Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Hence every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function on \(\mathbb{R}\) is onto when its slope is non-zero.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। / Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें। / For integer and natural number functions, always check the starting values.
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। / If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है। / For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero.
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है/Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। / Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है। / A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto.
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5) लिया जा सकता है/Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5) can be taken
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। / Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। / (n=m-5) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं। / For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly.
(y=ax+b) मानकर (x) निकालें। / Put (y=ax+b) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। / \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), solve (y=2x+7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / \(x=\frac{y-7}{2}\) is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक है/Yes, because for every real (y), \(x=\frac{y+7}{2}\) is real
Step 1
Concept
आच्छादी जाँचने के लिए (y=2x-7) लिखें। / To check onto, write (y=2x-7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। इसलिए सहप्रांत का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। / We get \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real for every real (y). Thus every codomain element is obtained.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function with non-zero slope is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
यदि (k=0), तो फलन स्थिर (3) बन जाएगा और सभी वास्तविक मान नहीं देगा। / If (k=0), the function becomes the constant (3), so it cannot give all real values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(k\ne0\), तो किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-3}{k}\) मिल जाता है। / If \(k\ne0\), for any (y), \(x=\frac{y-3}{k}\) exists.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में रैखिक फलन आच्छादी तभी होता है जब ढाल शून्य न हो। / A linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto exactly when its slope is non-zero.
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y+9) रखें, तब (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y+9), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान फलन से मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-5) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-5), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन (ax+b) में \(a\ne0\) हो तो \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function (ax+b) with \(a\ne0\) is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
