यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\cos x), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), where (f(x)=\cos x), which statement is correct about (f)?
#cosine function
#bijection
#onto function
#class 12
A यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
D इसका परिसर ([0,1]) है / Its range is ([0,1])
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। / \(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी। / A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) आच्छादी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), is (f) onto?
#relations-functions
#cosine-function
#onto-function
A हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है / Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
B नहीं, क्योंकि (1) प्रतिबिंब नहीं बनता / No, because (1) is not an image
C नहीं, क्योंकि (-1) प्रतिबिंब नहीं बनता / No, because (-1) is not an image
D हाँ, क्योंकि \(\cos x\) हमेशा (0) है / Yes, because \(\cos x\) is always (0)
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है / Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी यही दिया गया है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य किसी न किसी (x) का प्रतिबिंब है। अतः फलन आच्छादी है। / The codomain is the same, so every codomain element is the image of some (x). Hence the function is onto.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी होने के लिए परास और सहप्रांत बराबर होने चाहिए। / For onto, the range must equal the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=2\cos x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=2\cos x), what is the correct statement about (f)?
#cosine function
#onto
#scaled range
#trigonometry
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\cos x\) का परास ([-2,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of \(2\cos x\) becomes ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
गुणा करने से त्रिकोणमितीय परास उसी अनुपात में फैलता है। / Multiplication scales the trigonometric range accordingly.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) के आच्छादी होने का मुख्य कारण क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the main reason that (f) is onto?
#cosine function
#onto
#trigonometry
#restricted domain
A यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है / It takes all values from (1) to (-1)
B यह केवल (0) मान देता है / It gives only (0)
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह सहप्रांत से बाहर मान देता है / It gives values outside the codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है / It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। / \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है। / For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), why is it not onto?
#cosine function
#not onto
#restricted domain
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{3}]\) पर \(\cos x\) का परास \([\frac{1}{2},1]\) है। / On \([0,\frac{\pi}{3}]\), the range of \(\cos x\) is \([\frac{1}{2},1]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित करते समय परास को फिर से जांचना चाहिए। / When the domain is restricted, the range must be checked again.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), why is it not onto?
#cosine function
#not onto
#restricted domain
#range
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\cos x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\cos x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत छोटा करने से परास भी बदल सकता है। / Restricting the domain can change the range.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the correct statement?
#cosine function
#onto
#restricted domain
#trigonometry
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (1) मान देता है / It gives only value (1)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x) के (0) से \(\pi\) तक जाने पर \(\cos x\) (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / As (x) goes from (0) to \(\pi\), \(\cos x\) takes every value from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए उसका हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every value in it is obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय अंतरालों पर परास ध्यान से पहचानें। / Identify the range carefully on restricted trigonometric intervals.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), which statement about (f) is correct?
#cosine function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादी होता है। / If range and codomain are equal, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) किस अंतराल पर एकैकी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), on which interval is (f) one-one?
#cosine function
#one-one
#restricted domain
#trigonometry
A \([0,\pi]\)
B \([-\pi,\pi]\)
C \([0,2\pi]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([0,\pi]\)
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती होने के कारण पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / Since \(\cos x\) is periodic, it is not one-one on all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता या घटता फलन चुने गए अंतराल पर एकैकी होता है। / A strictly increasing or decreasing function is one-one on the chosen interval.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what is the nature of (f)?
#cosine function
#decreasing function
#one-one function
#class 12
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D केवल (0) पर परिभाषित / Defined only at (0)
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
लगातार घटने वाले फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। / In a strictly decreasing function two different inputs cannot give the same value.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एक-एक होता है। / A decreasing function can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा उदाहरण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), then (f) is not one-one. Which example is correct?
#one-one function
#cosine function
#periodicity
A (f(0)=f\(2\pi\))
B (f(0)=f\(\frac{\pi}{2}\))
C (f(0)=0)
D (f\(\pi\)=1)
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Correct Answer
A. (f(0)=f\(2\pi\))
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\ne 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\ne 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर आवर्तिता एकैकी न होने का मजबूत प्रमाण देती है। / Periodicity on the whole real domain strongly proves the function is not one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), choose the correct conclusion about (f).
#cosine-function
#restricted-domain
#one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
अंतराल \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On the interval \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / A strictly decreasing function gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में डोमेन सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting the domain of a trigonometric function can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), (f) is not one-one because
#cosine-function
#periodic
#not-one-one
A (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\) / (f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)
B (f(0)=0)
C \(\cos x\) का कोई मान नहीं होता / \(\cos x\) has no value
D \(\cos x\) हमेशा (5) होता है / \(\cos x\) is always (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\) / (f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos x\) एक आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\neq 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Periodic functions on all real numbers are generally not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#cosine-function
#counterexample
A (0) और \(2\pi\) / (0) and \(2\pi\)
B (0) और \(\frac{\pi}{2}\) / (0) and \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) / \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\)
D \(\pi\) और \(\frac{3\pi}{2}\) / \(\pi\) and \(\frac{3\pi}{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (0) और \(2\pi\) / (0) and \(2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 2\pi=1\) है जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान मान देने वाले अलग आगत मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं है। / If different inputs give the same value, the function is not one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cosine-function
#decreasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (0) पर परिभाषित है / It is defined only at (0)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटता हुआ फलन अलग आगतों को अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
एकैकीपन के लिए फलन का बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / A function need not increase to be one-one; strictly decreasing also works.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement is correct?
#one-one-function
#cosine-function
#not-one-one
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल शून्य मान देता है / It gives only zero value
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एकैकीपन समाप्त हो जाता है। / Equal values at different inputs destroy one-one property.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) को (f(x)=\cos x) से दिया गया है, तो (f^{-1}(0)) क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) is given by (f(x)=\cos x), what is (f^{-1}(0))?
#cosine function
#inverse value
#restricted domain
A \(\frac{\pi}{2}\)
B (0)
C \(\pi\)
D \(2\pi\)
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Correct Answer
A. \(\frac{\pi}{2}\)
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत \([0,\pi]\) में \(\cos x\) एकैकी है। / On the domain \([0,\pi]\), \(\cos x\) is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=0\) का हल \(x=\frac{\pi}{2}\) है। / The solution of \(\cos x=0\) is \(x=\frac{\pi}{2}\).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में प्रतिलोम मान एक ही होता है। / On a restricted domain, the inverse value is unique.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\cos a=\cos b\)। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या अवश्य होगी?
On real numbers, (aRb) if and only if \(\cos a=\cos b\). Which of the following numbers must be in the equivalence class of (0)?
#cosine function
#equivalence class
#trigonometry
#real numbers
A \(2\pi\)
B \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\pi\)
D \(\frac{\pi}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\)। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 2\pi=1\), इसलिए \(2\pi\) का कोज्या मान भी (0) जैसा है। / \(\cos 2\pi=1\), so \(2\pi\) has the same cosine value as (0).
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान वाले सम्बन्ध में समान मान वाली सभी संख्याएँ एक ही वर्ग में आती हैं। / In a relation based on equal function value, all numbers with the same value lie in the same class.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\cos a=\cos b\)। (0) के तुल्यता वर्ग का सही रूप कौन सा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\cos a=\cos b\). Which is the correct form of the equivalence class of (0)?
#cosine function
#equivalence class
#real numbers
A \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
B \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
C \({\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
D ({0})
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Correct Answer
A. \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos x=1\) के हल \(x=2n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\cos x=1\) are \(x=2n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय संबंधों में समान फलन मान वाले सभी कोण वर्ग में आते हैं। / In trigonometric relations, include all angles with the same function value.
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