Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है। / On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\pi]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे इस प्रांत से नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, but they are not obtained from this domain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में प्रांत बदलने से आच्छादीपन बदलता है। / For trigonometric functions, changing the domain changes onto nature.
A. क्योंकि (2) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, लेकिन \(\sin x=2\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\sin x=2\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को \(\mathbb{R}\) सहप्रांत देने पर आच्छादीपन ध्यान से जांचें। / Be careful when trigonometric functions have \(\mathbb{R}\) as codomain.
\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें। / For trigonometric functions check the interval carefully.
A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\)/(f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
Step 1
Concept
आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। / A periodic function repeats values.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें। / For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature.
D. यह न एकैकी न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। / It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है। / With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective.
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। / If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation.
(0) के लिए \(\sin 0=0\) है। / For (0), \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें। / For trigonometric function classes, include all angles with the same function value.
