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For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-5), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A linear function (ax+b) with \(a\ne0\) is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान फलन से मिलना चाहिए। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-5) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: रैखिक फलन (ax+b) में \(a\ne0\) हो तो \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because negative real values are not obtained
Step 1
Concept
The value of \(x^2\) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
To test onto nature, compare range with codomain. चरण 1: \(x^2\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं आते। चरण 3: आच्छादी जांचते समय परास और सहप्रांत की तुलना करें।
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
The same formula may become onto or not onto depending on the codomain. चरण 1: इस फलन का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान परास में आता है। चरण 3: वही सूत्र सहप्रांत बदलने पर आच्छादी या अनाच्छादी बन सकता है।
For finite sets, check each codomain element in the mapping list. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (a) और (b) हैं। चरण 2: (a) का पूर्वप्रतिबिंब (1) है और (b) का पूर्वप्रतिबिंब (2) है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में सहप्रांत के हर अवयव को सूची में खोजें।
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
For onto nature, every element of (B) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
The given pairs include (p) and (q), but not (r).
Step 3
Exam Tip
Identifying the missing codomain element is the easiest method. चरण 1: आच्छादी होने के लिए (B) के हर अवयव का पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: दिए गए युग्मों में (p) और (q) आते हैं, लेकिन (r) नहीं आता। चरण 3: छूटे हुए सहप्रांत अवयव को पहचानना सबसे आसान तरीका है।
If a real (x) exists for every real (y), the function is onto. चरण 1: (f(x)=y) रखें, इसलिए (2x-7=y)। चरण 2: इससे (2x=y+7), अतः \(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है। चरण 3: (x) का वास्तविक मान हर वास्तविक (y) के लिए मिल जाए, तो फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but no (n) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
For natural-number functions, check the smallest codomain values first. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, पर कोई (n) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में छोटे सहप्रांत मानों की जांच पहले करें।
A shift function on integers is usually onto. चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=y+3) लें। चरण 2: (y+3) भी एक पूर्णांक है और (f(y+3)=y) हो जाता है। चरण 3: पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाला फलन अक्सर आच्छादी रहता है।
A. क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते/Because odd integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n) is always an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains odd integers such as (1), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
While testing onto nature, look for types of values that are missing. चरण 1: (2n) हमेशा सम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) जैसे विषम पूर्णांक भी हैं, जो परास में नहीं आते। चरण 3: आच्छादी जांचते समय छूटे हुए प्रकार के मान खोजें।
The codomain is also (\(0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
Remembering the range of exponential functions helps decide onto nature quickly. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिलता है। चरण 3: घातीय फलन का परास याद रखने से आच्छादीपन जल्दी तय होता है।
A. क्योंकि (0) और ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because (0) and negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is larger than the range, the function is not onto. चरण 1: \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं हैं। चरण 3: सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी न भी हो सकता है।
For every \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=e^y>0\), then \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
The logarithmic function is onto from its natural domain to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\ln x\) का परास सभी वास्तविक संख्याएं हैं। चरण 2: हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
Remember the ranges of trigonometric functions. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों का परास याद रखें।
A. क्योंकि (2) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (2) is not obtained
Step 1
Concept
The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\sin x=2\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
Be careful when trigonometric functions have \(\mathbb{R}\) as codomain. चरण 1: \(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, लेकिन \(\sin x=2\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन को \(\mathbb{R}\) सहप्रांत देने पर आच्छादीपन ध्यान से जांचें।
The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
If range and codomain are equal, the function is onto. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान प्राप्त होता है। चरण 3: परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादी होता है।
The cube function is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: इस (x) पर (f(x)=x-3=y) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
The square-root function is onto its natural codomain. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ge0\) लें। चरण 2: \(x=y^2\) रखने पर \(x\ge0\) और \(\sqrt{x}=y\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने प्राकृतिक सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-2), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
First identify the range of a modulus function. चरण 1: (|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे ऋणात्मक मान हैं, पर वे परास में नहीं आते। चरण 3: मापांक फलन का परास पहले पहचानें।
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
With the correct codomain, a modulus function can be onto. चरण 1: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन को सही सहप्रांत देने पर वह आच्छादी हो सकता है।
A. नहीं, क्योंकि सहप्रांत में अधिक अवयव हैं/No, because the codomain has more elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements while (B) has (5), so covering all elements of (B) is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, onto requires \(|A|\ge|B|\). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) अवयव हैं और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge|B|\) जरूरी है।
If a function is onto, every codomain element is reached by at least one domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the domain cannot have fewer elements than the codomain.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, this is a necessary condition. चरण 1: आच्छादी होने पर सहप्रांत के हर अवयव तक कम से कम एक प्रांत अवयव पहुंचता है। चरण 2: इसलिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं हो सकते। चरण 3: सीमित समुच्चयों में यह एक जरूरी शर्त है।
Remember the definition of onto: (f(A)=B). चरण 1: (f(A)) फलन का परास है। चरण 2: आच्छादी होने का अर्थ है कि परास और सहप्रांत बराबर हों। चरण 3: आच्छादी की परिभाषा याद रखें: (f(A)=B)।
A. क्योंकि केवल (3) मान मिलता है/Because only the value (3) is obtained
Step 1
Concept
A constant function gives only one value for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
Here the range is only ({3}), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A constant function is not onto a codomain with more than one value. चरण 1: स्थिर फलन हर (x) पर एक ही मान देता है। चरण 2: यहां परास केवल ({3}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: एक से अधिक मान वाले सहप्रांत पर स्थिर फलन आच्छादी नहीं होता।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत के अवयव (4,5,6) हैं। चरण 2: ये तीनों किसी न किसी प्रांत अवयव के प्रतिबिंब हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सभी सहप्रांत अवयव मिल जाएं तो फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (6) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (6) has no preimage
Step 1
Concept
The images listed are only (4) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (6) is not the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
A missing codomain element prevents onto nature. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंब केवल (4) और (5) हैं। चरण 2: सहप्रांत का अवयव (6) किसी भी (x) का प्रतिबिंब नहीं है। चरण 3: छूटा हुआ सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को रोकता है।
A. हर (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है/For every (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
Put (f(x)=y), giving \(x^3+1=y\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A cubic form can obtain all real values. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर \(x^3+1=y\) मिलता है। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: घन रूप में सभी वास्तविक मान प्राप्त हो सकते हैं।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The range \([2,\infty\)) equals the codomain. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: परास \([2,\infty\)) और सहप्रांत समान हैं।
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^2+2\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but \(x^2+2=1\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Minimum or maximum values help identify the range quickly. चरण 1: \(x^2+2\) का न्यूनतम मान (2) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, लेकिन \(x^2+2=1\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: न्यूनतम या अधिकतम मान देखकर परास जल्दी पहचाना जा सकता है।
For every \(y\le4\), take \(x=\sqrt{4-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A downward quadratic can be onto (\(-\infty,4]\). चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(4-x^2\le4\)। चरण 2: हर \(y\le4\) के लिए \(x=\sqrt{4-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: नीचे की ओर खुला द्विघात (\(-\infty,4]\) पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि (5) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (5) is not obtained
Step 1
Concept
The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (5), but \(4-x^2=5\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Codomain values above the maximum are missed. चरण 1: \(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) है, पर \(4-x^2=5\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: अधिकतम सीमा से ऊपर के सहप्रांत मान छूट जाते हैं।
Put \(x=\frac{1}{y}\), then \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The reciprocal function is onto with the correct domain and codomain. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। चरण 2: \(x=\frac{1}{y}\) रखने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलन सही प्रांत और सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता/Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) is never equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, check whether (0) is included in the codomain. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी भी (0) के बराबर नहीं होता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, पर वह परास में नहीं है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में (0) के मिलने या न मिलने की जांच करें।
A. क्योंकि \(\frac{1}{2}\) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like \(\frac{1}{2}\) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^2+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (\(0,\infty\)) contains \(\frac{1}{2}\), but this value cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
If the codomain contains values below the minimum range, the function is not onto. चरण 1: \(x^2+1\) का न्यूनतम मान (1) है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) में \(\frac{1}{2}\) है, पर यह फलन से नहीं मिल सकता। चरण 3: सहप्रांत में न्यूनतम सीमा से नीचे के मान हों तो फलन आच्छादी नहीं होगा।
The codomain is also \([1,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
When the codomain equals the range, the function is onto. चरण 1: \(x^2+1\) का परास \([1,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([1,\infty\)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिल जाता है। चरण 3: परास को सहप्रांत के बराबर रखने पर फलन आच्छादी बनता है।
Simple odd-power functions are onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[5]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: इस (x) पर \(x^5=y\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
Even-power functions do not give negative values on real inputs. चरण 1: \(x^4\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, पर वे परास में नहीं आते। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर ऋणात्मक मान नहीं देते।
For every \(y\ge0\), take \(x=\sqrt[4]{y}\), then \(x^4=y\).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y}\) लेने पर \(x^4=y\) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
This gives \(x=\frac{y}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A function of the form (ax) with \(a\ne0\) is onto on \(\mathbb{R}\). चरण 1: (5x=y) हल करें। चरण 2: इससे \(x=\frac{y}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: (ax) रूप में \(a\ne0\) हो तो फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि केवल (4) मान मिलता है/Because only value (4) is obtained
Step 1
Concept
(0x+4=4) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range is only ({4}), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A constant function is not onto a large codomain. चरण 1: (0x+4=4) हर (x) के लिए है। चरण 2: इसलिए परास केवल ({4}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता।
For every \(y\ge3\), take (x=y-3), then (|x|+3=y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a modulus function shifts its range upward. चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(|x|+3\ge3\)। चरण 2: हर \(y\ge3\) के लिए (x=y-3) लेने पर (|x|+3=y) मिलता है। चरण 3: मापांक में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसक जाता है।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of (|x|+3) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this value cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
Values below the minimum are missed from the range. चरण 1: (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। चरण 3: न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूटते हैं।
This gives \(x=\sqrt[3]{y+2}\), valid for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic function remains onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x^3-2=y\) रखें। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए मान्य है। चरण 3: घन फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव होने पर भी आच्छादीपन बना रहता है।
A. क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएं नहीं मिलतीं/Because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains even numbers such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For natural-number functions, separate even and odd outputs. चरण 1: (2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2) जैसी सम संख्याएं भी हैं, जो परास में नहीं आतीं। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में सम और विषम मान अलग करके सोचें।
The codomain consists only of odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Every odd number (2k-1) is obtained by taking (n=k).
Step 3
Exam Tip
Choosing the codomain correctly can make the function onto. चरण 1: सहप्रांत केवल विषम प्राकृतिक संख्याओं का है। चरण 2: हर विषम संख्या (2k-1) को (n=k) से पाया जा सकता है। चरण 3: सहप्रांत को सही रूप में चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है।
Therefore the range of \(2\sin x\) is ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Multiplying a trigonometric function scales its range. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: इसलिए \(2\sin x\) का परास ([-2,2]) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: गुणा करने से त्रिकोणमितीय फलन का परास भी उसी अनुपात में बदलता है।
Every value in the codomain ([-1,1]) is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
For onto nature, every codomain value must be hit; however, the function must also be well-defined with outputs in the codomain. चरण 1: \(2\sin x\) का परास ([-2,2]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) का हर मान इस परास में आता है और किसी न किसी (x) से मिल जाता है। चरण 3: आच्छादी के लिए परास का सहप्रांत के बराबर होना जरूरी नहीं, सहप्रांत का हर मान परास में होना चाहिए; फलन की परिभाषा में वास्तविक मान सहप्रांत में होने चाहिए, इसलिए ऐसे प्रश्न में सहप्रांत अनुकूल होना चाहिए।
A. क्योंकि (1) और (-1) नहीं मिलते/Because (1) and (-1) are not obtained
Step 1
Concept
The value of \(\frac{x}{1+|x|}\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
It can never be equal to (1) or (-1), so these codomain values are missed.
Step 3
Exam Tip
Always check endpoint values in bounded-range questions. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: यह (1) या (-1) के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए सहप्रांत के ये दो मान छूट जाते हैं। चरण 3: सीमा के किनारे वाले मान भी जांचें।
The codomain is also ((-1,1)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, endpoint values are not required. चरण 1: इस फलन का परास ((-1,1)) है। चरण 2: सहप्रांत भी ((-1,1)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिलता है। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों के मानों की जरूरत नहीं होती।
A. यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक मानों तक जाता है/It is increasing and reaches all real values
Step 1
Concept
(f'(x)=3x-2+1>0), so the function is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty).
Step 3
Exam Tip
Such an increasing continuous function is onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: (f'(x)=3x-2+1>0), इसलिए फलन लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)। चरण 3: ऐसा बढ़ता हुआ सतत फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
A. (B) में कम से कम एक अवयव ऐसा है जिसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/At least one element of (B) has no preimage
Step 1
Concept
Onto means every element of the codomain is in the range.
Step 2
Why this answer is correct
Not onto means at least one codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
Understanding the negation of the definition is very useful in exams. चरण 1: आच्छादी का अर्थ है कि सहप्रांत का हर अवयव परास में आए। चरण 2: आच्छादी नहीं होने का अर्थ है कि सहप्रांत का कम से कम एक अवयव छूट गया। चरण 3: परिभाषा के विलोम को समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है।
