Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The open interval does not include \(x=\pm\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of \(\sin x\) is ((-1,1)), while the codomain is ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto status. चरण 1: खुले अंतराल में \(x=\pm\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इसलिए \(\sin x\) का परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत ([-1,1]) है। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का फर्क आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
The value of the function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For \(y\in(-1,1)\), taking \(x=\frac{y}{1-|y|}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Missing endpoints does not matter when the codomain is open. चरण 1: फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{1-|y|}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों का न मिलना आच्छादकता को नहीं रोकता।
The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Carefully apply the effect of a multiplier on the range. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का परास (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। चरण 2: \(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ।
For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
In an open interval codomain, endpoints are not required. चरण 1: हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। चरण 3: खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें।
This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required. चरण 1: यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। चरण 3: खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। चरण 2: (2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। चरण 3: सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है।
The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) can be obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
In bounded ranges, check whether endpoints are included or excluded. चरण 1: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से प्राप्त किया जा सकता है। चरण 3: सीमित परास में सिरों के शामिल होने या न होने को ध्यान से देखें।
The codomain is also ((-1,1)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, endpoint values are not required. चरण 1: इस फलन का परास ((-1,1)) है। चरण 2: सहप्रांत भी ((-1,1)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिलता है। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों के मानों की जरूरत नहीं होती।
