A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The open interval does not include \(x=\pm\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of \(\sin x\) is ((-1,1)), while the codomain is ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto status. चरण 1: खुले अंतराल में \(x=\pm\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इसलिए \(\sin x\) का परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत ([-1,1]) है। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का फर्क आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range. चरण 1: \(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। चरण 3: सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है।
The values (-1) and (1) are also obtained at suitable values of (x).
Step 3
Exam Tip
If the range equals the codomain, the function is onto. चरण 1: \(\sin x\) का परास ठीक ([-1,1]) है। चरण 2: (-1) और (1) भी क्रमशः उपयुक्त (x) मानों पर प्राप्त होते हैं। चरण 3: यदि परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादक होता है।
A. हाँ क्योंकि ([-1,1]) का हर मान \(\sin x\) से मिल सकता है/Yes because every value in ([-1,1]) can be obtained by \(\sin x\)
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
In trigonometric functions, use the standard range directly. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) ही है, इसलिए कोई सहप्रांत अवयव नहीं छूटता। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में ज्ञात परास तुरंत उपयोग करें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
In onto questions, immediately check the effect of domain restriction. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: आच्छादीपन में प्रांत सीमित करने का प्रभाव तुरंत जांचें।
A. क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{6}]\), the range of \(\sin x\) is \([0,\frac{1}{2}]\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) contains \(\frac{3}{4}\), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
On a small trigonometric interval, the range can also be small. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{6}]\) पर \(\sin x\) का परास \([0,\frac{1}{2}]\) है। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में \(\frac{3}{4}\) है, पर वह परास में नहीं आता। चरण 3: छोटे त्रिकोणमितीय अंतराल पर परास भी छोटा हो सकता है।
On \([0,2\pi]\), \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
On a full period, identifying trigonometric range is easy. चरण 1: \([0,2\pi]\) पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। चरण 3: पूर्ण आवर्त पर त्रिकोणमितीय परास पहचानना आसान होता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, but they are not obtained from this domain.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, changing the domain changes onto nature. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे इस प्रांत से नहीं मिलते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में प्रांत बदलने से आच्छादीपन बदलता है।
On this interval, \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([-1,1]), so no codomain value is missed.
Step 3
Exam Tip
Remember the ranges on standard trigonometric intervals. चरण 1: इस अंतराल पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए कोई सहप्रांत मान नहीं छूटता। चरण 3: मानक त्रिकोणमितीय अंतरालों का परास याद रखें।
Therefore the range of \(2\sin x\) is ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Multiplying a trigonometric function scales its range. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: इसलिए \(2\sin x\) का परास ([-2,2]) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: गुणा करने से त्रिकोणमितीय फलन का परास भी उसी अनुपात में बदलता है।
A. क्योंकि (2) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (2) is not obtained
Step 1
Concept
The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\sin x=2\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
Be careful when trigonometric functions have \(\mathbb{R}\) as codomain. चरण 1: \(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, लेकिन \(\sin x=2\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन को \(\mathbb{R}\) सहप्रांत देने पर आच्छादीपन ध्यान से जांचें।
The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
Remember the ranges of trigonometric functions. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों का परास याद रखें।
\(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one. चरण 1: \(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions check the interval carefully. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। चरण 2: \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें।
On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain is very important for trigonometric functions. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है।
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\))/Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
Trigonometric functions are periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\ne \pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions are generally not one-one on the entire real domain. चरण 1: त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\ne \pi\)। चरण 3: आवर्ती फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता।
A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\)/(f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
Step 1
Concept
A periodic function repeats values.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature. चरण 1: आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें।
D. यह न एकैकी न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, check periodicity and range. चरण 1: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। चरण 3: उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है।
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। चरण 3: समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric function classes, include all angles with the same function value. चरण 1: (0) के लिए \(\sin 0=0\) है। चरण 2: \(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें।
