no repetition is needed. चरण 1: प्रांत के दोनों तत्वों के निर्गत (3) और (4) हैं। चरण 2: ये निर्गत अलग हैं, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होना जरूरी नहीं है; एकैकी के लिए केवल पुनरावृत्ति न होना जरूरी है।
For one-one, different inputs must have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq2\), but (f(1)=f(2)=1).
Step 3
Exam Tip
If two arrows go to the same output, the function is not one-one. चरण 1: एकैकी के लिए अलग निवेशों के निर्गत अलग होने चाहिए। चरण 2: \(1\neq2\), लेकिन (f(1)=f(2)=1)। चरण 3: जब दो तीर एक ही निर्गत पर जाएँ, फलन एकैकी नहीं होता।
The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
All elements of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
Since it is both one-one and onto, it is bijective. चरण 1: तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। चरण 3: एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है।
The two inputs have different images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
Being both one-one and onto, it is bijective. चरण 1: दोनों आगतों की छवियाँ अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। चरण 3: एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है।
