Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) माना जा सकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), write (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\) होगा। / Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
भाज्यता वाले संबंध में गुणा की श्रृंखला बनाकर संक्रमणीयता जांचना आसान होता है। / For divisibility relations, use a multiplication chain to test transitivity.
A. हाँ, क्योंकि सभी जरूरी युग्म उपस्थित हैं/Yes, because all required pairs are present
Step 1
Concept
संक्रामी होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / A relation is transitive if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\) imply \((a,c) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो उपस्थित है। बाकी जरूरी स्थितियाँ भी टूटती नहीं हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. Other required cases also do not fail.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले बीच वाले तत्व को मिलाकर जांचें। / In exams, first check pairs with matching middle elements.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए घात \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होगी। / For (n=3), the exponent is \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म अलग-अलग चुने जाते हैं और गैर-विकर्ण युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Diagonal pairs are chosen independently, while non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks.
सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। / A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। / Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें। / In exams, check commutative conditions like addition first.
सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। / The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\).
