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For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y+9), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto. चरण 1: आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y+9) रखें, तब (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन आच्छादी होता है।
If such a real (x) exists for every real (y), the function is onto. चरण 1: (4x+1=y) रखें। चरण 2: इससे (4x=y-1), इसलिए \(x=\frac{y-1}{4}\) मिलता है। चरण 3: हर वास्तविक (y) के लिए ऐसा वास्तविक (x) मिल जाए, तो फलन आच्छादी है।
For every \(y\ge5\), take \(x=\sqrt{y-5}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The range is \([5,\infty\)), equal to the codomain, so the function is onto. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+5\ge5\)। चरण 2: हर \(y\ge5\) के लिए \(x=\sqrt{y-5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: परास \([5,\infty\)) सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (3) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^2+5\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but \(x^2+5=3\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Values missing from the range prevent onto nature. चरण 1: \(x^2+5\) का न्यूनतम मान (5) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, पर \(x^2+5=3\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: परास में जो मान नहीं आते, वे आच्छादीपन को रोकते हैं।
For every \(y\le7\), take \(x=\sqrt{7-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A downward-opening quadratic can be onto its correct codomain. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(7-x^2\le7\)। चरण 2: हर \(y\le7\) के लिए \(x=\sqrt{7-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। चरण 3: नीचे की ओर खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि (8) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (8) is not obtained
Step 1
Concept
The maximum value of \(7-x^2\) is (7).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (8), but \(7-x^2=8\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Codomain values above the maximum are not in the range. चरण 1: \(7-x^2\) का अधिकतम मान (7) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (8) है, पर \(7-x^2=8\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: अधिकतम मान से ऊपर के सहप्रांत मान परास में नहीं आते।
A shift function on integers can obtain every integer value. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। चरण 2: (n=y-4) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर जोड़ वाला फलन सभी पूर्णांक मान प्राप्त कर सकता है।
A. क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(3n) is always a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (1), which cannot be written as (3n).
Step 3
Exam Tip
For multiple-based functions, look for integers that are missed. चरण 1: (3n) हमेशा (3) का गुणज होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) है, जो (3n) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: गुणजों वाले फलन में छूटे हुए पूर्णांकों को देखें।
A. क्योंकि (1,2,3) नहीं मिलते/Because (1,2,3) are not obtained
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+3) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
So (1,2,3) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For natural-number functions, checking initial values is very useful. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+3) का सबसे छोटा मान (4) है। चरण 2: इसलिए सहप्रांत के (1,2,3) परास में नहीं आते। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में आरंभिक मानों को जांचना बहुत उपयोगी है।
The codomain is the set of natural numbers starting from (4).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge4\), (n=y-3) is a natural number and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
Choosing the codomain according to the range makes the function onto. चरण 1: सहप्रांत (4) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। चरण 2: हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। चरण 3: सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी हो जाता है।
Therefore, the range of \(e^x+2\) is (\(2,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of an exponential function shifts its range upward. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: इसलिए \(e^x+2\) का परास (\(2,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: घातीय फलन में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसकता है।
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता/Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
So \(e^x+2\) is always greater than (2), but the codomain contains (2).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed endpoints matters in onto questions. चरण 1: \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है, कभी (0) नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(e^x+2\) हमेशा (2) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (2) शामिल है। चरण 3: खुले और बंद सिरों का फर्क आच्छादीपन में महत्वपूर्ण होता है।
\(\ln x+4\) also takes all real values, because shifting \(\mathbb{R}\) still gives \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A logarithmic function on its natural domain covers all real values. चरण 1: \(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: \(\ln x+4\) भी सभी वास्तविक मान ले सकता है, क्योंकि ऊपर खिसकाव से \(\mathbb{R}\) परास नहीं बदलता। चरण 3: लघुगणकीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत पर \(\mathbb{R}\) को ढकता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता/Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
Step 1
Concept
For (0<x<1), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is (\(0,\infty\)), which does not contain negative values, so the given mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
Before testing onto nature, check whether the function is well-defined. चरण 1: (0<x<1) पर \(\ln x<0\) होता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, जिसमें ऋणात्मक मान नहीं हैं, इसलिए दिए गए रूप में यह (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) फलन ठीक से नहीं बनता। चरण 3: आच्छादी जांचने से पहले फलन की परिभाषा सही है या नहीं, यह देखें।
As (x) goes from (0) to \(\pi\), \(\cos x\) takes every value from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([-1,1]), so every value in it is obtained.
Step 3
Exam Tip
Identify the range carefully on restricted trigonometric intervals. चरण 1: (x) के (0) से \(\pi\) तक जाने पर \(\cos x\) (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए उसका हर मान प्राप्त होता है। चरण 3: सीमित त्रिकोणमितीय अंतरालों पर परास ध्यान से पहचानें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\cos x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can change the range. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\cos x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। चरण 3: प्रांत छोटा करने से परास भी बदल सकता है।
On this interval, \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([-1,1]), so no codomain value is missed.
Step 3
Exam Tip
Remember the ranges on standard trigonometric intervals. चरण 1: इस अंतराल पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए कोई सहप्रांत मान नहीं छूटता। चरण 3: मानक त्रिकोणमितीय अंतरालों का परास याद रखें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, but they are not obtained from this domain.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, changing the domain changes onto nature. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे इस प्रांत से नहीं मिलते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में प्रांत बदलने से आच्छादीपन बदलता है।
On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus every real codomain value is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
Remember the standard onto interval for \(\tan x\). चरण 1: (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: इसलिए हर वास्तविक सहप्रांत मान किसी न किसी (x) से मिलता है। चरण 3: \(\tan x\) का मानक आच्छादी अंतराल याद रखें।
A. क्योंकि इसका परास केवल ([0,1]) है/Because its range is only ([0,1])
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{4}]\), \(\tan x\) takes values from (0) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
A small range cannot cover a larger codomain. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) (0) से (1) तक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। चरण 3: बड़े सहप्रांत के सामने छोटा परास आच्छादीपन नहीं देता।
All three elements appear as images of some domain element.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, look for every codomain element among the images. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। चरण 2: तीनों अवयव किसी न किसी प्रांत अवयव के प्रतिबिंब के रूप में मौजूद हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर अवयव को प्रतिबिंबों में खोजें।
A. क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (c) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images contain only (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (c) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंबों में केवल (a) और (b) आते हैं। चरण 2: सहप्रांत का अवयव (c) किसी भी प्रांत अवयव से नहीं मिला। चरण 3: एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A. आच्छादी फलन बन सकता है/An onto function can exist
Step 1
Concept
For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
When possibility is asked, first compare the sizes. चरण 1: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। चरण 2: यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। चरण 3: संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें।
In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (2) elements but (B) has (4), so covering all is impossible.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (2) अवयव हैं, पर (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना असंभव है। चरण 3: जब (|A|<|B|), तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है।
The non-onto functions are those sending all elements only to (p) or only to (q), so (2) functions.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (8-2=6). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (p) पर जाएं या केवल (q) पर जाएं, यानी (2) फलन। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) होंगे।
A. कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)/There exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
The definition of onto is about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(b\in B\), at least one \(a\in A\) must exist such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
The existence of a preimage is the key idea in onto nature. चरण 1: आच्छादी की परिभाषा सहप्रांत के हर अवयव से जुड़ी है। चरण 2: हर \(b\in B\) के लिए कम से कम एक \(a\in A\) होना चाहिए जिससे (f(a)=b)। चरण 3: आच्छादीपन में पूर्वप्रतिबिंब की उपस्थिति मुख्य बात है।
Therefore, (f(A)=B) is the identifying condition for onto functions. चरण 1: (f(A)) फलन का परास है। चरण 2: आच्छादी का अर्थ है कि परास सहप्रांत के बराबर हो। चरण 3: इसलिए (f(A)=B) आच्छादी फलन की पहचान है।
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain contains (1), but no real (x) makes the value equal to (1).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, check endpoint values separately. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (1) से छोटा रहता है। चरण 2: सहप्रांत में (1) शामिल है, पर कोई वास्तविक (x) इसे (1) नहीं बना सकता। चरण 3: भिन्नों में सीमा के मान अलग से जांचें।
(0) is obtained at (x=0), and values below (1) are obtained by suitable (x).
Step 3
Exam Tip
In an open-end codomain, obtaining (1) is not required. चरण 1: इस फलन का परास ([0,1)) है। चरण 2: (0) (x=0) पर मिलता है और (1) के नीचे के मान उचित (x) से मिल जाते हैं। चरण 3: खुले सिरे वाले सहप्रांत में (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) can be obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
In bounded ranges, check whether endpoints are included or excluded. चरण 1: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से प्राप्त किया जा सकता है। चरण 3: सीमित परास में सिरों के शामिल होने या न होने को ध्यान से देखें।
A. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The function values stay between (-1) and (1), but never reach the endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) includes (-1) and (1).
Step 3
Exam Tip
Missing endpoints in a closed codomain prevents onto nature. चरण 1: इस फलन का मान (-1) और (1) के बीच रहता है, लेकिन सिरों तक नहीं पहुंचता। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में (-1) और (1) शामिल हैं। चरण 3: बंद सहप्रांत में सिरों का न मिलना आच्छादीपन रोकता है।
A. बहुपद सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/The polynomial is continuous and goes unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-5x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Such a cubic polynomial takes all real values. चरण 1: \(x^3-5x\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: ऐसा घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
Both \(x^4\) and \(x^2\) are non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x^4+x^2\ge0\), and a codomain value such as (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
A sum of even powers often has a non-negative range. चरण 1: \(x^4\) और \(x^2\) दोनों अऋणात्मक हैं। चरण 2: इसलिए \(x^4+x^2\ge0\), और (-1) जैसा सहप्रांत मान नहीं मिलता। चरण 3: सम घातों के योग का परास अक्सर अऋणात्मक होता है।
The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0), and for large (x), it becomes very large.
Step 2
Why this answer is correct
Since it is continuous, it takes all values above (0).
Step 3
Exam Tip
With a non-negative codomain, such a polynomial can be onto. चरण 1: \(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है और बड़े (x) पर यह बहुत बड़ा होता है। चरण 2: सतत होने के कारण यह (0) से ऊपर के सभी मान लेता है। चरण 3: अऋणात्मक सहप्रांत के साथ ऐसा बहुपद आच्छादी हो सकता है।
For every \(y\ge1\), take (x=2+(y-1)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Use the minimum value of a modulus function to identify its range. चरण 1: \(|x-2|\ge0\), इसलिए \(|x-2|+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए (x=2+(y-1)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर परास तय करें।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of (|x-2|+1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this function can never give (0).
Step 3
Exam Tip
Codomain values below the minimum stay outside the range. चरण 1: (|x-2|+1) का न्यूनतम मान (1) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। चरण 3: न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान परास से बाहर रहते हैं।
Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto. चरण 1: सम अवयवों (2,4) से (0) मिलता है। चरण 2: विषम अवयवों (1,3,5) से (1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
All domain elements (1,3,5) are odd.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the function value is always (1), and (0) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If any codomain value is missed, the function is not onto. चरण 1: प्रांत के सभी अवयव (1,3,5) विषम हैं। चरण 2: इसलिए फलन का मान हमेशा (1) है और (0) कभी नहीं मिलता। चरण 3: सहप्रांत का कोई मान छूटे तो फलन आच्छादी नहीं होता।
The range of (|x|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognizing \(\sqrt{x^2}\) as a modulus is an easy method. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। चरण 2: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{x^2}\) को मापांक के रूप में पहचानना आसान तरीका है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
Compare a modulus-type range with the real codomain carefully. चरण 1: \(\sqrt{x^2}=|x|\) है। चरण 2: इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। चरण 3: मापांक जैसे परास को वास्तविक सहप्रांत से तुलना करें।
Adding (2) still leaves the range as \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of the cube-root function does not remove onto nature. चरण 1: \(\sqrt[3]{x}\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। चरण 2: (2) जोड़ने से परास फिर भी \(\mathbb{R}\) ही रहता है। चरण 3: घनमूल फलन का ऊपर खिसकाव आच्छादीपन नहीं हटाता।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\), so \(\sqrt{x}+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but the function cannot give (0).
Step 3
Exam Tip
Always check the minimum bound of a square-root function. चरण 1: \(\sqrt{x}\ge0\), इसलिए \(\sqrt{x}+1\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर यह फलन (0) नहीं दे सकता। चरण 3: वर्गमूल वाले फलन की न्यूनतम सीमा जरूर देखें।
For every \(y\ge1\), take (x=(y-1)2), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A square-root function is onto its correct codomain. चरण 1: \(\sqrt{x}+1\) का परास \([1,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए (x=(y-1)2) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल फलन सही सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
\(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer real values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
An integer-valued function is not onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपरिमेय नहीं, बल्कि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: पूर्णांक-मान फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं होता।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
With codomain \(\mathbb{Z}\), this function is onto. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) कोई भी पूर्णांक मान दे सकता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) रखने पर यह फलन आच्छादी हो जाता है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
The ceiling function is onto an integer codomain. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांक सहप्रांत पर छत फलन आच्छादी होता है।
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{3}{2}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
An integer-valued function does not cover the full real codomain. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{3}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। चरण 3: पूर्णांक-मान फलन वास्तविक सहप्रांत को पूरा नहीं ढकता।
Both codomain values are obtained, so the function is onto. चरण 1: (x=-1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। चरण 2: (x=0) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
The function gives only (1) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain also contains (0), but it is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
A constant function cannot be onto a two-element codomain. चरण 1: फलन हर (x) पर केवल (1) देता है। चरण 2: सहप्रांत में (0) भी है, लेकिन वह किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: स्थिर फलन दो-अवयवी सहप्रांत पर आच्छादी नहीं हो सकता।
For every \(y\ge-1\), take \(x=\sqrt{y+1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
If the minimum value of a quadratic matches the codomain start, onto nature is easy to verify. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-1\ge-1\)। चरण 2: हर \(y\ge-1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत मिल जाएं, तो आच्छादीपन आसानी से जांचा जा सकता है।
